2021年八省市高考适应性考试第22题的错误分析*

2021-06-08华南师范大学数学科学学院510631马振迪苏洪雨

中学数学研究(广东) 2021年9期

华南师范大学数学科学学院(510631) 马振迪苏洪雨

一、问题背景

2021年是广东省新一轮高考改革的起始年,也是全国第三批实行新高考改革试点省市的改革元年.为使新高考改革平稳落地实施,为使考生、高中和招生院校了解高考新方案下的考试招生模式,广东、河北、辽宁等八省市于2021年1月23-25 日同步组织了普通高校招生适应性考试.本次考试的数学卷在题目新颖度上有了很大的提升,重点考察了学生对于知识点活学活用、正向迁移的能力,有些题目甚至给考生和一线教师眼前一亮的感觉,但同时也让很多考生频频失分.本文对数学卷第22 题进行分析.

第22 题已知函数f(x) = ex −sinx −cosx,g(x) =ex+sinx+cosx

(1)证明:当x>时,f(x)≤0;

(2)若g(x)≤2+ax,求a.

这是一道函数与导数题,题目叙述简洁,由基本初等函数ex,cosx,sinx进行四则运算合成得到f(x) 和g(x).第(1)问是证明题,给出区间范围,要求考生通过观察f(x)解析式的结构特征,利用恒等变形、求导等手段,证明f(x)在某特定区间的非负性.第(2)问是求解题,给出g(x)与含参函数的大小关系,求参数的值.遇到含参问题,常用做法是构造新函数,可以通过分离参数,或者作差等方法.本题主要考查了考生对求导、辅助角公式、函数单调性等知识点的掌握,应用构造函数、作差、分离参数、切线等解题方法,对函数区间进行划分、合并、替换的能力,对考生的逻辑推理、数学运算的核心素养提出了较高的要求.

评阅过程中,笔者发现各分数段的考生既有共同的数学错误,也表现出分层的错误差异,这引发了笔者的进一步思考:各分数段的考生在函数与导数压轴题常犯的错误有哪些? 这些错误分别属于哪些错误类型? 通过以上分析希望能对一线教师突破此教学难点、实施分层教学、采取精准指导起到一定帮助.

二、错误分析

罗增儒在《中学数学解题的理论与实践》中曾提及:“解题的成功取决于多种因素,其中最基本的有:知识结构、思维能力、经验题感、情感态度,即常说的解题基本功”[1].但由于以上四要素的缺失或不完善,考生在面临考试时会出现失分、扣分、甚至零分的情况.通过本次阅卷情况来看,满分占据极小的占比,能给我们带来的信息较少;而零分和部分分的考生几乎各占一半,提供了最多最有价值的信息,展示了“一点不会、会而不对、对而不全”的考生表现和成因,因此本文重点考察“零分”和“部分分”.

笔者发现,考生在第(1)问存在9 种错误,在第(2)问存在10 种错误.鉴于考生的数学错误数量过多,为了能发现考生所缺失的知识素养或者能力,以便进行针对性的分析,有必要对这些错误归类.通过文献查找,主要借鉴了罗增儒对学生答题失误的类型划分[2-3],进一步参考近20年来的研究成果[4-8],对各分数的考生所犯的19 种数学错误进行了归纳,并给出对应所属错误类型,见表1.其中,学生普遍犯的错误有KⅠ-3、KⅠ-5、KⅡ-1、KⅡ-2、LⅡ-3,其余属于个别错误.根据考生所犯错误的异同点划分成5 个分数段,分别是0 分、1-3 分、4-6 分、7-9 分、10-11 分,并给出了对应所犯的数学错误,见表2.

表1:考生数学错误及类型

表2:各分数段考生所犯错误

(一)第(1)问的错误分析

1 知识性错误记错公式法则、混淆数学概念、滥用解题方法

错误1:求导出错(KⅠ-1)

•(cosx)′= sinx; (−sinx −cosx)′= 0; (ex)′=c(常数)或lnx或xex−1

错误2:用错辅助角公式(KⅠ-2)

•将f′(x) = ex −cosx+ sinx写成f′(x) = ex −或

错误3:三角函数值域求错(KⅠ-3)

•当

•x≤0 时,ex≤1,,∴f′(x)>0

•当时,sinx −cosx<0

错误4:三角函数的单调性出错(KⅠ-4)

•当x ∈(,0)时,随增大而增大

KⅠ-1 属于基础知识点的错误,考生因对公式法则不够熟练或者混淆而出错,KⅠ-2、KⅠ-3、KⅠ-4 都是关于三角函数的错误,考生在面临三角函数尤其是任意角、负角时,没能正确计算值域和判断单调性,对正弦函数与余弦函数的大小关系也不明朗.究其根本在于对高中三角函数的理解不到位,没有把握住三角函数的两大工具——单位圆和函数图像.

错误5:区间划分不合理(KⅠ-5)

•令f′(x) = 0 得x= 0,当x >0 时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞) 上单调递增,当x <0 时,f′(x)<0,f(x) 在(−∞,0)上单调递减

•∵f′(0) = 0,故当x ∈时,f′(x)<0,当x ∈(0,+∞)时,f′(x)>0

•令f′(x) = 0 得x=由f′(x)<0 得x ∈∴f(x)在(−∞,单调递减,由f′(x)>0得∴f(x)在单调递增

错误6:割裂函数去讨论(KⅠ-6)

•f′(x)=ex −cosx+sinx,则∵当x>时ex >0,∴只需讨论−cosx+sinx,令h(x)=−cosx+sinx

犯KⅠ-5、KⅠ-6 错误的考生容易受惯性思维影响,认为函数的驻点左右的导数符号相反,因此不能合理划分区间进行分类讨论,直接不加计算地得出错误结论;对函数整体和部分的分析思路不够清晰,没有意识到尽管ex >0 恒成立,但是−cosx+sinx若小于0,f′(x)的符号是不明确的,因为需要考虑两个部分函数对符号的影响程度.

2 逻辑性错误言而无据、不等价变换

错误7:缺乏必要说明(LⅠ-1)

•f′′(x) = ex+当x ∈(0,+∞) 时,f′′(x)>0,则在(0,+∞) 上f′(x) 单调递增.可以改成:当x ∈(0,π] 时,f′′(x)>0,当x ∈(π,+∞) 时,f′′(x)>eπ −则当x ∈(0,+∞)时,f′′(x)>0.

•f′(x) = ex −当x >0 时,易证f′(x)>0.滥用“易证”导致论据不足,可以改成:当x+即时,ex≤ 1,≤ 1,所以f′(x)>0; 当故当x≤0 时,f′(x)>0.

错误8:对恒成立认识不清(LⅠ-2)

•要证f(x) ≤0,即证ex≤sinx+cosx,令h(x) =sinx+cosx,H(x)=ex,即H(x)min≤h(x)max

LⅠ-1、LⅠ-2 均属于逻辑性错误,犯LⅠ-1 的考生其实违背了充分理由律,没有意识到结论的获得需要理由、理由务必真实、理由能够必然推导出论题;犯LⅠ-2 的考生运用分析法从结论入手,简单认为两个函数的大小关系等价于函数的最值关系,没有意识到自变量的取值是变化的,得出错误结论.

3 心理性错误书写不规范

错误9:书写不规范(PⅠ-1)

•省略f′(x),直接写f(x) = ex −sinx −cosx=ex −cosx+sinx

•将f′(x)写成f(x)′

•求导漏掉自变量x,如f′(x)=ex −sinx −cos

“零分”的考生普遍犯了书写不规范的错误,并不是因为考生缺乏相应的知识和能力,而是因紧张、赶时间或平时不注意等而导致以上“低级错误”,建议考生在平时的数学学习过程中要动笔书写,及时发现及时矫正,避免失分.

(二)第(2)问的错误分析

1 知识性错误记错公式法则、滥用解题方法、错用定理

错误10:除法的求导法则用错(KⅡ-1)

•令h(x) =h′(x) =

错误11:分离参数法运用不当(KⅡ-2)

•ex+sinx+cosx≤2+ax得a≤

•g(x) = ex+ sinx+ cosx≤ 2 +ax,当x >0 时,a≤当x <0 时,a≤令h(x)=

错误12:割裂函数去讨论(KⅡ-3)

•当x >0 时,h(x) =

≤a,令m(x)=ex+sinx+cosx −2,m′(x)=ex −当m′(x)>0,当∴m′(x)>0,∴当x >0,m′(x)>0,m(x) 单调递增,∴a≤0.

错误13:混淆函数与导数的关系(KⅡ-4)

•令F(x) = ex+ sinx+ cosx −2−ax≤0,易知F(0) = 0,则证F′(x)在(0,+∞)大于0,在(−∞,0)小于0.

KⅡ-1 属于公式法则的记错和用错,KⅡ-2、KⅡ-3、KⅡ-4 属于解题方法的滥用.考生分离参数时,普遍默认x >0,或忽视了0 不能作分母、不等式变号的情况;在讨论单调性时,选择性忽视分子,单独讨论分母的单调性;弄混函数与其导数的关系,下意识地认为最值点左右的导数符号是相反的.

错误14:连续函数的局部保号性定理使用不规范(KⅡ-5)

•令h(x) =g(x)−(2+ax) = ex+ sinx+ cosx −2−ax≤0,h(0) = 0,则必有h′(0) = 0,即a= 2.否则,h(x) 在x= 0 处的导数不为0,在其空心邻域内,会存在x0∈(−∆x,∆x),使得h(x0)<0.

•令h(x)=g(x)−2−ax,g(x)≤2+ax即h(x)≤0,h(0) = 0,h′(x) = ex+−a,若h′(0)<0,则存在x0>0 使h(x)在(0,x0)单调递减,此时h(x0)0,则存在x′ <0 使h(x) 在(x′,0) 单调递增,此时h(x′)< h(0) = 0 不合题意.∴h′(0)=0 解得a=2.

错误15:洛必达法则的运用不规范(KⅡ-6)

•当x >0 时F(x) =单调递增,∴由洛必达法则可知,ex+cosx −sinx,则当x=0 时,上式=2.

KⅡ-5、KⅡ-6 均属于高分段考生所犯的知识性错误.连续函数的局部保号性定理和洛必达法则属于大学高等数学的内容,考生由于接触不够深入,对其使用的规范性和逻辑性稍有欠缺,对于此类基础较好的学生,若能正确使用这些定理法则,对于解题以及思维的发展有一定的帮助.

对于没有学习过连续函数局部保号性定理的考生,可以用函数的零点存在性定理来完成这部分的证明,只要能取到某一点处的函数值与假设的h′(0)符号相反即可.对于有一定基础的考生,建议通过图像和实例把握“局部”二字,理解保号范围的限制性,即邻域.

洛必达法则运用时,学生将极限与函数对等,分不清∆x →0 与x →0.较为规范的书写应该是:

或令∆x=x −x0,则

此题中x0=0,所以上式可写成

2 逻辑性错误言而无据、论证不全

错误16:题意理解不到位(LⅡ-1)

•a=2.理由如下:……(略)所以当a=2 时,原不等式成立.

错误17:没有验证a=2 的情形(LⅡ-2)

•……得出a≤2.当a <2,……(略),不成立.所以a=2.

•若a >2 时,……(略),不合题意;若a <2,……(略),不合题意.综上,a=2.

错误18:缺乏必要说明(LⅡ-3)

•q′(x) = ex+ cosx −sinx −a,q′(0) = 2−a,若a >0,q′(0)<0,又q′(x)在上单调递增.故存在x=x0,使q′(x0) = 0,x0>0.∴q′(x)<0 于(0,x0)成立,∴q(x0)< q(0) = 0,∴原命题不成立.滥用“故存在”造成论据不足,可改成:∵q′(0)<0,q′(lna+1)>0,由零点存在性定理,存在唯一的x0∈(0,lna+1),使得q′(x0)=0.

•h(x)=g(x)−2−ax,∵h(0)=0,h(x)≤0,∴h′(0) = 0.此解法对应解法四,考生务必点明“x= 0 为h(x)的极小值点”这一关键步骤.其实涉及到Fermat 定理,但是对于高中生可以弱化处理,可改成:∵h(0)=0,h(x)≤0,∴x=0 为h(x)的最小值点,也为极小值点,∴h′(0)=0.

•F(x) =≤a,可以看到当x >0 时F(x) 单调递增.滥用“可以看到”造成论据不充分,可改成:当x >0,令F(x) =F′(x) =令w(x) = (ex+cosx −sinx)x −(ex+sinx+cosx −2),w′(x)=f(x)·x,由(1)知x >0 时,w′(x)>0,所以w(x)单调递增,而w(0)=0,则w(x)>0,于是,F(x)单调递增.

LⅡ-1、LⅡ-2、LⅡ-3 均属考生所犯逻辑性错误,考生或对题意的充分条件及必要条件理解不到位,或混淆极值和最值的联系,或仅靠题感过于删减论证过程,本质上来看,考生违背了充分理由律,缺乏良好的题意理解能力.

从题目来看,“若g(x) ≤2+ax,求a”,要求从所给不等式算出a的值,即a的所有取值是原不等式存在的必要条件.而考生作答情况表明,考生对极值存在两个疑问:函数的最小值什么情况下就是极小值? 极小值点的导数值一定为0吗? 实际上,函数的最值与极值有紧密的联系,极值反映了函数在某一点附近的大小情况,刻画的是函数的局部性质,而最值刻画的是函数在某区间的整体性质; 一般求函数最值,拿区间内极值和端点处函数值比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值.

Fermat 定理(若f(x)在点x0可导,且x0是f(x)的极值点,则f′(x0) = 0)表明可导函数f(x)在一点处的导数值为0 是f(x)在这点取极值的必要条件,而非充分条件,如x= 0 是函数y=x3的驻点而不是极值点,x= 0 是函数的极小值点而不是驻点,是不可导点.简言之,若函数f(x)在点a左右导数值非零且符号相反,则a必为极值点.

3 心理性错误遗漏条件

错误19:验证a=2 时,定义域不完整(PⅡ-1)

•记F(x) =g(x)−ax −2,F′′(x) =g′′(x) =f(x),由(1)可知,当x >时,F′′(x) =f(x) ≤0,∴F′(x)在上递增,∵F(0) = 0,F′(0) = 2−a.当a= 2 时,F′(0) = 0,当时F′(x)<0,当x>0 时F′(x)>0.∴F(x)在上递减,在(0,+∞)上递增,∴F(x)≤F(0)=0 满足题意.

考生借用了第(1) 问的结论,但由于心理疏忽等原因没有讨论完整区间,应补上x ∈(−∞,的情形:对

三、教学建议

(一)重视基础知识和基本方法,减少知识性错误

在平时的数学学习中,学生可以分以下三步进行针对性学习.第一步,注重基础知识的学习,包括基本初等函数的导数公式、四则运算的求导运算法则、复合函数的求导法则、三角函数的诱导公式、三角恒等变换公式以及辅助角公式等,强化基础.第二步,通过对近几年高考全国卷函数与导数大题的横向比较,笔者发现重点考察了三角函数、指数函数、对数函数等非线性初等函数,考察的能力常是对函数的转化与构造能力,因此建议考生能从高观点的泰勒展开式去看待这些初等函数,掌握一些重要的逼近线性函数,如lnx≤x −1(x>0),ex≤x −1.第三步,正确理解函数与其导数的关系,熟练运用多次求导、选择性求导、分类讨论、分离参数等方法,理解极值、最值的依存关系,如分离参数时是否进行了“恒等”变形,选择“局部分参”还是“全分参”;明晰分类讨论的四个基本原则,即同一性、完备性、互斥性、逐级性[9],做到合理分类;建议考生深入理解函数的符号性判断问题:当部分函数通过加法或减法形式给出,是不能割裂讨论的;当通过乘法或除法形式给出,可以不考虑符号已经确定的部分,单独讨论另一部分.

对于学有余力的高分段考生,可有选择性涉猎一些高等数学的知识,例如连续函数的局部保号性定理、连续函数的介值定理、洛必达法则、泰勒展开式等,加深对函数与导数的理解.

(二)强调逻辑推理素养,突破逻辑性错误

逻辑推理是新课标提出的数学学科的六大核心素养之一,也是函数与导数题主要考查的核心素养.课程标准提出培养学生会用数学的眼光观察世界,会用数学的思维思考世界,会用数学的语言表达世界.[10]由此可见,随着核心素养的持续推进,高考将会越来越重视对“逻辑推理”素养的考查.

因此笔者建议:第一,掌握推理基本形式和规则,敢于发现问题和提出命题,勤于探索和表述论证过程,理解数学命题体系,有逻辑地表达与交流,培养数学推理的严谨性,例如掌握逻辑论证的基本规律,包括同一律、矛盾率、排中律、充分理由律;第二,区分逻辑推理与直观想象在函数与导数题中的作用和地位,笔者发现,有少数同学以图代证,通过简单的草图替代了严谨的论证过程,结论虽然正确,但因解答不严谨造成失分.直观想象有助于判断函数的图像变化规律、探寻问题解决的方向和结论,但有其局限性,如在逻辑推理中缺乏思维严谨性、无法取代代数计算的合理过程.[11]建议考生加深对导数相关概念的理解,重视数形结合但避免以“形”代“数”.