3-李2-代数的形变

王春月, 张 爽, 张庆成

(1. 吉林工程技术师范学院 应用理学院, 长春 130052;2. 吉林建筑大学 基础科学部, 长春 130118; 3. 东北师范大学 数学与统计学院, 长春 130024)

目前, 关于高阶代数结构的研究已得到广泛关注. 高阶代数是将已有数学概念“范畴化”, 最简单的一种高阶结构是2-向量空间[1], 即范畴化的向量空间. 李2-代数[1-9]是研究较广泛的一种高阶代数, 被视为李代数的范畴化. 3-李2-代数是3-李代数的范畴化及李2-代数的一种推广. 文献[10]给出了3-李2-代数的基本概念和性质, 并证明了3-李2-代数与2-项3-Lie∞代数一一对应, 因此3-李2-代数可由2-项3-Lie∞代数给出; 文献[11]利用3-Leibniz代数和Rota-Baxter 3-李代数构造了3-李2-代数. 本文主要讨论3-李2-代数的形变问题.

1 预备知识

下面给出3-李2-代数表示及2-阶闭链的定义.

对任意的x,y,xi∈L0(1≤i≤7),a,b,c∈L1, 下列等式成立:

dl3(x,y,a)=l3(x,y,da),

(1)

l3(a,b,c)=0,l3(a,b,x)=0,

(2)

l3(da,b,x)=l3(a,db,x),

(3)

若d=0(l5=0), 则称3-李2-代数为简单的(严格的).

F0∘d=d′∘F1,

(8)

(9)

(10)

则称F=(F0,F1,F2):L→L′是3-李2-代数同态. 若F2=0, 则称F是严格同态.

为δ(F)=dV∘F+F∘dV, 其中

End1(V)=End(V0,V1),

定义双线性映射l2: ∧2End(V)→End(V)为

定理1[12](End(V),δ,l2)是严格李2-代数.

定义33-李2-代数L在2-向量空间V上的表示ρ=(ρ0,ρ1,ρ2)是从3-李2-代数L到严格李2-代数(End(V),δ,l2)的同态, 其中对∀xi∈L0(1≤i≤6),a∈L1,

满足下列等式:

δρ1(a,x)=ρ0(da,x),

(12)

ad0(x,y)(z+a)=l3(x,y,z)+l3(x,y,a),

ad1:L1∧L0→End1(L)为

ad1(a,x)(y)=l3(a,x,y),

ad2: ∧4L0→End1(L)为

ad2(x1,x2,x3,x4)(x5)=l5(x1,x2,x3,x4,x5),

则(ad0,ad1,ad2)是L的表示, 称为伴随表示.

(17)

(18)

2 主要结果

dλ(a)=da+λχ1(a),

证明: 任取x,xi∈L0(1≤i≤7),a,b∈L1. 定义1中式(1)成立的充分必要条件是

(23)

且

(24)

定义1中式(2)成立的充分必要条件是

(25)

且

(26)

定义1中式(3)成立的充分必要条件是

且

定义1中式(4)成立的充分必要条件是

且

定义1中式(5)成立的充分必要条件是

且

定义1中式(6)成立的充分必要条件是

且