基于单微凸体的分形接触模型及其 静摩擦预测模型研究

李鑫，李仁军

(1．奇瑞汽车股份有限公司，安徽芜湖241008；2．安徽工程大学机械工程学院， 安徽芜湖241000)

实际工程中，所有机械表面都不是绝对平滑的，粗糙表面间的接触特性直接影响着表面间的摩擦特性．有研究结果显示，接触面间的静摩擦特性是通过粗糙表面上的微凸体相互作用体现的[1]．在较多的研究中，基于Amontons Coulomb理论的摩擦模型应用较为普遍，该模型认为表面摩擦因数μ与表面特征参数α之间存在关系μ = tan α[2]．通过数值研究和实验研究发现，粗糙面间的实际接触面积与法向载荷之间存在线性关系，究其原因，是因为接触面间的微凸体发生弹性变形所致．基于此分析，典型的Amontons-Coulomb摩擦理论可以解释为接触区域内的剪切行为，并产生了恒定的剪切应力[3]．但是也有一些研究表明，在低载情况下，摩擦力与法向载荷之间并不满足线性关系[4-5]．于是有学者对摩擦行为和表面粗糙度参数之间的关系进行了探究，研究发现，机械表面展现出来了几何学上的自仿射特性，并在多尺度下具有分形特征[6-7]．所以，近年来，无论是在实验研究还是在计算机数值计算研究中，对表面分析和接触机理研究的领域内均把表面分形特性作为主要的研究方向[8-9]．

“分形”的概念最早由Archard提出[10]，在接触模型中，更小的半球微凸体在更大的尺度下出现，而且接触载荷与接触面积之间成线性关系．文献[11]对Archard模型在粗糙面间的弹性多尺度接触行为进行了评估，并与现代分形模型的结果进行了比较．文献[12]利用Weierstrass和Mandelbrot分形函数（W-M函数）建立了描述分形表面粗糙度的基础．文献[13]利用W-M函数建立了第一个分形接触模型（MB模型），在过去几十年里，许多研究者都利用过该模型进行研究．文献[14]在此模型基础上研究了弹性接触刚度和接触阻抗．文献[15]将MB模型扩展到三维分形表面，文献[16]提出了一种方法来研究不同尺度下硅微机电系统微凸体的几何形状．文献[17-18]分析了分形表面的摩擦磨损行为，文献[19-20]将分形表面概念应用于机电领域．文献[21]比较了接触模型的统计学方法和分形方法，发现二者之间存在本质上的不同．

然而，MB模型以及以上介绍的相关研究成果均显示，小的接触点会发生塑性变形，而大的接触点会发生弹性变形．换言之，当接触载荷和接触面积增加时，接触状态由塑性变形向弹性变形转换．这个现象从本质上与经典接触理论相悖，而且也是不现实的，可能是因为在MB模型中，将单个微凸体的接触面积视为被刚性平面所截得的面积，并且每个微凸体均完全变形．文献[22]提出了修正的微凸体接触模型（ME模型）以克服MB模型带来的这些缺点，然而，他们仅提出了单个微凸体的接触模型，而并非完整的粗糙平面的接触模型．

本文在单微凸体ME接触模型基础上提出了完整的粗糙面接触模型，研究了完整粗糙面的实际接触面积和接触载荷，并在此基础上提出了静摩擦预测模型，还研究了粗糙面间静摩擦系数受分形维数和粗糙度系数的影响规律．与MB接触模型不同的是，本文所研究的模型中，临界接触面积是与尺度相关的，而且微凸体的变形过程与经典接触理论也是一致的：从弹性变形到塑性变形．

1 单微凸体的ME接触模型

根据MB接触模型，单个微凸体的几何轮廓可以表示为：

其中，l表示粗糙表面微凸体在频率指数为n时的长度尺度，且有：

D为表面轮廓曲线的分形维数，G为表面轮廓功率谱的分形粗糙度系数．

图1给出了单个微凸体的几何轮廓．

图1单个微凸体几何轮廓

在MB接触模型中，长度尺度l与微凸体的实际接触长度相同，也就是说，微凸体均发生完全变形，即：

其中，ω是微凸体的变形高度，δ是微凸体的总高度．微凸体的临界接触面积为[23]：

其中，σs为材料屈服强度，E为弹性模量，K为系数．临界接触面积ac是与微凸体尺寸无关的常量，当实际接触面积a＜ac时，微凸体发生塑性变形，而当a＞ac时，微凸体发生弹性变形．换言之，当接触面积增大时，微凸体的接触模式从塑性接触转变成弹性接触．这个结论与经典接触模型相悖，而且也不符合实际，这样的不足将会影响摩擦学领域内的许多研究，例如摩擦、磨损、粘着等，但是，目前仍有许多学者引用MB模型进行研究．

文献[22]通过修改微凸体接触模型克服了上述不足，提出了ME接触模型．ME接触模型中增加了独立的参数ω来描述微凸体的变形高度，其变化范围是0≤ω≤δ，微凸体的尺寸可由（2）式表征，临界接触面积可以表示为：

当a＜ac时，微凸体发生弹性变形，当a＞ac时，则转变为塑性变形．变形过程由弹性变形开始转变成塑性变形，这个过程与经典接触模型的结论相同，与MB接触模型的结论相反．弹性接触载荷可表达为：

弹性接触面积正比于接触载荷的2/3次方，这个关系满足Hertz接触理论．尽管ME接触模型克服了MB接触模型的不足，但是ME接触模型仅限于单个微凸体，并不适用于完整的粗糙面．

2 基于ME接触模型的静摩擦预测模型

为了得到基于ME接触模型的静摩擦预测模型，需要首先得到完整接触面上的接触模型．下面将给出基于单个微凸体ME接触模型的完整平面接触模型，包括接触载荷和接触面积．与MB接触模型一样，假设粗糙表面为各向同性表面，微凸体变形不会影响相邻的微凸体，并且在接触过程中体积不发生变化．

如前所述，模型中微凸体的变形顺序是从弹性接触转变成塑性变形，并且最大接触点是弹性变形．频率指数n的变化范围从nmin（对应最大接触点）到nmax（对应最小接触点）．长度尺度l=1/γnmax取决于粗糙度测量仪器的分辨率，l=1/γnmin取决于被观测的样本．γ为大于1minmax的常数，研究发现，γ=1.5最具有代表性．

2.1 临界频率指数

在每个长度尺度下，微凸体的变形顺序都是由弹性变形向塑性变形转变．由前文可知，当接触面积a小于临界接触面积ac时，微凸体发生弹性变形；反之则发生塑性变形．所以，所有微凸体发生弹性变形的条件是，在频率指数为n时，最大接触点的接触面积an小于该尺度下的临界接触面积anc，当微凸体处于弹性变形状态时，最大接触点的接触面积可视为截面积的一半．由0.5an＜anc和式（2）、式（5）可得：

于是有：

考虑到频率指数n为整数，所以弹性变形的临界频率指数nec即为：

其中，int[•]表示取整运算．

类似，所有微凸体都发生塑性变形的条件是，在频率指数为n时，最小接触点的接触面积an+1大于该尺度下的临界接触面积anc，于是塑性变形的临界频率指数为：

通过（8）式―（10）式可知，当频率指数nmin＜n＜nec时，微凸体发生弹性变形；当nmax＞n＞npc时，微凸体发生塑性变形；当nec≤n≤npc时，若an＜anc，则微凸体发生弹性变形，若an＞anc，则微凸体发生塑性变形．

2.2 完全接触分形模型

由MB接触模型可知，微凸体的接触面积不同，而且随机分布在接触区域内，接触面积a的分布函数n(a)为：

其中，amax为微凸体最大接触面积．

接触区域内的实际接触面积可表示为：

2.3 静摩擦预测模型

生塑性变形的微凸体，当切向力逐渐增大时，只有弹性变形的微凸体最终将达到屈服极限，此时切向力就是静摩擦力．已知Tresca屈服条件：

如前所述，由于摩擦力仅考虑弹性接触的微凸体，且对于单个微凸体来说P*=Pe(a)，所以总摩擦力可表示为：

由（27）式和（21）式即可求得静摩擦系数：

3 结果与讨论

计算过程中所需参数如表1所示．

表1 计算所需参数

当分形维数D = 1.4，粗糙度系数G = 10-15m时，实际接触面积Ar和接触载荷P之间的关系如图2所示．

从图2中能够看出，当实际接触面积增加时，接触载荷也随之增加，而且二者近似成线性关系，斜率由材料参数、分形维数以及粗糙度系数决定．结果还证明一点，无论粗糙面间的接触是弹性接触还是塑性接触，实际接触面积与接触载荷之间均成线性关系，这个结论与统计学接触模型所得的结论一致，但是MB接触模型得出的结论是，只有当粗糙表面间为塑性接触时两者才出现线性关系，这与本模型的结论不同．

图3展示了分形维数D = 1.4，粗糙度系数G = 10-15m时塑性接触面积比Ap/ Ar与接触载荷P之间的关系．从结果（图3）中可以看出，当接触载荷增加时，塑性接触面积在实际接触面积中的占比逐渐减小，这是因为，当载荷增大时，最大接触点的面积也随之增加，而临界频率指数nec和npc不变，换言之，载荷增大后，进入弹性接触状态的微凸体数量变多．这个结论与MB接触模型的结论类似．

图2 实际接触面积与接触载荷之间的关系

图3 接触载荷与塑性面积比之间的关系

图4给出了粗糙度系数G = 10-15m时，分形维数对静摩擦系数的影响规律．从图4中可以发现，静摩擦系数随载荷的增加而变大，这个结论与经典统计学摩擦模型的结果相同[26]．而且，当分形维数D在1.4―1.6时，静摩擦系数随着分形维数的变大而增加，当D等于1.7和1.8时，静摩擦系数反而随之减小，这说明，对于静摩擦系数而言存在使其达到最大值的分形维数．

图5给出了分形维数D = 1.5时，粗糙度系数对静摩擦系数的影响．结果显示，粗糙度系数越大，静摩擦系数越小．这是由G增大时，微凸体顶端的曲率半径R减小，使得弹性接触的微凸体百分比下降造成的．根据前面的假设，只有弹性接触才能承受摩擦力，如果弹性接触的微凸体比例下降，那么静摩擦系数应该也随之降低．

图4 分形维数对静摩擦系数的影响

图5 粗糙度系数对静摩擦系数的影响

4 结论

本文在单微凸体ME接触模型基础上提出了完整的粗糙面接触模型，研究了完整粗糙面的实际接触面积和接?触载荷，并在此基础上提出了静摩擦预测模型，还研究了粗糙面间静摩擦系数受分形维数和粗糙度系数的影响规律．从计算结果中能够看出，实际接触面积与接触载荷之间成线性变化规律，而且接触载荷增加时，塑性接触面积在总接触面积中的百分比下降．静摩擦系数随接触载荷增加而增大，分形维数存在极值使静摩擦系数最大，而粗糙度系数越大，静摩擦系数越小．这些结论都与现有文献或理论的结果一致．