一道北京大学自主招生试题的探究与推广

广东省中山纪念中学(528454) 邓启龙

题目(2016年北京大学自主招生) 在圆内接四边形ABCD中,AB= 136,BC= 80,CD= 150,DA= 102,则它的外接圆直径为( )

分析已知圆内接四边形ABCD的四条边长,如何求它的外接圆直径? 若圆内接四边形ABCD形状特殊,比如存在内角为直角,则易求外接圆直径.然后去寻找存在内角为直角的条件,于是得到解法一.若不考虑圆内接四边形ABCD的特殊形状,从一般情况出发,结合正余弦定理,求出内角和对角线长,然后得到外接圆直径,于是得到解法二.

解法一由AB2+DA2= 1362+ 1022= 1702,BC2+CD2= 802+1502= 1702得A=C=,BD=170,且BD为外接圆直径,所以外接圆直径为170.

解法二如图1,连接AC.由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2AB ·BCcosB,AC2=CD2+DA2−2CD·DAcosD.由B+D=π得cosD=−cosB.所以AB2+BC2−2AB·BCcosB=CD2+DA2+2CD·DAcosB,即1362+802−2·136·80 cosB=1022+1502+2·102·150 cosB,得cosB=于是sinB=由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2AB · BCcosB=1362+802−2·136·80·= 5184,所以AC= 72.由正弦定理得外接圆直径2R==170.

图1

解法一只适用于存在内角为直角的圆内接四边形,解法二适用于一般的圆内接四边形.接下来研究一般的圆内接四边形.

在圆内接四边形ABCD中,AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,对角线AC,BD交于点E,如图2.由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2AB ·BCcosB,AC2=CD2+DA2−2CD·DAcosD.由B+D=π得cosD=−cosB.

图2

所以AB2+BC2−2AB·BCcosB=CD2+DA2+2CD·DAcosB,即a2+b2−2abcosB=c2+d2+2cdcosB,得cosB=于是

其中p=为半周长.

于是得到以下结论:

结 论1cosA=(a2+d2−b2−c2)/2(ad+bc),sinA=cosB=a2+b2−c2−d22(ab+cd),sinB=

所以AC=同理可得BD=于是得到以下结论:

结论 2AC=

由结论2 得AC·BD=ac+bd=AB·CD+BC·DA,此即托勒密定理.由正弦定理和结论2 得外接圆直径于是得到以下结论:

结论3外接圆半径

在圆内接四边形ABCD中,a=AB=136,b=BC=80,c=CD= 150,d=DA= 102,则半周长p= 234,所以外接圆直径

如图2,在圆内接四边形ABCD中,设AE=adx,由∆AEB∽∆DEC得所以DE=cdx,同理可得BE=abx,CE=bcx.由AC=AE+CE=(ad+bc)x和结论2 得于是得到以下结论:

结论4

由结论1 得圆内接四边形ABCD的面积

于是得到以下结论:

结论5圆内接四边形ABCD的面积S=若d= 0,则圆内接四边形ABCD退化为三角形ABC,面积S=此即海伦公式.

对于一般的平面凸四边形(如图3)ABCD,若AB=a,BC=b,CD=c,DA=d,如何表示它的面积?

图3

连接AC,由余弦定理得AC2=AB2+BC2−2AB·BCcosB,AC2=CD2+DA2−2CD·DAcosD.

所以AB2+BC2−2AB·BCcosB=CD2+DA2−2CD·DAcosD,即a2+b2−2abcosB=c2+d2−2cdcosD,得abcosB −cdcosD=凸四边形ABCD的面积sinD,于是absinB+cdsinD=2S.所以

得

令p=为半周长,则S2=(p −a)(p −b)(p −c)(p −d)−abcdcos2于是得到以下结论:

结论6凸四边形ABCD的面积

若凸四边形ABCD为圆内接四边形,则B+D=π,面积S=此即结论5.

若凸四边形ABCD为圆外切四边形,即凸四边形ABCD有内切圆,则p=a+c=b+d,面积S=

若凸四边形ABCD既是圆内接四边形,又是圆外切四边形,即凸四边形ABCD既有外接圆,又有内切圆,则面积