新定义类问题的解法探究

尤为军

[摘 要]新定义类问题要求学生在理解与掌握创新实质的基础上，应用所学的数学知识和方法进行有效迁移与重新构建，在全新的背景下得以解决新问题.这类问题能充分考查考生的临场应变能力、灵活应用基础知识分析问题和解决问题的能力.研究此类问题的解法具有实际意义.

[关键词]新定义;问题;解法

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）11-0018-02

新定义类问题是新定义一个全新的数学运算的问题.这类问题很好地实现了数学知识与数学能力的合理融合，创新能力与转化思维的和谐统一.在新运算条件下，学生要结合类比思维，在理解与掌握新运算实质的基础上，应用所学的数学知识和方法进行有效迁移与重新构建，才能解决新问题.

一、问题呈现

二、问题破解

点评：根据圆的特征，经常引入三角参数进行三角换元，从而把一次代数关系式转化为三角函数的关系式，借助三角恒等变换，利用三角函数的图像与性质来确定相应的最值.三角换元法是处理此类问题比较常见的思路，涉及圆锥曲线的类似问题也可以考虑三角换元法.

点评：根据一次代数关系式的特征引入参数，进而转化为直线与圆的位置关系问题，利用圆心到直线的距离与半径的关系，通过条件建立相应的不等式，利用待定系数法来处理相应的最值问题.待定系数法是处理一次代数关系式的最值或取值范围问题中比较常见的方法.

点评：根据圆的方程与一次代数关系式之间的关系，通过合理的系数搭配，结合柯西不等式加以过渡与转化，从而得以确定相应的一次代数关系式的取值范围，进而得以確定相应的绝对值的最值问题.柯西不等式法对于此类二次曲线与一次代数关系式的最值之间的联系与转化可以起到非常好的效果，是破解此类问题的一种好方法.

三、变式拓展

探究1：保留原来题目条件，回归问题本质，直接求解原来平面向量的关系式的取值范围问题，从而得到变式.

高考中的创新定义类问题，是数学知识与数学能力的有机融合，综合阅读理解、信息提炼、迁移类比、逻辑推理等步骤，在有限的时间和空间内，通过对创新定义类问题的信息的阅读、分析、提取、加工和处理，再按照相应的数学规则和要求，结合各相关知识进行逻辑推理、数学运算等，从而得以破解问题.这充分考查了考生的临场应变能力、灵活应用基础知识分析问题和解决问题的能力.

（责任编辑 黄桂坚）