高考数学新题型编制的来源和方法探索

江苏省太湖高级中学 蒋孝国 214125

2019年中国高考评价体系明确了“一核”、“四层”、“四翼”的概念及其在素质教育发展中的内涵，回答了“为什么考”、“考什么”、“怎么考”等问题[1].新高考评价体系将以高考试题为载体体现，新高考数学的题型在原来的基础上增加了多项选择题和一题多空型的填空题.这对大多数省市都是新题型，因此教师研究如何命制高考新题型对日常教学和高考备考有着重要价值.

任子朝等[2]研究指出新题型突出对逻辑思维能力的考查，加大考生的区分度，试题会更加开放.任子朝等[3]还指出多选题的引入有利于提高全卷的得分率，多级得分模式有利于区分出高水平学生，并建议多选题选项设置上为4个.曹凤山[4]指出一题多空在发挥一题一空题型优势的同时，设立“中间站”，体现局部结果，可增加考查内容，扩大知识覆盖面，对于难度较大的试题，可分步得分，丰富了命题形式，提高试卷的区分度.笔者在教学实践中，积极探索高考新题型的编制来源和方法，整理成文，抛砖引玉.

1 源于课本习题的改编

教材中的习题是经专家精心选择，能促进学生对基本概念的理解、对基本方法的掌握，有利于学生解题能力的形成.大型考试为促进师生重视课本，部分试题的原型来自课本，因此命制新题，可以从课本出发.

图1

原题1考查椭圆的定义、二次函数的最值和基本不等式等基本知识.在保持题干不变的情况下，笔者从多个视角通过改编结论来命制新题.

角度1：“线段”的视角

新题1-1：O为坐标原点，则PF1的取值范围为____，PF1·PF2+PO2值为____.（答案：[a-c,a+c]，a2+b2）

角度2：“面积”的视角

角度4：“角度”的视角

评注：以教材中的成题为基础，从四个角度横向联系高中数学各部分，改编后的新题具有一定的综合性，两空的设置一般是第一空为第二空的求解提供提示或基础.

原题2考查同角三角函数的关系，是一道基础题.笔者改编题目条件和结论，使题目条件更加开放，命制新题2.

新题2：已知θ∈(0,π)，且sinθ+cosθ=a，其中a为常数且a∈(0,1)，则下面tanθ的值，不可能正确的是（ ）.

2 源于高考（或高考模拟）试题的改编

研究高考试题使教师获得试题的基本信息，为教师的下一步教学工作提供改进方向，并且对于提高考试质量，改进和完善考试工作有着重要的作用.

笔者将条件与结论互换，编制新题3.

图2

评注：通过对原题的条件与结论互换是改编成题构造新题的重要方式，新题3通过设置多个选项，扩大知识覆盖面，加深知识考查的深度.

3 源于自主招生试题的改编

原题4（2015清华大学自主招生第16题）：过△ABC的重心作直线将△ABC分成两部分，则这两部分的面积之比（ ）.

原题4是一道自主招生试题，有一定的难度，起点较高，学生一时找不到入手点，现将其改造为一个起点低，有层次的新型题.笔者增加题目的条件相当于给学生一些提示，降低部分难度，改变结论，扩大题目考查知识的覆盖面，增强了试题的综合性.

图3

评注：改造后的新题4，降低试题求解的门槛，扩大知识的覆盖面，综合考查三角形面积公式，向量的共线定理和平面向量基本定理，基本不等式等知识，提高试题的综合性.

4 源于竞赛试题的改编

图4

评注：原题5是平面几何的形式，将竞赛题的条件和情境进行等价转化，转化为常规题.

5 源于跨学科的情境

随着课程改革，自然学科与数学之间的结合会越来越紧密，其它学科以数学为基础，数学通过其它学科体现应用.这要求教师在日常教学中适当进行学科之间的渗透，加强联系.

新题6：已知甲烷分子式为CH4，其中四个氢原子处在一个正四面体的顶点上，而碳原子恰好在这个正四面体的中心上，碳原子与每个氢原子之间均有化学键相联，若我们把每个原子均看成一个质点，设两个氢原子之间的距离记为1.下列说法中正确的有（ ）.

解析：如图5，正四面体ABCD（各棱长均相等），O点是正四面体的中心，于是OA=OB=OC=OD，设O点在底面BCD的投影点为O′，正四面体的棱长为1.

图5

评注：新题6以化学为背景，实质求正四面体的体积、外接球半径和体积等，体现学科之间的渗透和融合.

6 源于数学文化的情境

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出数学文化是指数学的思想、精神、语言、方法、观点，以及它们的形成和发展；还包括数学在人类生活、科学技术、社会发展中的贡献和意义，以及与数学相关的人文活动.编制与数学文化有关的试题，以一首唐诗为情境命制考查充分条件、必要条件为例.

新题7：王昌龄是盛唐著名的边塞诗人，被誉为“七绝圣手”，其《从军行》传送至今，“青海长云暗雪山，孤城遥望玉门关，黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，由此推断，其中最后一句“破楼兰”是“返回家乡”的（）.

A.必要条件 B.充分条件

C.不充分条件 D.不必要条件

这首诗最后一句反映戍边将士为保家卫国所发出的坚定誓言，与数学结合，使学生感受数学不只是抽象的概念和繁琐的计算，也具人文情怀.本题正确选项为A、C.

评注：以数学文化为情境命制试题，教师要充分挖掘教材以及其他素材中可以运用到教学中的相关资料来丰富学生数学文化素养，让学生体会到数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值.

7 源于常见结论

数学中有很多常见结论，我们可以通过对这些结论的研究来编制新题.

推广：若直线AB经过抛物线y2=2px(p＞0)的轴上的一点P(n,0)，与抛物线相交于A,B两点，其中A(x1,y1)，B(x2,y2)，则A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值.即x1·x2=n2，y1·y2=-2pn.

通过抛物线性质及推广，编制新题8.

图6

评注：本题源于一些已知的结论，采用演绎推理方法命制试题，即从预先已知的定理或正确的结论出发，按照一定的目的进行运算或者推理，得出某种结论，由此设计数学试题.这是一项创造性的工作，常常与数学性质的发现联系在一起，能创作出新颖的试题.

隐去或部分隐去真实、确定的完整数学意义的构成要素，要求应答者构造完整数学意义的陈述，这种构造过程就是编制数学题.从上文，我们得到编制新题型的方法一般有改编成题和编制新题两种，编制的来源见下表1.

表1编制新题型的来源

习惯上把已有的题目称为成题.根据成题改编，所得的新题源于陈题、但又有一定的新意，是编制新题的一种常用方法.本文改编成题的方法见下表2.

上述编制新题型的来源和方法只是笔者的探索，实际上编制新题的来源也可源于实际问题、高等数学背景、给定条件构造新题等，改编成题的方法也不限于笔者的做法，也可将条件、结论一般化或特殊化等等，

表2改编成题的方法

这需要我们共同探索.