非线性双寡头R&D竞争的动力学分析

刘宏珍，周伟

(兰州交通大学数理学院，甘肃兰州730070)

现如今，随着社会的发展，企业之间的竞争越来越激烈，消费者的需求也越来越多样化，比如说，消费者都喜欢性价比高的产品，物美价廉，所以企业需要站在消费者的角度考虑问题．研究和开发（Research and Development，R&D）活动可以使企业的生产成本降低，生产效率提高，所以很多企业选择进行R&D活动，以此在市场中获取竞争优势．关于R&D努力，自从D’Aspremont 和Jacquemin[1]的研究之后，企业R&D问题引起了众多学者的关注，他们主要利用微分或差分方程的方法来研究R&D问题．Dawid等[2]通过在技术进步影响下的双寡头投资行为，发现由于推出新产品的影响，R&D合作的利润高于R&D竞争．Prokop[3]基于一个二次的成本函数，指出企业R&D努力的价值由其研究的外部性决定，当公司组建合资企业时，企业投入的R&D努力值最低．文献[4]建立了一个不同期望条件下的双寡头R&D竞争模型，分析了模型出现分岔和混沌的条件．文献[5]提出了一个寡头垄断随机研发对策的模型框架，发现市场可以在单一模式下生存，并可利用R&D降低生产成本．文献[6-7]在R&D成果共享的条件下建立了一个两阶段动态博弈模型，且分析了模型的稳定性．文献[8]分析了产品市场竞争对手之间的R&D合作，发现当企业有足够的耐心时，R&D合作是可以实现的．

目前，国内也有大量学者在研究企业R&D竞争问题．袁立科等[9]指出在非对称的Stackelberg寡头竞争模型下，企业的R&D努力以及利润均会受到产品市场行为的影响．胡荣等[10]建立了一个不同理性层次的双寡头R&D竞争模型，并分析了该模型均衡点的存在性与稳定性．Askar等[11]采用有限理性和Puu方法两种机制研究了离散时间尺度下的动态双寡头古诺模型，并分析了其动力学特性．赵帅等[12]通过Cournot和R&D两个模型的对比发现，市场的集中度越高，技术水平进步就越大．盛昭瀚等[13]指出企业初始R&D努力的微小变化会导致企业在长期演化中出现巨大的差异．路正玉等[14]研究了一个多寡头博弈模型，研究结果表明，初始条件的微小变化可能会对寡头厂商以及市场产生较大影响．黄东卫等[15-17]研究了多个企业的R&D竞争问题，为企业的R&D投入奠定了理论基础．

以上文献中，不管是国外还是国内的学者，对企业R&D竞争的研究，都是基于线性的逆需求函数进行的，但在现实的市场经济中，很多企业的需求函数可能是非线性的，因此，本文将考虑一个非线性逆需求函数下的双寡头R&D竞争模型，运用理论与数值相结合的方法对该非线性模型均衡点的稳定性与存在性进行分析，并通过Matlab数值模拟该模型在不同参数下的复杂动力学行为．

1 模型的建立

2 模型分析

3 数值模拟

仅通过以上理论分析不能动态展现出所建模型（10）的复杂动力学行为，因此需要通过数值模拟的方法，这样可以直观地反映出动态博弈进程．本文主要采用的工具有单参数分岔图、最大Lyapunov指数图、相图以及吸引盆．固定参数a-c=14.8737，b=4.0593，α1=0.5767η=2.5．初值为(2.1883,2.7552)．

3.1 技术创新参数对模型稳定性的影响

固定参数a-c=14.8737，b=4.0593，α1=0.5767．图1是关于技术创新参数η的一维分岔图．

图1 模型（10）关于参数η的单参数分岔图与最大Lyapunov指数图

固定调整速度α2=0.3624时，系统（10）在η＜2.648时是稳定的，随着技术创新参数η的增加，纳什均衡点的稳定性发生改变．当η=2.648时，纳什均衡点发生倍周期分岔失去稳定性，当η＞2.904时，系统（10）进入混沌状态．值得注意的是，在η=3.634至η=3.696时，系统（10）再次进入短暂的周期，当η＞3.696时，系统再次进入混沌状态．这种从周期到混沌期间出现周期窗口的情况，表示为经济的不可预测性，如图1（a）所示．图1（b）是其相应的最大Lyapunov指数图，当Lya＜0时，系统处于Cournot-Nash稳态，当Lya=0时，系统发生分岔失去稳定性，当Lya＞0时，系统进入混沌状态，此时意味着市场变得不稳定．

增加调整速度，当α2=0.3924时，如图1（c）所示，发现当η＜2.583时，系统（10）是处于稳态的，在η=2.583时，纳什均衡点发生倍周期分岔失去稳定性，当η＞2.687时，系统（10）进入混沌，随后中间出现了周期窗口，在η=2.817至η=2.878时，系统（10）进入周期，最后在η＞2.878时，系统（10）进入混沌．图1（d）是对应的最大Lyapunov指数图，从中也可以观察到系统从稳定到混沌的变化过程．对比图1（a）与图1（c）可以发现，调整速度过大会影响系统的稳定性，会导致系统提前进入混沌，市场陷入混乱，因此要合理调控调整速度的大小．

3.2 吸引子的演化与其吸引盆

吸引子是动力学方程的解在相图中描绘的轨迹终态集，它是动力学系统在相空间中最后的稳态，具体定义可以参见文献[19]．通过吸引子的部分动力学行为可以研究一个系统的动力学行为．

图2是系统（10）的吸引子演化图．如图2（a），当调整速度α2=0.3524时，吸引子为两个二周期焦点，但当调整速度α2增加至0.3600时，二周期焦点会通过Neimark-Sacker分岔变成带有毛边的不变环，如图2（b）；继续增加调整速度α2，带有毛边的不变环会消失并出现两个边界光滑的不变环，然后不变环逐渐破裂，如图2（c）和图2（d）；更有趣的是，当调整速度α2增加至0.3646时，破裂的不变环重组再次形成边界光滑的两个不变环，如图2（e）；最后当α2=0.3663时，不变环随着参数的变化形成了混沌吸引子，如图2（f）．系统出现吸引子不断经历破裂形成“锁相”后重组再次出现不变环的现象，这种现象意味着系统的无规律行为，也就是说外在条件的影响会导致市场出现不可预测性．

固定参数a-c=14.8737，b=4.0593，α1=0.5767，α2=0.3524，η=2.5，得到这组参数下的均衡点E2(0,8.121)，其特征值的绝对值为λ1=0.2266和λ2=6.3661，所以E2(0,8.121)是不稳定的鞍点．如图3（a），当α2=0.3524时，E2(0,8.121)与二周期焦点共存，黄色区域（A）是二周期焦点的吸引域，绿色区域（B）是边界均衡点E2(0,8.121)的吸引域，深蓝色区域（C）是逃逸区．增加调整速度α2至0.3600时，如图3（b），二周期焦点会通过分岔变为两个不变环，这两个不变环与边界均衡点E3(8.121,0)共存，且边界均衡点的吸引域面积会有少许增加．

图2 系统（10）的吸引子演化图

4 结论

本文基于非线性逆需求函数，建立了一个两阶段双寡头R&D竞争模型，从理论上研究了系统不动点的局部稳定性．接下来，通过数值模拟的方法研究了调整速度和技术创新参数对系统稳 定性的影响，发现随着技术创新参数的增加，系统会发生倍周期分岔失去稳定性进入混沌状态，如果调整速度过大，也会导致系统提前失去稳定性进入混沌状态，所以要合理调整参数的大小．此外，通过吸引子的演化过程研究了调整速度2α对系统最终行为的影响，发现调整速度的增加会使系统的全局行为发生改变，出现一种边界均衡与吸引子共存的现象，这为企业的决策提供了依据．

图3 系统（10）吸引盆