声子晶体板中低频宽禁带的形成机理

2018-12-12李锁斌窦益华陈天宁万志国

西安交通大学学报 2018年12期

李锁斌,窦益华,陈天宁,万志国

(1.西安石油大学机械工程学院,710065,西安;2.西安交通大学机械结构强度与振动国家重点实验室,710049,西安)

近年来,将由一种或几种材料组成的散射体/振子周期性布置于另一基体材料中形成的具有声子禁带特性的周期复合材料或结构称为声子晶体,当弹性波在其中传播时,声子禁带内的波会被抑制[1]。由于声子晶体的禁带特性具有广泛的应用价值,可用于滤波、波导以及工程减振等领域[2],因此对其研究受到了普遍关注[3]。

依据声子禁带的形成方式,声子晶体可分为两种类型,一种是布拉格型声子晶体[4],因其禁带主要由散射体对波的各种周期性调制而产生,致使禁带波长较大[5-6],无法实现低频应用;另一种是局域共振型声子晶体[7],因其禁带主要由振子的共振引起,致使禁带波长较小,可实现低频应用,如工程中的低频减振降噪。然而,由于单个振子的局域共振中,存在类Fano干涉现象,使的禁带很窄,虽然已有大量研究对其进行扩宽[8-20],但现存的禁带其带宽仍然较窄,还是无法满足工程减振应用需求。因此,如何进一步扩宽局域共振型声子禁带,是近年来工程领域中急需研究突破的主要难点问题之一。

板结构作为工程结构的基本单元构件,是振动形成和传递的主要部件,一直以来被看做工程领域中的主要减振对象。声子晶体板作为局域共振型声子晶体,是由弹性振子周期性阵列在基板上形成的一种特殊板结构,已有研究表明,通过最优选择振子结构的材料组分[11]、结构形状[12-13]和分布方式[14],可以形成低频声子禁带[15,19-20],因此为板结构的工程减振提供了新思路。然而由于缺乏对该结构禁带形成机理的更深入认识,致使现存的声子晶体板其禁带仍然较窄[8,10,12,14,16,18,20],仍然无法满足实际工程应用中对低频宽带的减振要求。

已有研究表明,声子晶体板中的禁带是由振子和板波的振动模式通过相互耦合产生的面外和面内子禁带叠加形成。对于已提出的声子晶体板结构[8-20],我们通过进一步研究,发现在形成禁带时振子处于局部振动状态,即振子对应的面外、面内振动模式均为局部共振模式,如经典型声子晶体板[14],其结构如图1所示。图1a为晶胞单元,图1b和图1c分别为振子的面内和面外振动模式。由图1可以看出,当禁带打开时振子只做部分振动,依据现有理论,其对基板模态的抑制较弱,于是难以形成宽禁带。因此,如何对振子的振动模式进行调控,使其形成整体振动模式,进而通过增强对基板模态的抑制作用,使面内、面外禁带在低频处被同时扩宽,最终可形成宽禁带,该研究无疑能为声子晶体在工程低宽频减振中的应用奠定理论基础并提供方法指导。

(a)晶胞单元 (b)振子面外模式 (c)振子面内模式

本文通过构建新型柱状复合振子,并结合已提出的振子解耦件[18]即橡胶填充体,提出了一种新型声子晶体板结构。在对振子振动模式调控的基础上,通过增强其对板波模式的抑制作用,在同一低频处对面外、面内禁带同时进行扩宽,从而获得能满足工程低频减振要求的宽禁带。同时,在研究该结构宽禁带形成过程的基础上,提出并阐明局域共振型声子晶体板中宽禁带的形成机理和调节方法。

1 模型与计算方法

提出的局域共振型声子晶体板是通过在二维二组元声子晶体板两边周期性布置一新型柱状复合振子阵列形成的周期结构,结构原理如图2所示,其中结构的总体形貌如图2a所示,结构的周期单元即晶胞如图2b所示。图2b中:新型柱状复合振子分别由弹性体A(橡胶)和刚性体B(钢)两部分组成,二者高度各为hA和hB,圆柱体直径均为d;二维二组元声子晶体板由通过在周期性开孔的环氧树脂板中填充橡胶材料而形成,基板板厚为e,单元边长(晶格常数)为a。结构中的各种材料参数如表1所示。

图2 新型声子晶体板

表1 结构材料参数

基于周期性理论[2],以如图2b所示的单个晶胞单元为对象,采用有限元方法计算结构的能带图和单元的振动位移云图,在分析其禁带特性和禁带形成机理的基础上,提出并阐明声子晶体板中低频宽带完全禁带的形成机理。计算过程中,基于布洛赫周期性条件,在单元周期方向施加周期性边界条件

ui(x+a,y+a)=ei(kxa+kya)ui(x,y)

i=x,y,z

(1)

式中:u表示位移;x、y和z表示位置矢量;kx与ky表示第一布里渊区内周期性波矢。当波矢沿着如图2c所示的第一不可约布里渊区边界点M、Γ、X、M顺序扫描时,通过计算各个波矢下结构的固有频率和固有振型,最终可得到结构的能带结构图和单元模态位移云图。

2 计算结果及分析

选取参数a为10 mm,e为1 mm,d为7 mm,hA和hB同为2.5 mm,计算如图2b所示的一个晶胞单元,得到该新型声子晶体板的能带图,结果如图3所示。

从图3中可以看出,在给定频率范围内(0～1 000 Hz),能带中主要包括3种能带:板波的xy振动模式对应的xy模式能带,板波z振动模式对应的z模式能带以及由振子的局域共振模式形成的平直能带。板波的xy振动模式主要为面内振动模式(如图3b中形成能带S2的板波振动模式);板波的z振动模式主要为面外振动模式(如图3c中形成能带A2的板波振动模式);振子的局域共振模式分别为可以和板波模式耦合的振动模式(如图3中形成能带S1、S3、A1的振动模式)和无法跟板波模式耦合的振动模式(如图3中形成能带F的振动模式)。板和振子的两种振动模式依据模态叠加原理,通过主导系统主模态的过程中发生相互耦合,耦合过程中振子的振动模式通过抑制基板主模态,使得结构中产生了只能抑制面内波的面内子禁带和只能抑制面外波的面外子禁带,分别如图3b和图3c所示。两种子禁带的重叠区为禁带,如图3a所示,禁带内所有模式的波全部被抑制。

(a)禁带 (b)面内子禁带 (c)面外子禁带

图3b中,由板波面内模式S2与振子的振动模式S1耦合而成的面内子禁带为256～915 Hz。图3c中,由板波面外模式A2与振子的振动模式A1耦合而成的面外子禁带为165～855 Hz。图3a中,由面内和面外子禁带重叠形成的禁带为256～855 Hz,其中带宽为599 Hz。

为了说明新型声子晶体板中产生的声子禁带为宽禁带,将通过与现有声子禁带进行对比验证。采用有限元法计算了具有相同几何尺寸和材料参数的经典型[11]和对比型[16]声子晶体板的能带结构,二者的能带结果分别如图4和图5所示。

(a)禁带 (b)面内子禁带 (c)面外子禁带

3种声子晶体板的能带结果对比如表2所示,可以看出,相比较经典型结构,新型结构的完全禁带被扩宽了4.18倍,进一步说明新型结构中出现了宽频完全禁带。

表2 3种声子晶体板的能带结果比较 Hz

3 宽频禁带形成机理

本研究首先阐明基于模态叠加原理的局域共振型声子禁带形成的详细过程机理。当激励频率从0开始逐渐增大时,基体系统振动模式中的某一阶模态被激活放大成为主模态,振动可在基体中按该振动模式的主模态进行传播,于是无禁带形成;当激励频率逐渐靠近振子的某一种振动模式的固频时,该阶模态的参与因子被放大。随着激励频率频率进一步靠近并最终等于此阶模态固频时,该振动模式被激活放大成为振子系统的主模态,并与基体中对应的振动传播模式发生相互耦合;通过给其一作用力,抑制了基体中该阶模态的振动,使其对应的振动传播模式消失,致使振动无法继续按该阶模态在基体中传播,形成声子禁带;此时,表现为有限声子晶体结构对波的衰减作用最大,无限声子晶体结构对波完全抑制。当激励频率开始大于振子系统该阶模态的固有频率时,其模态参与因子也随着减小,该振型对响应的主导作用变弱,此时局域振子的作用力变弱,于是对基体中模态的抑制作用减弱,表现为有限周期结构对波的衰减作用变小,直至该振型对响应的主导作用逐渐消失;此时,振子作用于基体模态上的力基本消失,于是对基体中模态的抑制作用消失,该阶模态又成为基体的主模态,主导基体的响应,弹性波继续按此主导振型在基体中传播;此时,禁带消失,表现为有限周期结构中弹性波不被衰减。

基于上述提出的局域共振型声子禁带的形成过程机制,在3种声子晶体板所对应的能带图中,分别提取第一条面外和面内子禁带上下边界对应的单元振动模式A1、S1和A2、S2,在分析单元振动模式的基础上揭示阐明声子晶体板中宽频完全禁带的形成机理。

3种声子晶体板结构的面外禁带上下边界对应的单元振动模式如图6所示,其中图6a为新型结构,图6b为对比型结构,图6c为经典型结构。禁带下边界对应的振子振动模式同用A1表示,禁带上边界对应的基板面外振动模式同用A2表示。

(a)新型结构 (b)对比型结构 (c)经典型结构

由图6可见,当横波(z向波)激励声子晶体板时,板波模式A2被激活放大成为基板的主模态,对应振型主导系统响应,于是基板沿横向(z向)运动,波可按此振动模式在板中传播,表现为有限结构中横波不发生衰减,无限结构中横波不会被抑制,于是无法形成面外子禁带;当激励频率接近振子固有频率时,模式A1被激活放大转换为系统主模态,对应振型主导系统响应,于是给基板一作用力,抑制其运动,致使板中的振动传播模式消失,此时波无法在板中传播,表现为有限结构中激励波发生衰减,无限结构中激励面外波被完全抑制,面外禁带形成。

对于经典型结构,振子作局域振动(部分振动),而对于新型和对比型声子晶体板,振子整体沿横向(z向,面外向)运动,固频不为0的同时还受到解耦件即橡胶填充体的约束,根据已知的刚体模态概念,用“面外类刚体模态”来命名振子的这种整体振动状态,其作用机制原理如图7a所示。

(a)作用机制模型 (b)等效理论模型

在橡胶填充体的约束下整个振子沿着横向(z向)运动,与此同时给基体板作用一个抑制力F1,于是基板沿横向(z向)的运动被抑制,进而导致基板中的面外振动模式被抑制,使得激励波无法在板中进行传播,于是打开了第一条面外禁带。在禁带范围内,振动在有限板结构中的传播可视化过程如图8所示,在x方向由6单元组成的有限结构左端施加一个面外波激励,局域振子的面外振动模式被激活。由可视化图可以看出,激励波能量全部被振子形成的面外类刚体模态吸收,于是面外波(横波)在板中的传播被抑制,表现为有限结构中面外波大幅衰减。

图8 有限结构中面外波在面外禁带内的传播过程

对于新型和对比型结构,面外禁带特性由面外类刚体模态A1决定,其等效理论模型如图7b所示,为一等效弹簧-质量系统(k0-m0),其中面外禁带的打开位置由其固有频率确定

f1=1/[2π(k1/m1)1/2]

(2)

式中:k1为振子系统的等效刚度;m1为振子系统的等效集中质量。由于整个振子为系统的等效质量m1,橡胶填充体的横向刚度为系统的等效刚度k1,致使面外禁带被调节至更低频,然而与对比型结构相比,新型结构中,由于橡胶填充体和振子的刚性体形成面接触,使得其横向刚度变大,致使振子等效系统的刚度k0增大,导致禁带位置略有升高,但振子作用在基板上的抑制力F1却大幅增加,使得对面外振动模式的抑制增强,进而形成了宽频面外子禁带。因此,可以认为振子的面外振动模式为整体运动模式(即为面外类刚体模态)时,因增强了对基板面外模式的抑制作用,使声子晶体板在低频处形成宽频面外禁带。

3种声子晶体板结构的面内禁带上下边界对应的单元振动模式如图9所示。禁带下边界对应的振子振动模式用S1表示,禁带上边界对应的基板面内振动模式用S2表示。

(a)新型结构 (b)对比型结构 (c)经典型结构

当纵波(xy向波)激励时,板波模式S2被激活放大成为系统主模态,其对应振型主导系统响应,于是基板沿xy平面运动,波可按此振动模式在板中传播,表现为有限结构中波不发生衰减,无限结构中波不会被抑制,因此无法形成面内子禁带。当激励频率接近振子固有频率时,模式S1被激活放大并转换为系统主模态,对应振型主导系统响应,给基板一抑制力,阻止其运动,致使板中无面内振动传播模式。于是波无法在板中传播,表现为有限结构中波发生衰减,无限结构中波被完全抑制,因此形成面内禁带。对于对比型和经典型结构,振子沿垂直于xy平面的面内摆动;对于新型结构,振子沿面内(xy平面)做整体运动,且固频不为0,同时还受到橡胶填充体约束。同理,将振子的这种整体振动模式命名为面内类刚体模态,作用机制原理如图10a所示。

(a)作用机制模型 (b)等效理论模型

在橡胶填充体的约束下整个振子沿着纵向(xy平面方向)运动,与此同时给基体板作用一个抑制力F2,于是基板沿纵向(xy平面方向)的运动被抑制,进而导致基板中的面内振动模式被抑制,使得激励波无法在板中进行传播,于是打开了第一条面内禁带。禁带范围内,振动在有限声子晶体板结构中的可视化传播过程如图11所示。由图11可见,给一个在x方向由6个单元组成的有限结构左端施加一面内波激励。从可视化图中可以看出,激励波能量全部被振子形成的面内类刚体模态吸收。因此,纵波在无限声子晶体板中的传播被抑制,表现为有限结构中纵波的传播被大幅衰减。

图11 面内波在面内禁带内的传播过程

对于新型结构,面内禁带特性由面内类刚体模态S1的固频决定,其等效理论模型如图10b所示,为一等效弹簧-质量系统(ki-mi)。由于振子刚性体部分和橡胶填充体形成面接触,可认为给橡胶填充体施加了一个刚性面约束,致使其纵向刚度较大,于是抑制力F2变大,进而增强了对面内振动模式的抑制,导致面内带隙被扩宽,形成了宽频面内禁带。因此可认为,振子的面内振动模式为整体运动模式时,即为面内类刚体模态时,因增强了对基板面内模式的抑制作用,使声子晶体板在低频处形成宽频面内禁带。

具有宽频特性的面外和面内子禁带,二者在同一频率范围处相互重叠,最终形成了能够同时抑制面外波和面内波传播的宽禁带。

通过上述分析可以看出,对于带边型声子晶体板,禁带宽度取决于振子系统中振子的振动模式。新型带边型声子晶体板中,由于振子系统的等效弹簧和等效质量发生了相互转化(将刚性体和柔性体相互置换),导致振子的振动模式由局域振动模式变为了整体振动模式,即同时出现了振子的面外、面内类刚体模态。两类刚体模态依据模态叠加原理,通过主模态的相互转换,分别与板波的面外、面内振动模式发生耦合,通过对基体主模态的强烈抑制,形成了具有宽频特性的面外和面内子禁带,二者相互重叠,产生了具有宽频特性的禁带。

进一步研究发现,相对于振子的振动模式为局域(部分)振动模式的经典型声子晶体板,在新型声子晶体板中,由于橡胶填充体与新型复合柱状振子的引入,使得系统中出现了振子的整体运动模式,其理论等效模型可进一步表达为如图12所示形式。其中k0-m0为振子面外振动模式的等效系统,ki-mi为振子面内振动模式的等效系统,可以看出,系统中振子的面外振动模式为振子在约束状态下沿面外方向作固频不为零的刚体运动——面外类刚体模态,振子的面内振动模式为振子在约束状态下沿面内方向作固频不为零的刚体运动——面内类刚体模态,两种新型振动模式通过增强对板波模式的抑制效应,进而将面外、面内禁带分别调至宽频,二者相互重叠生成一条宽禁带。

图12 新型结构振子的等效弹簧-质量系统

4 振子对宽禁带的影响规律

通过以上分析可知,振子的振动模式是决定禁带宽度的关键因素。在新型声子晶体板结构中,构建的新型柱状复合振子影响着振子的整体振动模式,即影响其固频特性和对主模态的抑制效应,进而间接影响禁带的打开位置和宽度。因此,新型柱状复合振子是调节宽频完全禁带的核心参数。于是,本文将进一步研究其对宽频完全禁带的影响规律和调节方法。由于振子主要由A和B两部分构成,二者又相互关联,因此以振子的弹性体A的高度hA为参数研究其对带隙的影响,获得新型复合柱状振子对宽禁带的影响规律如图13所示。