三角函数的六边形关系在不定积分中的应用

师光华 季泽仪

【摘要】 三角函数六边形给出了三角函数间的一些重要关系，易于记忆，便于使用.本文研究三角函数的六边形关系在不定积分中的应用，为初学高等数学的学生提供一套有效的处理不定积分问题的解题思路，帮助学生较好地理解和运用三角换元法.

【关键词】不定积分;三角函数;三角换元法;反三角函数

【基金项目】江苏省自然科学基金（BK20190874）

1 引言

在高等数学的学习中，积分的三角换元法是一个重点和难点，关于三角函数的公式也最为丰富.对于初学高等数学的学生而言，正确使用三角换元法求解积分问题是比较困难的.三角函数公式的六边形记忆法将六个三角函数之间的常用关系通过图形清晰地展示了出来，本文研究三角函数六边形关系在求解不定积分中的应用，以及从新的角度处理不定积分的三角换元法，以期给学生提供一种行之有效的解题思路.

2 三角函数六边形公式

2.1 三角函数六边形

如图为三角函数六边形，六个三角函数的位置依次如图所示，利用该图形能更好地记忆三角函数公式.

三角函数六边形

2.1.1 三角函数六边形所包含的公式

（ⅰ）三角函数六边形的对角线互为倒数，即：

sin xcsc x=1， cos xsec x=1， tan xcot x=1.

（ⅱ）六边形里每个倒三角形（阴影部分）底端函数的平方等于两肩上函数平方的和，即：

sin2x+cos  2x=1， tan2x+1=sec2x， 1+cot2x=csc2x.

（ⅲ）三角函数六边形上任何一点对应的函数等于相邻两点对应函数的乘积，即：

sin x=tan xcos x， cos x=sin xcot x， tan x=sin xsec x，

cot x=cos xcsc x， sec x=tan xcsc x， csc x=cot xsec x.

2.1.2 三角函数六边形公式的记忆口诀

（ⅰ）对角线倒数，（ⅱ） 倒三角平方和，（ⅲ） 邻点积.

此外，六边形中还蕴含了三角函数的求导法则.

（ⅳ）求导规则记忆口诀：左正右负，上互反，中下方，下中下.

其代表的含义为：位于六边形左边的三个三角函数的导数符号是正的，而位于六边形右边的三个三角函数的导数符号是负的.在此基础上，六边形上面两个三角函数的导数是互反的，即（sin x）′=cos x，（cos x）′=-sin x;六边形中间的两个三角函数的导数是下方三角函数的平方，即（tan x）′=sec2x，（cot x）′=-csc2x;六边形下方的两个三角函数的导数为中间三角函数与下方三角函数的乘积，即（sec x）′=tan xsec x，（csc x）′=-cot xcsc x.

学生可根据三角函数六边形的图形和上述记忆口诀快速理解并记忆一系列三角函数公式.在做题的过程中，学生可简单画出该六边形或三个倒三角形，并将中间的交叉点看作1，即可快速、方便地使用此套公式.根据教学经验，六边形中包含了高等数学所需的关于三角函数的部分最常用公式.

2.2 运用三角函数六边形求解不定积分

对于被积函数中含有a2-x2， a2+x2，以及x2-a2的积分问题，我们可以使用三角换元法.一般教材中直接给出了换元规律：

（ⅰ）被积函数中含有a2-x2，可作代换x=asin t或x=acos t;

（ⅱ）被积函数中含有a2+x2，可作代换x=atan t或x=acot t;

（ⅲ）被积函数中含有x2-a2，可作代换x=asec t或x=acsc t.

但是学生很难记住这些规律.针对这类问题，我们通过如下几类典型例题给出新的解题思路，帮助学生更好地理解上述换元规律，并在解题过程中为学生提供一套行之有效的处理方式.

例1 求∫1x2+a2dx（a>0）.

我们首先观察一下该不定积分，其求解困难在于对无理式a2+x2的处理，我们需要想办法去除根号，这就要求根号下的式子可以通过换元法写成某一函數的平方式的形式.为此，我们将a理解为1，根据三角函数六边形中倒三角形所蕴含的公式进行处理.通过观察，我们使用公式tan2t+1=sec2t进行换元：令x=atan t-π2

令x=atan t，则dx=asec2tdt，x2+a2=a2tan2t+a2=asec t，因此

∫1x2+a2dx=∫asec2tasec tdt=∫sec tdt=ln（sec t+tan t）+C′.

接下来我们需要进行变量回代.一般的做法是根据边角关系和勾股定理建立一个直角三角形模型，从而确定三角函数的回代关系式.此方法可以培养学生的数形结合能力，但不利于操作.在此，我们给出一种更加简便的方法，直接利用三角函数六边形中的关系进行转换.首先，已知tan t=xa， 为了确定sec t，我们运用六边形中左下角的倒三角形所蕴含的公式：tan2t+1=sec2t，得到sec t=tan2t+1=x2+a2a， 因此

∫1x2+a2dx=lnx2+a2a+xa+C′

=ln（x2+a2+x）+C.

例2 求∫a2-x2dx（a>0）.

我们需要处理无理式a2-x2， 这就要求根号下的式子可以通过换元写成某一函数的平方式的形式，从而去除根号.为此，我们将a理解为1，根据三角函数六边形中的关系式，我们采用上方倒三角形所蕴含的公式，即1-sin2x=cos 2x.令x=asin t -π2

于是，

∫a2-x2dx=∫acos t·acos tdt=a2∫1+cos 2t2dt

=a22t+12sin 2t+C.

為了将sin 2t转化为关于x的函数，我们可以根据六边形上方的倒三角形所蕴含的公式，即cos t=1-sin2t，得

sin 2t=2sin tcos t=2·xa·1-xa2，

因此

∫a2-x2dx=a22arcsin xa+x2a2-x2+C.

例3 求∫1x2-a2dx（a>0）.

该问题中，被积函数含有根式x2-a2，其解题难点依旧是无理式的处理，所以我们要想办法去除根号，此时就需要进行换元.只有根号下的式子构成某一函数的平方式时，才能去掉根号.根据三角函数六边形公式的规律（ⅱ），我们可以运用左下倒三角形中蕴含的公式：tan2t+1=sec2t，经过移项得到tan2t=sec2t-1.因此，我们自然想到令x=asec t0

令x=asec t， 则dx=d（asec t）=atan tsec tdt，x2-a2=a2sec2t-a2=atan t，因此

∫1x2-a2dx=∫sec tdt=ln（sec t+tan t）+C′.

注意，上述过程中的求导或求微分的公式亦可从六边形公式记忆口诀（ⅳ）中快速获得.接下来我们进行变量回代.由x=asec t，得sec t=xa，再根据tan2t+1=sec2t得

tan t=sec2t-1=xa2-1=x2-a2a，

因此，

∫1x2-a2dx=lnxa+x2-a2a+C′=ln（x+x2-a2）+C.

通过三角函数六边形公式和记忆口诀，学生可以很快地确定正确的三角换元关系，并在做题过程中轻松应对各种公式变形问题，从而高效地解决不定积分或定积分问题.在高等数学的教学过程中，三角函数六边形公式是学生最喜欢的数学公式模型之一.

【参考文献】

[1]俞诗秋.三角函数双曲函数及其导数积分公式的六边形记忆法[J].中南民族大学学报（自然科学版），2000（19）：17-19.

[2]刘金林，蒋国强.高等数学[M].北京：机械工业出版社，2014.