揭示隐含条件的几个藏身地

浙江省嘉兴市嘉善第二高级中学 (314100) 孙洪梅

在某些数学命题的题设中，已知条件或欲求结论中还可能隐含某些信息，或在解题过程中所得到的结论也隐蔽着大小关系、取值范围等，我们称之为“隐含条件”.在解题中，如果我们不能及时披露题目中隐含条件，一般会造成解题错误或者解题过程繁琐，亦或者认为题目缺少条件而束手无策.针对此类问题，本文通过举例分析，揭示隐含条件的一般藏地及如何寻找隐含条件，供读者朋友参考.

一、隐含在数学概念中

许多概念都是定义在相关条件上的，遇到这些概念就应该联想到建立此概念所必须满足的条件，关注这些条件并合理运用非常重要.

例1 设A={x|x2-8x+15=0}，B={x|ax-1=0}，若A∪B=A，求实数a的值.

例2 设钝角三角形的三边长分别为k、k+1、k+2，求实数k的取值范围.

解析：设最大边k+2所对的角为θ，则θ必为钝角，故有cosθ<0，由余弦定理得，cosθ=

评注：这里容易忽视“三角形任意两边之和大于第三边”这一构成三角形的重要条件，造成错解.

二、隐含在数学公式中

一些数学公式必须在一定条件下才能得到，在使用这个公式时要考虑使用条件，不可盲目套用.

例3 已知数列{an}满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n2+1，求通项公式an

评注：对于Sn-1来说，蕴含着条件n≥2，所以关系式an=Sn-Sn-1在n≥2时对任何数列都适用，但当n=1时不适用，即不要忘记对n=1进行验证.

例4 已知a>0，求函数y=(sinx+a)(cosx+a)的最大值和最小值.

三、隐含在已知条件中

在一些题目中，条件比较隐晦，不能一眼看透，需要加强分析、特值探求，或有意识的反思等方法找到条件.

例5 已知3sin2α+2sin2β=2sisα,求sin2α+sin2β的取值范围.

评注：在本解法中，利用特殊值进行验证获得了f(1)=1这一隐含信息，得到了关于系数a、b、c的一个关系式，这是破题的关键所在.

四、隐含在待求结论中

如果题目的条件简单，而欲求结论相对复杂，通过化简、变形这个结论就可以挖出当中所含的条件或提示.

评注：有些数学题中隐含着等式关系，它提示了该数学问题的本质，挖掘出这些隐含的等式关系，就是我们解答此问题的切入点.

例8 △ABC的三边a，b，c和面积S满足关系S=c2-(a-b)2，且a+b=2，求面积S的最大值.

评注：题中要求的是三角形面积的最大值，何时取最大是问题的关键，所以首先根据题意从题设中挖掘出角C的取值情况非常重要.

五、隐含在图象、图形中

有一些几何图形、几何体粗看上去不易理解，但通过连辅助线、拆分图形，把已知条件进行整合，就能找出隐含的关系或结论.

A．0 B．3 C．-3 D．3或-3

评注：由于题设中只有一个条件，故需研究三角函数图象的特征，再充分运用这个条件，这样就撇开了参数ω、φ，进行整体分析，整体求解.

例10 如图1，已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体，E、F分别为AA1与CC1的中点，求四棱锥A1-EBFD1的体积.

图1

解析：容易求出EB=BF=FD1=D1E=

评注：本题中直接求体积比较困难，但通过分割、换底变高转化，将难以计算的底与高转化为已知的底与高的三棱锥，这就是挖出了几何图形中所隐含条件，从而使问题轻松化解.

六、隐含在解题过程中

在解题过程中可能得到许多的中间结论，若能及时发现，及时利用，可简化解题过程，提高解题的正确率.

评注：在对条件的化简变形中，及时的抓住2sinαcosα<0这个隐含条件，确定了sinα- cosα的取值，从而避免了增解的发生.

例12 设A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

评注：在解题过程中，得到了直线AB过定点Q(4p,0)，再由OM⊥MQ，根据圆的定义直接得出点M的轨迹方程，不放过这个解题途中获得隐含条件是破题关键.