指向深度学习的数学习题设计

郑圣发

深度学习需要教师创设基于情境的、具有挑战性的学习主题，引导学生围绕核心问题积极思考，体验成功。设计探究性、实践性、综合性的习题，不仅可以在解决实际问题中考查学生的学习效果，还可以引导学生积极主动、思辨性地思考数学问题，帮助学生对数学学习和数学研究形成核心、本质的认识与理解，发展高阶思维。

一、聚焦图形特性，设计实践性习题

引导学生充分感受图形的特性，积累图形研究的方法和经验，有利于学生深刻理解图形的本质属性，为后续探究周长、面积、体积等知识夯实基础。如“圆”的主题单元学习，学生不仅要认识圆的半径、直径、圆心等一般特征，还要认识圆的对称性、均匀性等本质特征和学习“化曲为直”的研究方法，为后续探究圆的周长和面积起到增质提效的作用。设计实践性的习题，有助于学生再关注、再认识图形的本质特征，形成深刻认识和理解。以下是样题：

你玩过陀螺吗？下面是一个简易陀螺，如果在陀螺上点一个黑点，快速旋转陀螺，那么黑点会形成一个圆形的轨迹（如图1）。图2的几个简易陀螺，在x处插入小棒，猜一猜这些陀螺快速旋转时黑点可形成一个圆形的痕迹吗？动手试一试，你有什么发现？

这个题目以空间想象和动手实践为抓手，聚焦圆“从圆上任意一点到圆心的距离都相等”本质特征，引导学生感受“圆周上各处的向心程度相同”的特性。教学中，需要教师经常创设这样的实践机会，启发学生展开数学想象，大胆猜想，发展空间能力。还需要提供动手操作的机会，引导学生在动态操作中观察验证，帮助他们感受图形的空间感与图形的本质属性。

二、聚焦公式推导，设计变通性习题

在图形与几何的教学中，公式的推导过程是学生理清知识来龙去脉，形成知识结构和思维结构的过程，是培育数学核心素养的重要方面。在教学图形计算公式的推导过程中，引导学生思考图形如何转化、转化前后位置对应关系如何变化、辨析“转化中的变与不变”，有助于学生积累数学活动经验，感悟数学思想方法，发展高阶思维。教学圆的面积公式推导过程时，可以设计变通性的习题，引导学生再回顾、再理解公式推導过程，感悟转化、对应、极限等数学思想。以下是样题：

如图3，将一个圆形纸片沿着它的半径平均分成若干份以后剪开，可以拼成一个近似的平行四边形。如果这个平行四边形的周长是15.42厘米，这个圆形纸片的面积是（）平方厘米。

这一题目需要学生深刻理解圆的面积推导过程，回顾图形转化的过程，理清转化前后图形各部分的位置对应关系，把握“面积不变、周长比原来增加两条半径”的实质。根据转化后的平行四边形周长比圆的周长多两条半径，也就是平行四边形的底和高分别对应圆周长的一半和半径，推算出圆的半径，从而计算圆的面积。这样变通性的习题，不仅关注圆的面积计算公式推导过程，还让学生体会到推导过程中圆的面积守恒、周长增加、逼近规则图像等数学思想方法，发展了高阶思维。

三、聚焦公式算理，设计进阶性习题

图形的周长、面积、体积的计算教学不仅要理清公式的推导过程，还需要达成对公式计算算理深刻理解的教学目标。如长方形和正方形的周长计算教学，需要紧扣周长的意义，引导学生理解长方形和正方形的周长计算的本质是把四条边连加，再利用长方形和正方形对边相等和四条边相等的属性特征，形成长方形和正方形的周长计算公式，最后利用公式解决实际问题。设计进阶性习题，可以帮助学生进步理解和思考长方形和正方形周长公式的算法和算理，拾阶而上，发展高阶思维。以下是样题：

1.初阶题目，你能列式计算吗？

（1）用铁丝围一个长12厘米，宽8厘米的长方形，至少需要多少厘米铁丝？

（2）在边长20厘米的正方形相框外围贴一圈花边，至少需要多少厘米花边？

2.进阶题目：根据算式，大胆想象。

（1）根据（6+4）×2，你能想象出这是什么样的图形吗？

（2）据6×4，你能想象出这是什么样的图形吗？

这组题需要学生深刻理解公式，灵活应用公式。初阶题目重在引导学生利用数学模型解决实际数学问题，进阶题目则基于逆向思维的设计，需要学生深刻理解周长的意义和具有丰富的空间想象能力，具备良好的分散思维能力。根据算式（6+4）×2和6×4，学生基于原有的经验常常想到长6宽4的长方形和边长是6的正方形，如果在教师的启发指导下想象出平行四边形和边长是4的六边形，那么他们对周长的意义和计算方法就能真正达到深刻理解。

四、聚焦实际应用，设计变式性习题

应用知识解决问题是帮助学生理解知识，发展思维能力的重要途径。聚焦实际应用，设计变式习题，进行一题多变，对学生进行“变式训练”，使学生根据变化的情况深入思考，设法求解，可以有效防止和消除思维僵化，培养学生思维的灵活性。以下是样题：

如图4，梯形的上底为5厘米，下底为9厘米，高为6厘米，你能计算阴影部分的面积吗？

学生的解题思路多数是：先算出梯形的面积（5+9）×6÷2=42（平方厘米），再算出空白部分三角形的面积5×6÷2=15（平方厘米），然后用梯形的面积减去空白部分的面积42-15=27（平方厘米），从而求出了图中阴影部分的面积。在此基础上，可以引导学生猜想：改变梯形的上底，阴影部分的面积是否发生改变？学生猜想后，可以将梯形的上底改成“4厘米、3厘米、2厘米、1厘米”，再次组织学生计算阴影部分的面积。学生通过计算发现，阴影部分的面积都是27平方厘米，这说明阴影部分的面积与这个梯形的上底长度无关。这样自然引发学生的思考：这是巧合吗？其中是不是蕴含什么规律呢？此时，学生的思维聚焦于“为什么阴影部分的面积是由梯形的下底与高决定的”。当学生通过算式演算或者利用“几何画板”等信息技术工具，把两个三角形合并形成一个底9厘米、高是6厘米的三角形时，就能明晰其中的道理并感受到数学知识的奥妙。

（责任编辑：杨强）