如何将模型思想融入初中数学教学

施金花

摘 要： 将模型思想融入初中数学教学中，有助于深化学生对数学知识本质的理解，掌握运用数学知识解决问题的思路与方法，促进其学习能力的进一步提升.教学实践中应结合学生的认知规律以及具体教学内容，采取针对性的融入策略，使学生牢固的掌握相关的数学模型，并灵活应用于解题中.

关键词： 初中数学;模型思想;融入;教学

中图分类号： G632       文献标识码： A       文章编号： 1008-0333（2021）35-0004-02

模型思想是一种运用数学模型解决问题的思想.在该思想指引下可进一步提升学生的学习效率，迅速的找到解决问题的思路.初中数学教学中应为学生剖析相关的理论知识，做好数学模型的归纳，尤其展示模型思想在解题中的具体应用，进一步提高学生的灵活应用能力.

一、剖析模型理论

初中数学涉及有很多的模型，如一次函数模型、二次函数模型、反比例函数模型等.教学中应通过列举具体的实例为学生讲解数学模型的本质，运用数学模型解决问题的思路与方法以及应用注意事项，如构建函数模型时应确定正确的自变量范围.同时为增强学生运用模型思想解题的自信心，应注重为学生创设熟悉的问题情境，进一步夯实学生所学的理论知识.

例如，在讲解二次函数模型时，为学生展示如下问题情境：某药店新进一批消毒液，每瓶的进价为10元，在销售中发现销售量y（瓶）和每瓶销售价x（元）存在一次函数关系（其中10≤x≤21且x为正数），当售价定位12元时，每天销售量为90瓶;当售价定为15元时，每天销售量为75瓶.若每天的销售利润为w元，则售价定为多少元时，每天获得的利润最大？

解答：该题先构建销售量y和售价x的函数模型，而后构建每天利润和售价的函数模型.根据题意可知y=kx+b，根据已知条件不难求出k=-5，b=150，y=-5x+150，则w=（x-10）（-5x+150）=-5x2+200x-1500（10≤x≤21且x为正数），由二次函数性质可得x=- b 2a =20时，w取得最大值500，即，每瓶的售价为20元时每天可获得最大利润500元.

二、讲解相关例题

初中数学课本中讲解有最短路径问题，实际上该问题属于“将军饮马模型”.讲解该模型时注重给学生预留空白的时间，要求学生认真揣摩求解最短路径的思路，实际能够真正的顿悟、理解与掌握.同时，为更好的锻炼学生的学以致用能力，完成该模型的讲解后为学生讲解经典的例题，进一步拓展其视野，更好的把握“将军饮马模型”的本质，在以后的解题中能够以不变应万变.例如，在课堂上为学生讲解如下例题：

如图1，△ABC为等腰直角三角形，其中∠ACB=90°，AC=BC，点D为BC上一点，BD=6，DC=2，点P为AB上一动点，则PC+PD的最小值为（）

A.8   B.10   C.12   D.14

从“将军饮马”模型中获得解题启发，如图2，过点C作CO⊥AB于点O，延长CO到C′，使得OC′=OC，连接DC′交AB于点P，连接CP.易知CP=C′P，∴PC+PD=C′P+PD，显然当C′、P、D三点处在同一条直线上时其之和最小.连接BC′，则由对称性可知∠C′BA=∠CBA=45°，∴∠CBC′=90°，则BC′⊥BC，∠BCC′=∠BC′C=45°，BC=BC′=8，由勾股定理可得DC′= BC′2+BD2 =10，選择B项.

三、加强专题训练

初中数学教学中为使学生更好的掌握建模思想的应用技巧，应结合学生的具体情况，以及数学模型的重要程度，积极组织学生加强相关的专题训练活动.通过训练使学生不断的犯错、纠错，加深对数学模型的认识与理解，提高运用模型思想解题的效率.如在讲解反比例函数知识时，引导学生关注如下模型：如图3所示，在y= k x 上存在一点A，过点A作AB⊥x轴与点B，则S△AOB= k 2 .该模型是初中数学各类测试以及中考的参考模型，教学中可引导学生自行推导该模型的结论，与此同时向学生展示如下习题，及时对学生进行训练，使学生能够当堂掌握该模型：

如图4，点A为反比例函数y= 6 x 的图象上一点，过点B作AB⊥x轴，垂足为B，线段AB和反比例函数y= 2 x 的图象交于点C，则△AOB的面积为（  ）.

A.4   B.3   C.2   D.1

本题在在模型的基础上有所延伸，能很好的考查学生对模型的理解程度.实际上，S△AOC=S△AOB-S△OCB，由模型中的结论可很快的计算出=S△AOB= 1 2 ×6=3，S△OCB= 1 2 ×2=1，∴S△AOC=3-1=2，选择C项.

四、重视学习总结

初中数学教学中为使模型思想更好的融入到教学之中，应注重引导学生学会学习，鼓励学生做好学习的总结与反思，通过对常见问题的提炼与抽象，自行推导相关数学模型，并在解题中加以应用.同时，能够主动的与其他学生交流学习心得，学习他人总结出的数学模型，更好的提高自身的解题能力.二次函数图象的平移是初中数学的重要知识点，教学中引导学生进行总结，推导相关的模型，指引其以后更好的解题.在教师的指引下，学生总结出了如下模型：对于二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）先转化为顶点式y=a（x+h）2+k，其图象沿着x轴平移m个单位，沿着y轴平移n个单位得到的函数解析式为y=a（x+h+m）2+k+n，其中沿x轴分别向左、向右平移时，m分别取正、负;沿y轴分别向上、下右平移时n分别取正、负，简称“上加下减，左加右减”.另外，点的平移也遵循该规律.为使学生体会到应用该模型解题的便利，可要求学生应用推导的模型解答如下习题：

将一段抛物线y=-x2+3x（0≤x≤3）向右平移9个单位，得到新抛物线和直线y=x+b有唯一公共点，则b的取值范围是 .

根据总结的平移模型，由y=-x2+3xy=-（x- 3 2 ）2+ 9 4 ，由平移模型可知新得到的函数解析式为y=-（x- 3 2 -9）2+ 9 4 =y=-（x- 21 2 ）2+ 9 4 （9≤x≤12），将其和直线y=x+b联立，令Δ=0，得到b=-8.同时，观察平移后的图象可求得b的取值范围为-12≤b<-9.综上b的取值范围为b=-8或-12≤b<-9.

模型思想是一种重要的分析问题的思想，在初中数学占有重要地位.实践中为使学生更好的掌握模型思想，能够具体问题具体分析，提高其应用模型思想学习的灵活性，掌握运用模型思想的解题技巧，可按照理论的剖析、例题的讲解、习题的训练、学习总结这一思路开展教学工作，实现模型思想与初中数学教学活动的有效融合.

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[责任编辑：李 璟]