《用二元一次方程组解决问题》教学探究

周琴

[摘 要]新课改更重视“学”的有效性，让学生经历知识探索、问题解决、结论概括和知识体系构建的过程，能更好地提升学生的数学素养.文章以《用二元一次方程组解决问题》为例，围绕教学目标，分析在教师引导下学生学习思维的形成过程.

[关键词]二元一次方程组;解决问题;教学

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）11-0001-02

新课改更重视“学”的有效性，让学生经历课前预习，课中一步一步地经历知识探索、问题解决、结论概括和知识体系构建.学生不仅经历了过程，提升了处理问题和建构知识的能力，而且他们的情感态度与价值观得以形成，有效促进学生数学素养的养成.

本文以苏教版七年级下册《用二元一次方程组解决问题》第一课时为例，围绕教学目标，分析在教师引导下学生学习思维的形成过程.

一、在新课探究中经历知识的产生过程

问题1：为打造运河风光带，现有长度为180米的河道整治任务，由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治河道12米，B工程队每天整治河道8米，共用了20天.问：A、B两个工程队先后整治河道多少天？

生1：设A工程队整治河道用了x天，则B工程队用了（20-x）天.

根据题意得12x+8（20-x）=180，解得x=5.

师：好，能不能用我们最近所学的知识来解决呢？这里有几个未知数？大家从题中找一找.

教师：同学们能从不同角度来列方程，很好.我们来比较一下，生1的一元一次方程和生2的二元一次方程组哪种简单.

生3：生1的比较容易想到，简单.

生4：生2的好，思维清晰，一目了然，不需要考虑哪个未知量设元.

生5：经过求解，答案也很快算出来，生1计算快，简单，但设元要考虑好.生2设元简单，关系理顺清楚，但求解仍要通过一元一次方程来求解，各有特点.

评析：

（1）学生直接用一元一次方程来解决，这是需要肯定的.但是，本课的教学重点是用二元一次方程组来解决问题，就不能让学生在原来的思路上“原地踏步”.此时需要教师引导学生思考：问题中有几个未知量或设几个未知数？从而自然地引出了本课学习内容.

（2）解二元一次方程组是转化为解一元一次方程，这既能复习以前所学的一元一次方程的解，又能巩固新学的二元一次方程组的解.

二、在新课中经历知识的发展过程

问题2：出租车收费标准为行程不超过3千米收起步价若干元，超过部分每千米多收若干元.某天老李第一次乘了8千米，花去12元;第二次乘了11千米，花去15.6元，问：出租车起步价是多少钱？超过3千米后每千米多收多少钱？

学生经历了方程组的列式与解答，有了初步解决问题的经历，这时让学生进行初步的 “经历”过程总结，设置如下问题：

（1）问题中所求的未知数有几个？（2）有哪些等量关系？（3）怎样设未知数，可以列出几个方程？（4）可否仅设一个未知数，用一元一次方程来解决？效果怎样？（5）想一想，上面整个思考过程中，你经历了哪些问题解决的步骤？

师：谁来回答以上第（1）问呢？

生1：有两个未知数，即起步价和超过3千米收取价格.

师：很好，精准.第（2）问呢？

生2：第一次起步价乘以行驶里程加上超出价格乘以行驶里程等于总费用.同理得到第二次出行的等量关系，从而列出方程组.

师：这是关键的一步，这个同学想得很好.问题（3）呢？

师：问题（4）呢？

生4：设起步价为x元，超出3千米的价格就是 12-x/5，再把式子代入第二次乘车费用就可以算出了.

生5：这道题用二元一次方程组解比较简单、直观.

师：这是解决问题的最好经历.本题用二元一次方程组解决问题比用一元一次方程解决问题简单得多，能否讨论（5）？

生6：列方程组解应用题的一般步骤：设未知数→找等量关系→列方程组→解方程组.

师：不错的总结，教师板书如下：

审题→设未知数→找等量关系→列方程组（关键.一般问什么设什么）→解答.

评析：

（1）“模仿”深化学生经历.当问题所求的未知数有两个时，用字母来表示未知数，往往容易列出方程.但要寻找两个等量关系就要列出两个不同的方程，组成二元一次方程组.

（2）“充实”学生经歷.学生对问题（4）、（5）讨论最激烈.学生初步总结直接设未知数，缺少“审题”环节，教师必须强调“这是文字语言转化为数学符号”的关键，让学生再次领悟.

三、在变式中经历知识的拓展过程

问题3：五星电器卖场计划用9万元资金，从厂家购买50台挂壁式空调.已知厂家有三种不同型号的空调：智多星每台1 500元;美多星每台2 100元;智能星每台2 500元.该卖场同时购进其中两种不同型号的空调50台，用去9万元，请你研究该卖场的进货方案.

学生：由“同时购进其中两种不同型号”空调，可能同时购进智多星和美多星;智多星和智能星;美多星和智能星这三种可能.设为智多星x台，美多星y台，智能星z台，填写下表：

答：卖场进货方案有两种，购进智多星25台，美多星25台，或智多星35台，智能星15台.

变式1：如果上述题目条件9万元改成5万元，空调数量不变，能不能完成进货方案？

变式2：若总付款变成7万元，空调总数减少到20台，能不能完成进货方案？

变式3：将本题9万元用m来表示，总台数用n来表示，请问m与n之间满足什么关系？

变式4：若卖场销售一台智多星、一台美多星、一台智能星空调，分别可获利150元、200元、250元，在以上的方案中，为使获利最多，应该选哪种进货方案？

最后，要求同桌学生写一个方程组，要求对方编写一道关于二元一次方程的应用题.

评析：

（1）问题3是让学生经历知识的延伸与拓展过程，教学中采用列表的方式，让学生的经历更加充实与明了，巩固列方程的注意事项.

（2）变式以一连串问题的形式，尤其同桌相互出题，突出学生在经历中提升思维能力和合作能力.

四、本课教学分析

1.教学过程分析

本课的教学重点是让学生经历用方程组解决实际问题的过程，抓住问题的等量关系，建立方程组模型;教学难点是在探究中如何审题，由相等关系建立正确的方程组，把实际问题转化为数学问题.难点的突破主要是让学生经历独立思考、合作交流、验算等学习过程，体验用二元一次方程组解决问题的方便、有效.

2.经历例题分析

学生解一连串变式题的经历体验，想出各种列方程组的方法解决问题，学生之间相互出题，这是方案中的最大优点.学生“经历体验”方法多、方法好，较好地扩展了思维，树立了学习的信心.

3.“变式题”经历思考

对于“变式题”的拓展必须立足 “方程组”，让学生根据方程组编写应用题，反方向地让学生去思考，这样的设计可以更加体现学生的思维深度与广度.

学习即经历，学生学习必须有这样的经历.这体现数学课标中要求人人学有价值的数学，真正地培养学生解决问题的能力，不仅是知识上的螺旋式提升，而且是思维与能力的提升.

[   参   考   文   献   ]

陈世亨.中学数学教学过程性目标的实现策略[J].中学时代，2012（14）：20.

（责任编辑 黄桂坚）