一道解析几何习题的解法及教学启示

赵海莉

[摘 要]最值是高中数学解析几何中的常考问题，涉及的知识点较多且具有一定的技巧，对学生的分析、计算能力要求较高.因此，很多学生遇到最值问题没有思路，在测试中失分严重.针对这一情况，教学中教师应做好最值问题的深入分析，结合具体例题向学生展示不同解法，并做好不同解法的评价.

[关键词]解析几何;最值;解法;启示

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）11-0020-02

在解析几何最值问题教学中，多数教师采用先讲解例题后进行训练的教学思路，对习题本身缺乏深入的分析，导致部分学生在稍微改变习题的条件时，便不知所措.究其原因在于学生对习题缺乏全面的认识，对解题方法缺乏深入的分析，教师在教学中缺乏针对性引导.

一、习题及解法

解答：（1）题目给出A、B两点的坐标以及圆C的方程，要证明AB为圆C的直径.可运用圆的几何性质“直径所对的圆周为直角”证明，而直角在高中可使用向量的积为0进行体现，通过“OA+OB=OA-OB”找到A、B两点坐标之间的关系，并设以AB为直径的圆上任意一点M，运用[MA·MB=0]，求出该圆的方程，当其刚好为圆C的方程时即得证.

其刚好为圆C的方程，得证.

（2）解法一：由点到直线的距离，可联想到先确定该点即圆心C.运用已知条件，求解出圆心C的轨迹，最终求解出p的值.

二、解法分析

第（2）问的解法三最为常规，通过运用点在抛物线图像上和第（1）问的结论构建点坐标之间的关系.通过点到直线的最值，对相关的表达式进行整理，借助二次函数求最值知识求得p的值.该种解题方法适合大多数学生.解法一与解法三思路类似，不同的是解法一求出了圆心的轨迹.两种方法难度相当，但解法一的思路不易想到.解法二计算起来相对简单，解题效率较高，其间接应用了直线的平移知识，但该思路很难被学生想到.综合来看，三种解法虽有所差异，但殊途同归.教学中教师可要求学生根据自己的实际情况，认真学习适合自己的解题方法，并不断训练，真正掌握.

三、教学启示

通过对上述三种解法的分析，笔者从题目考查的知识点以及解法两方面思考，得到一些启示.

1.解析几何最值习题考查知识的启示

解析几何最值习题看似难度较大，但通过对上述题目的分析可知，其考查的知识点都是学生熟悉的，如上述例题中涉及的基础知识有抛物线方程、向量、点到直线的距离等，只不过将知识进行了巧妙的整合.最值与解析几何知识相结合的题型较多，教学中教师应做好解析几何最值题型的汇总与分析，与学生一起分析不同题型考查的知识点，掌握习题的解题技巧，使学生在学习中有针对性地做一些综合性习题，感受最值、解析几何知识的综合应用，在夯实基础知识的同时，提高其思维的灵活性.

2.解析几何最值习题解题方法的启示

解答解析几何最值习题时，选择正确的解题方法尤为关键.通过上述三种解法的对比分析可知，三种解法在计算烦琐度、解题耗时上还是存在差别的.因此，在以后的教学中，教师应鼓励学生多反思解题方法，尝试着进行一题多解，看能否从另外角度入手寻找更为简便的解题方法，并鼓励学生围绕解析几何最值习题的解题方法展开讨论，做好解题方法的总结.

[   参   考   文   献   ]

[1]  周云霞.模型构建，坐标转化，多解探究：对一道解析几何题的多解探究[J].数学教学通讯，2020（6）：78-80.

[2]  钟光霖.常见解析几何最值问题求解的转化策略[J].青海教育，2020（Z1）：78.

[3]  蔡旭平.例析解析幾何最值问题的五种策略[J].中学数学，2018（5）：65-68.

[4]  蔡旭平.例析解析几何最值问题的五种求解策略[J].高中数学教与学，2018（5）：16-18.

[5]  刘小梅.例析解析几何中最值问题的求解方法[J].中学数学研究，2017（12）：46-48.

（责任编辑 黄桂坚）