数形结合思想在二次函数问题中的有效应用

张占平

摘要：二次函数是初中数学教学的重要组成部分，也是学生需要攻克的难点所在。在解决二次函数的问题时，教师可将数形结合的思想渗透其中，让学生充分会其优势，深入剖析二次函数的内在涵义。将该思想应用于二次函数的解题中，能够让复杂的问题变得简单化，抽象的内容直观化，学生抽象思维能力也可以得到极大提升，有助于解决学习过程中的简单问题。

关键词：数形结合；二次函数；意义；应用对策

中图分类号：G634.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2021）05-0094

引言：二次函数因为涉及内容复杂，应用范围较广，所以被视为初中数学的巅峰。其不仅和代数方面的内容相连，而且也渗透了几何方面的知识，在实际生活中的应用极为广泛。由于二次函数内容的复杂性，学生在理解和解题过程中往往会陷入死胡同，不知如何进行下一步。数形结合思想为教师和学生提供了极佳的教学方式，其可以对题目假设与结论的内在联系进行揭示，也可以体现出图形与数量的关系。学生通过应用该思想，解题思路方面有了更加清晰的思路，并且对二次函数的内涵以及性质等会有更深的理解。

一、初中数学数形结合思想应用的意义

1.缩短学生解题的时间

现行的初中数学教材中，“数与代数”“空间与图形”等内容中都可以看到数形结合的影子。与此同时，学生在应用题的联系中也经常会看到，并直观感受其带来的便利，无形中会节省学生的解题时间。教师再给学生传输相关的思想理念时，要让学生了解数形结合思想解题的具体流程。例如，学生应该找到“数”和“形”衔接的精确点，然后找到属性对象，以此为基础，将二者结合起来，实现“数”与“形”的转化。

2.发散学生的数学思维

数形结合思想的应用，可以让学生尝试转变原有的思考方式，拓展数学思考的广度，从而寻求到最有效的解决方式，达到发散思维的目的。日常教学的过程中，学生经常会接触到各种各样的图形，例如，抛东西的过程、房屋图纸等都能够用简单图形来表示。教师此时就可以将与学生生活紧密结合的内容渗透进去。例如，讲解关于“二次函数”的相关内容时，教师就可以把图像画在黑板上。因为内容复杂，且较为抽象，所以学生往往难以快速理解。此时，教师就可以让学生发挥想象，联想铅笔被扔之后的运动轨迹，再套用在二次函数中。通过这种方式，学生的思维方式就可以得到很好的转化，让思维能够和生活结合起来，培养学生的发散性思维。

3.攻克二次函数的难题

通过总结初中数学中所学的知识，我们会发现方程与函数既是学习的重点，也是学生学习的难点，遇到这类题时，学生常常不知所措。数形结合思想的应用能够将这一类问题的难度有效降低，并且讓问题条件更为浅显，进而让学生可以抓住重点，拨开层层的迷雾，以便解决实际问题。学习二次函数的内容时，若学生无法灵活应用该思想，那么题目中很多隐藏的关系或许就无法深入理解，这会增加学生掌握函数知识的难度。

二、二次函数数形结合攻克难点

1.最值问题

二次函数的内容因为较为复杂，所以很多方面学生都会遇到坎坷。通常来说，在求得二次函数最值问题的过程当中，往往是学生很难攻克的问题。区间和参变数的增加，使得其成了高考中的热点题型，更是学生难以逾越的鸿沟。根据笔者的经验总结，针对不同类型的函数，教师要将解题技巧告知学生，让学生可以学会后续应对这一类的技能，最终顺利求解。

2.抛物线图形问题

二次函数进行解答的过程中，教师可让学生在了解该思想的情况下，灵活应用此思想，以此将抛物线图形联系起来，以此让学生可以更扎实。这种情况下，学生对于函数知识了解就会更加扎实。因为二次函数自身特性和类型等不同，因此在对其属性有所了解的情况下，教师往往会让学生现在纸上画出图形，并对其进行观察。例如，常见的系数a取值从一定程度上可以决定抛物线开口方向与大小值，此时教师就可将最值和增减性等渗透其中。

三、二次函数中数形结合方式的应用

1.借助图形直观性，体现题意

图形是数形结合思想直观体现的形式，教师可以将题意中的数字位置、相关关系等内容在图形上进行标注，在了解题意之后解题难度也会大幅降低。

2.牢牢记住概念性，明确顶点作用

二次函数在确定最值的过程中，顶点与变量取值等有着很大关系，相关的图像信息也可以进行划分，其可以分为有顶点和无顶点的状态。若是有顶点存在，那么当处于顶点或是区间端点时就可以获得，若是不存在顶点，则区间的端点位置即可获得。例如，在求解最大值或最小值时，函数 x的变量在给定的范围内，图像主要显示的是对应抛物线的某一段，在画出坐标之后，顶点位置通常就是最大值，抛物线的最低端就是最小值。二次函数的区间应该牢牢记住不同x自变量的范围，在对这些知识牢记后，后续的学习也就会事半功倍。

3.丰富解题方式，拓展解题思路

二次函数题目的类型千变万化，所涉及的形式多种多样，高考试题中也是以此为基础，题目形式进行变化。总而言之，对这一类型题目进行攻克，并且坚持“快而准”的原则，是学生获取高分的重要方式。二次函数的难易程度因人而异，往往当学生能够掌握相应的解题方式后，解题思路就会豁然开朗。学生之间也可以针对问题进行多方沟通，开拓自己的思路，以寻求多变的解题方式。例如，如果题干中明确了顶点与原点位置，让求函数解析式的时候，教师就可以给予学生一定的引导，让其先对c的值进行预设，由此求得c、a、b的值，最终即可求得函数的解析式。

结束语： 数形结合的方式需要学生对数学问题条件与结论的关联性有所了解，其不仅要对代数的意义进行分析，还应该揭示出几何的规律。通过该方式在二次函数中的应用，数据与图形就巧妙地结合在了一起，学生可以充分发挥此种模式的优势，寻找多变的解题思路，让问题变得更加简单和容易，进而快速解决问题。

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（作者单位：重庆市江津双福中学校 402247）