含运动副间隙的空间转向机构运动精度分析及优化设计

王成志 王云超

集美大学机械与能源工程学院，厦门，361021

0 引言

由于制造、变形、磨损，甚至装配、相对运动需要等原因，机构中不可避免地会存在运动副间隙，从而造成运动偏离理想位置。学者们提出了各种模型用于分析与研究含运动副间隙机构的运动误差，以尽可能减小间隙带来的不良影响。有的研究是将间隙折算成对应连接杆的长度误差[1]，或与杆合并为等效杆[2-5]，并认为运动副间隙大小具有随机性；有的则认为销轴中心位置按平均概率分布在孔的边界圆内[6-9]，偏移位置及大小具有随机性；甚至有研究者认为只要分析输出端最大最小误差[10-11]即可。上述方法不考虑间隙副两元素的相对运动，不必求解复杂的运动方程，目的是为设计人员提供机构运动不确定性预测。目前应用较多的是基于运动副两元素表面连续接触假设的间隙杆模型[12]，也就是用双副间隙杆连接运动副两元素几何中心点来等效替代回转副中的间隙，再用虚功原理、静力学方程[13]或拉格朗日方程[14-15]等来计算间隙杆方位或接触角。这种模型考虑了运动副两元素的相对运动，可以提供更精确的运动误差分析，但因增加附加约束，计算更复杂繁琐[13]。

对阿克曼(Ackermann)型转向机构来说，间隙会进一步增大原本存在的机构转向误差，因此运动副间隙对转向质量的影响也受到了研究者的重视。文献[4-5]用不考虑运动副相对运动的统计法进行优化设计，文献[14]在车辆摆振动力学分析中考虑了运动副间隙的影响。但转向机构有其运动特殊性，即经常有换向操作。上述文献没有考虑正向转动(指车轮朝左或右增大转向角度的运动过程)及回正转动(指车轮减小转向角度回到直行趋势的运动过程)过程中由间隙产生运动误差的差异性，也没有考虑齿轮齿条转向器的齿条导路的倾斜与普通滑块在导路中倾斜的差异。另外，平面模型与空间模型之间存在不容忽视的计算误差，而前述研究大都是在平面机构模型上展开分析的。

针对转向机构特点，笔者用间隙杆代替主销孔与主销轴之间的径向间隙，用变长杆代替拉杆两端球窝与球之间的径向间隙，然后用螺旋理论推导了比球面法更为简单的主销转角与车轮转角的关系式，建立了考虑运动副径向间隙和齿条倾斜但方程数及变量数少的齿轮齿条转向机构的三维运动学模型，为评价该类转向机构转向性能提供理论计算方法。此外，还分析了运动副径向间隙及齿轮倾斜对转向精度的影响，并按转向误差最小和压力角约束完成转向梯形机构的优化设计。

1 含间隙转向机构运动分析

这里仅讨论齿轮齿条类型的转向梯形机构，它实际由两个左右对称RSSP(R表示转动副，S表示球面副，P表示移动副)空间机构组成，图1所示为左侧RSSP机构。

图1 齿轮齿条转向梯形机构左侧简图Fig.1 Scheme of the left part of the rack-and-pinionsteering linkage

1.1 运动副间隙模型

为讨论方便，将左右含间隙的RSSP机构三维模型绘制成如图2a、图3所示间隙放大的平面模型。下文中，将R副销孔及S副中的球窝统称为“孔”，而R副的销及S副中的球统称为“销”。从运动学角度分析，销、孔可以互换，没有差别，图中没有刻意区分它们。

假设销与孔的内表面接触，用连接孔及销中心的间隙杆代替运动副径向间隙。这里间隙杆也是矢量，称为运动副间隙偏心矢量ri(i=1,2,3)。矢量ri的模为孔与销的半径差ri，方向按间隙杆始终只承受拉力[13]来判定。图2中，r1=AA′，r2=BB′，r3=CC′。

(a)间隙模型

(b)等效模型图2 含间隙的齿轮齿条机构左侧模型Fig.2 Left model of the rack-and-pinion steeringlinkages with clearances

图3 含间隙的齿轮齿条机构右侧模型Fig.3 Right model of the rack-and-pinion steeringlinkages with clearances

在不考虑摩擦和重力的情况下，销与孔在接触点上仅有法向反力。则拉杆2两端承受大小相等、方向相反的约束反力，并因此产生弹性变形e。不考虑拉杆与两端球副的偏置，根据虎克定律，用文献[16]的车轮转向阻力矩近似公式计算e：

(1)

式中，f为轮胎和路面间的摩擦因数，取0.7；G1为转向轴负荷；p为轮胎气压；E2为弹性模量；a1为拉杆实际杆长；A2为拉杆截面面积；b1为转向梯形臂长；β为梯形臂与拉杆之间的夹角。

因拉杆2是二力杆，且球副不传递转矩，故可认为两端球副间隙及弹性变形量始终与两端球副连线处在同一直线上，或者说，在间隙和拉杆的弹性变形影响下，拉杆的杆长按受力状态发生了变化，其虚拟杆长

(2)

用拉杆的虚拟杆长av来简化处理拉杆两端球副径向间隙和弹性变形的影响，不需求出具体的接触点坐标，可以减少变量及方程数，缩短计算时间。变长杆模型只适用于不考虑摩擦的二力杆两端运动副径向间隙的处理。因杆系中的转向节及齿条刚度大，力作用下产生的变形量小，故它们的弹性变形不再考虑。

如图2a、图3所示，制造、磨损等原因会使转向器齿条导路3绕D点转动一个角度η(这里假设是在平行地面的平面上绕D点转动)，齿条在与受压拉杆连接处的这一侧被拉杆推开，在与受拉拉杆连接的这一侧被拉杆拉近。因一侧的拉杆受压力，另一侧拉杆必受拉力，所以D点两侧拉动齿条转动方向是相同的，齿条随车辆转动方向改变做对称y轴的微小摆动。转向机构中齿条是长滑块，在力的作用下直接倾斜为η角，且在滑块连续单向运动过程中不更改倾斜方向，直到齿条运动换向。

如果不特别说明，本文讨论的运动副间隙包括运动副径向间隙和齿条的倾斜。

梯形臂与车轮刚性连接，其摆动直接带动车轮的转动，即该R副的间隙不影响梯形臂的工作长度，仍然为b1，但梯形臂的回转中心始终是销轴的几何中心A′(图2a)。所以，用间隙杆和变长杆替代间隙后，RSSP机构结构转换成5杆机构，其结构和杆长如图2b所示。右侧的RSSP机构情况类似。

1.2 含间隙的RSSP转向机构

用螺旋理论对转向梯形机构进行运动分析。设含运动副间隙机构中，R副的销轴在力的作用下沿主销偏心间隙矢量r1=(r1x,r1y,r1z)T偏离原孔中心，且假设是整个主销轴平移，不存在沿孔轴向的歪斜。图1中，在两侧转向车轮轴线与对应主销轴线的交点之间的中点O建立全局坐标系Oxyz(记为{O})，D点坐标为(xD,yD,zD)，则考虑运动副间隙后，拉杆与齿条连接球副点C的位置矢量为

pC=(xD+(l0+s)sinη,(l0+s)cosη,zD)T

(3)

式中，s为齿条位移；l0为齿条半长；η为齿条倾斜角，规定η角在Oxy坐标系中的第一象限为正，第二象限为负。

将转向节AB的初始位置AB0定在经过A′点所在的横向铅垂面上，则B0点的位置矢量

pB0=-c1ω+pP+(0,-b1cosα0,-b1sinα0)T=
-c1ω+(r1x,K/2+r1y-b1cosα0,r1z-b1sinα0)T

(4)

pP=(r1x,K/2+r1y,r1z)T

ω=(sinαβ,sinα0cosαβ,-cosα0cosαβ)T

αβ=arctan(cosα0tanβ0)

式中，K为两侧转向车轮轴线与对应主销轴线的交点之间的距离；pP为主销轴线上的P点位置矢量；c1为梯形臂沿主销轴向偏移的长度；ω为主销轴线的单位矢量；α0、β0分别为主销内倾角与后倾角；αβ为主销轴线与其在平行yz平面上的投影间的夹角。

根据Rodrigues公式，绕ω轴转动θ角的运动旋转矩阵

(5)

而在同时考虑相对ω轴移动及转动的螺旋位移矩阵中表示相对移动的部分为

(6)

设γ1为梯形底角，θL为左主销转角(加下标L、R分别表示左、右轮)，则由螺旋位移矩阵可推导出转向节绕ω轴转动(γ1+θL)角后B点的位置矢量

pB=R1(ω,γ1+θL)pB0+t(ω,γ1+θL)

(7)

因在换向前拉杆杆长不变，故有

(8)

展开该式，可得到含间隙的转向机构运动方程：

T1sin(γ1±θ)+U1cos(γ1±θ)+V1=0

(9)

其中，运算符号“±”或“∓”中上面的运算符号用于左转向节，下面的运算符号用于右转向节(下同)。当计算左主销转角时, 用式(9)求出的是左主销转角θL，否则求出的是右主销转角θR。如果r1x=r1y=r1z=r2=r3=0和η=0，则式(9)求出的是无运动副间隙理想状态下的主销转角θ或齿条位移s。

1.3 主销间隙偏心矢量

在图2a中，主销位置的R副孔与销的接触点就是孔对销的反力作用点。若梯形臂1只承受拉杆对它的作用力、阻力矩和孔对销的反力，因阻力矩不影响孔对销的反力作用点位置，又假设拉杆2是二力杆，故A点销对孔反力作用点或接触点就位于经过孔的中心点A且与拉杆两球窝中心连线BC平行的方向上。这个方向线与销的轨迹圆有两个交点，要再根据拉杆对梯形臂的施力方向，即根据拉杆受拉还是受压来确定其中一点。施力方向的单位矢量

(10)

则主销间隙偏心矢量

r1=r1uBC

(11)

联立式(9)和式(11)，有4个标量方程，在给定齿条位移s时共4个未知变量：θL、r1x、r1y、r1z，可求解得到左主销转角θL。可见，与文献[13]需要大量力平衡方程不同，本文采用的间隙杆和变长杆结合模型完全不需要计算杆的受力大小，只需判定拉杆的受力方向，减少了方程和未知变量数，因而求解方便容易。

右主销转角θR求解过程类似。

如果θ(θL、θR)已知，则联立式(9)与式(11)可以反求齿条位移s(sL、sR)。由于存在间隙，在齿条换向时不会立即带动转向梯形臂转动，这时可以固定换向瞬间的车轮转角，力作用方向反向，反求齿条位移s作为临界点slim。返回的齿条位移只有到达slim(认为所有运动副中的两元素已经在新位置重新接触)，齿条才会继续移动从而带动梯形臂转动。这里假定齿条到达slim前，梯形臂不受干扰，车轮保持换向瞬间的转角不动。因左右侧拉杆分别承受拉力和压力，且换向时对应的车轮转角不同，所以左右侧RSSP机构对应的临界点slim并不相同。

检查实际车辆发现，有些销孔被磨损成近似椭圆形，这可能是由于车辆的常用转角范围使传递给梯形臂作用力的拉杆也长期在一定范围内摆动，因而与拉杆平行的销与孔的接触点也在小范围变动而造成的。

式(1)中梯形臂与拉杆之间的夹角β可按下式计算：

cosβ=(pB-pA)·uBC/‖pB-pA‖

(12)

pA=pP-c1ω

式中，pA为梯形臂上B点在主销上的垂足点。

1.4 主销转角与车轮转角关系

由于主销与车轮轴两者刚性连接在一起，故主销运动会精确传递给车轮。在图4所示主销轴线与车轮旋转轴线的交点P建立与Oxyz平行的坐标系PxLyLzL，PA是主销轴线，PM0是车辆直行时的车轮轴线初始位置，点M0是车轮轮心。当主销转过角θ时，轮心按其运动轨迹(轮心轨迹是圆心在主销轴线上O1点的空间圆ζ)从点M0运动到点M，则车轮轴线矢量从PM0运动到PM，两者在水平面上投影的夹角就是车轮转角δ，即∠L0PL=δ。显然PM0上的单位矢量为

pM0=(sinλτ,cosλ0cosλτ,-sinλ0cosλτ)T

(13)

λτ=arctan(cosλ0tanτ0)

式中，λ0、τ0分别为车轮外倾角和前束角；λτ为车轮轴线与其在yLzL平面上的投影间的夹角。

图4 主销转动与车轮转动关系图Fig.4 Relationship between kingpin and wheelaxis rotation

与式(4)～式(7)推导pB的过程类似，可以得到pM0在主销转动后的单位矢量pM= (px,py,pz)T。pM各分量分别为(因pz与水平投影的转角计算无关，故pz略)

(14)

χ=sinαβsinλτ+sin(α0+λ0)cosαβcosλτ

式中，χ为ω与pM0两者之间夹角φ的余弦。

将pM0和pM投影到水平面，得到两水平矢量分别为p0=(sinλτ,cosλ0cosλτ,0)T，p=(px,py,0)T，两者之间的夹角即为车轮机构转角：

(15)

文献[17]等的研究中采用的是用“球面三角学”推导的车轮转角求解模型(以下简称“球面法”)，但这些文献中的公式复杂，且没有考虑前束的影响。不考虑前束影响(τ0=0)时，式(15)与“球面法”公式及文献[18]几何投影模型的数值计算结果完全一致。但式(15)考虑了前束影响，还可由车轮转角δ反求主销转角θ，比球面法更为灵活方便，比几何投影模型简单。

本文规定车辆的左、右轮转向都是右转为正，左转为负，故不再区分内轮、外轮。上述公式求出的δ值都可反映θ的转动方向。而用正负θ值代入“球面法”公式得到的只有正的δ值，即“球面法”不考虑转向。

2 考虑间隙的传力性能分析

在转向过程中压力角不能太大，故须进行压力角分析。显然，B点速度方向垂直于AB和AP构成的平面，其单位矢量

(16)

拉杆作用在梯形臂上力的方向沿拉杆中心线BC，故在B点压力角余弦为

cosαB=(pB-pC)·vB/‖pB-pC‖

(17)

C点速度方向单位矢量vC=(0,1,0)T，故在C点的压力角余弦为

cosαC=(pB-pC)·vC/‖pB-pC‖

(18)

显然，两压力角计算公式都考虑了运动副径向间隙及齿条倾斜的影响。

3 优化设计

3.1 优化目标

设smax为齿条单侧最大位移，则理想情况是在 -smax

cotδRd=cotδLd-K/L

(19)

式中，L为转向车轮轴线与主销轴线的交点到过转向中心横向竖直铅垂面的距离；δLd、δRd分别为左右车轮理想转角(未加下标d的δL、δR表示按机构模型计算获得的车轮机构转角)。

Ackermann型转向机构并不能完全满足上述理想转向条件，通常取一侧的车轮转角作为理想输入，另一侧的车轮机构转角与理想转角之差的绝对值就作为转向误差，即

ΔR=|δR(δLd)-δRd(δLd)|

(20)

实际计算时，将齿条位移s及运动副径向间隙ri(i=1,2,3)代入式(9)及式(11)，联立求解得到左右主销转角θL、θR，再由式(15)求左右车轮机构转角δL、δR，将求得的δL作为理想转角δLd代入式(19)，得到的δRd即为右轮理想转角，再用式(20)计算转向误差。

因转角误差直观体现了转向的差异性，所以本文用最大绝对误差作为转向运动质量的评价指标，优化目标就是使ΔR最大值最小。

3.2 优化变量及约束条件

梯形底角、梯形臂长、梯形臂沿主销轴向偏移的长度以及齿条中心点坐标对转向性能和传力性能影响比较大，故取以下5个参数作为优化变量：

X=(x1,x2,x3,x4,x5)=(γ1,b1,c1,xD,zD)

这5个参数根据空间限制设定最大最小值，作为变量的上下限，表示为xiLB≤xi≤xiUB(i=1，2，…，5)。

为保证传力性能，要求限制B、C两点的压力角不超过许用值[αB]、[αC]，且一般[αC]<[αB]。另外，还须限制车轮的最小转弯半径，或者最小的最大转向角，否则，优化时可能满足了给定的优化参数范围及传动压力角要求，但同时却减小了最大转向角，使原有的最小转弯半径增大。因左右轮转角对应关系可根据式(19)算出，故可只规定：当齿条运动到极限位置时左轮右转最大转角大于指定值。即约束条件为

(21)

因此，转向机构的运动优化设计就是在给定变量范围和约束条件下，含运动副间隙转向机构的最大转向误差绝对值最小，即优化模型为

minf(X)=min maxΔR
xiLB≤xi≤xiUBi=1,2,…，5
s.t.gj(X) ≤0j=1，2，3

4 实例分析

样车转向机构参数如表1所示，运动副间隙(假设r1=r2=r3=ri)见表2。按表2“车辆循环运动过程”的一个往返周期分析运动副间隙对车辆转向运动的影响，并优化机构。

表1 车辆基本特性参数

表2 运动副间隙

无间隙(表2的C0)和运动副径向间隙ri=1 mm(C1)的左右车轮机构转角随齿条位移s的变化情况分别见图5、图6，C0、C1、C2及C3四种间隙情形下右轮转向误差绝对值变化情况见图7。由图5～图7可知：

图5 左轮转角随齿条位移变化情况Fig.5 Change of left wheel steering angle withrack displacement

图6 右轮转角随齿条位移变化情况Fig.6 Change of right wheel steering angle withrack displacement

图7 不同间隙下右轮转向误差曲线Fig.7 Steering error curves of right wheel underdifferent clearances

(1)运动副径向间隙和齿条倾斜对车辆转向误差都有比较大的影响，两者的共同作用也会增大转向误差，但不是直接叠加，如：C3综合考虑了径向间隙(C1)和齿条倾斜(C2)的影响，但其转向误差并不是两者的直接叠加。

(2)有间隙时，在齿条位移s=0的零点位置，转向误差不等于0。从直行状态开始转弯的瞬间，这里假设各运动副销与孔中心重合，齿条没倾斜，故ΔR=0；但当车辆回正(齿条位移s绝对值增大时为正转，s绝对值缩小时为回正)到中位s=0时，因假设拉杆是保持原有受拉或受压状态到达s=0的位置点，即各运动副销与孔仍保持回正时的偏心和齿条倾斜状态，故左右轮都没有回到零转角位置，ΔR≠0。图5、图6中，开始仿真实验时左右转角是从0°开始，并且因为间隙而有一小段水平线；但回正到s=0时，左右转角不等于0°。当然，在接近s=0时，实际的运动副两元素接触点可能会受外力干扰不断变化，车轮有微小摆动，ΔR也会波动。

(3)回正瞬间，转向误差变化比较大。这是由于在回正开始后，转向机构两侧各运动副两元素重新开始接触的时间不同步造成的。例如，回正开始或者说齿条开始换向移动后，在不考虑干扰的情况下，转向杆系中各运动副中的销、孔之间先要脱离接触，在调整相互位置并在新位置接触前，两侧车轮不随齿条移动而转动，所以图5、图6 中C1曲线的两端(也就是齿条移动方向改变时)各有一段水平线。随后齿条移动到某个临界位置slim1时，左侧杆系各运动副两元素在新接触点接触，左车轮开始随齿条转动，但此时右侧杆系各运动副两元素可能还没全部相互接触，也就是右侧车轮没开始转动，要齿条继续移动到第2个临界点位置slim2时，右侧杆系各运动副两元素也重新接触，右侧车轮才随齿条运动而转动。在右轮转动前，按已经变化的左轮转角δL用式(19)计算得到变化的右轮理想转角δRd，再与不动的右轮转角δR一起代入式(20)计算转向误差ΔR，当然就会发生图7所示的各曲线两侧回正开始位置的剧烈变化，说明在最大转角处换向轮胎磨损最严重。

(4)正转与回正的转向误差曲线不重合。正向转向时有间隙的转向误差一般比没有间隙的转向误差小，而且可能出现5个精确点运动(见C1、C3)；回正时转向误差比正转大。这对不是单向连续运转而是往返摆动的转向机构的设计具有重要提示，即：考虑间隙设计时应当在一个往返运动周期上分析间隙对转向误差的影响。

(5)间隙会影响车辆的原有最小转弯半径。存在运动副间隙的情况下，在相同最大齿条移动位移下，车辆的最大转角减小。设各运动间隙曲线的最大对应横坐标为δLmax，表3中有间隙情况下δLmax值明显减小表明，运动副间隙增大会使车辆的原有最小转弯半径增大，影响了车辆的原有转向性能和稳定性。

表3 间隙影响比较

(6)间隙影响压力角。从图8拉杆B、C端的压力角变化情况可知，存在间隙时C点压力角变化不大，B点压力角变化稍大，且其最大压力角稍微减小。但与其压力角数值相比，间隙带来的压力角变化小，故对传力性能影响较小。

图8 杆系压力角变化情况Fig.8 Variations of pressure angles of the linkages

(7)拉杆弹性变形引起的转向误差变化可以忽略不计。本文中拉杆材料采用45钢，拉杆直径为20 mm，转向阻力矩比较小，引起的弹性变形e约在0.53～1.2 μm之间变化，它引起的转向误差变化小于0.003°。对于重型卡车，转向杆系的弹性变形会对转向产生比较大的影响。

另外，图7中正的左轮转角对应的是外轮转角，负的左轮转角实际对应的是内轮转角。从图7中可以看出，内轮转角的转动误差要小于外轮转角。对于单轴转向机构，可以仅在[0,+smax]范围内进行优化设计，以减少计算时间。

按表4的参数范围及左轮最大转角下限[δL](这里只限制无间隙状态的最大转角大于[δL])和表1的许用压力角[αB]、[αC]，用运动副径向间隙r1=r2=r3=0.5 mm、齿条倾斜η=0.25°优化该机构，获得参数优化值见表4最右栏。在表2相同间隙条件下，获得的转向误差随左轮转角的变化曲线见图9，优化前后各间隙下的δLmax及最大转向误差对比见表3。

表4 优化参数上下限及优化结果

图9 优化后不同间隙下转向误差曲线Fig.9 Steering error curves with different clearancesafter optimization

对比图7与图9(或表3)可见，优化后，C0在比较大的范围内ΔR≤0.5°；C1、C2及C3在比较大的转角范围内ΔR<1°，特别是C3间隙下，ΔR下降明显，表明机构转向运动稳健性得到了提高。当然，优化后各间隙下对应的δLmax减小约1.2°～1.7°，对原有最小转弯半径有一定影响。

5 结论

(1)通过将不同位置的运动副径向间隙用间隙杆和变长杆来代替，利用螺旋理论推导了齿轮齿条转向机构空间运动方程和由梯形臂绕主销转角计算车轮转角理论公式，研究了运动副间隙对转向运动的影响，所提出的模型具有较少的运动方程和未知变量，求解方程方便快捷。

(2)齿轮齿条转向器可能因制造、磨损等因素使得齿条存在微量摆动而倾斜。齿条倾斜方向与拉杆受力有关，受压拉杆推开齿条，而受拉拉杆拉近齿条，左右两侧共同作用使齿条轻微倾斜并随换向操作而改变倾斜方向。

(3)存在运动副径向间隙或齿条倾斜的情况下，在相同最大齿条移动位移下，运动副径向间隙或齿条倾斜的增大会使车辆的最小转弯半径增大，因此，如果要保证车辆的最小转弯半径，则应在优化设计时施加最小转弯半径约束。

(4)运动副径向间隙和齿条倾斜都会增大转向误差，且正向转动时有间隙的转向误差反而比没有间隙的转向误差小，回正时转向误差比没有间隙的转向误差大，因此，应以往返的转向误差最小化来优化设计转向机构。另外，连续移动齿条，销-孔保持连续接触，转向误差变化平稳连续；换向操作时会产生短暂销-孔脱离接触，存在比较大的转向误差波动，轮胎磨损严重；在齿条位置回归中位时也仍然存在转向误差。

(5)对于中小型车辆，因传递的转向阻力矩比较小，拉杆弹性变形小，引起相应的转向误差变化可以忽略不计。