方案设计与决策型问题探究

郑莹莹

[摘 要]探究方案设计与决策型问题，以培养学生的创新能力，提升学生的数学应用意识.

[关键词]方案设计;决策型;探究

[中图分类号]    G633.6        [文献标识码]    A        [文章编号]    1674-6058（2021）11-0024-02

方案设计与决策型问题，是通过一个实际生活背景，提供了一些信息，然后要求学生通过比较、设计、操作找到解决问题的最佳方案.有时解决问题的方案不止一种，有时需要根据不同情况采取不同的方案，它具有开放、灵活、发散的特点.此类问题多取材于实际生产生活，结合时代热点.方案设计与决策型问题的引入，改变了过去学生学习对模仿和记忆的依赖，从“重结果，轻过程”转变为“既重结果，也重过程”，对学生创新能力的培养、数学应用意识的提升都十分有用.

一、利用不等式组设计方案

利用不等式组设计方案，就是通过建立不等式组找到解决问题的几种方案，然后通过比较找到最佳方案.它常与方程组结合在一起考查.解决此类问题可分两步走：第一步，通过方程组求出两个未知量;第二步，综合已知条件与第一问的结果列出不等式組，然后求出此不等式组的非负整数解.

[例1]江苏省响水县水利局决定，招标一工程队负责完成南洼水库的土方挖掘任务.该工程队有两种型号的挖掘机，分别是A、B，已知要施工1小时挖出140立方米的土，需要2台A型挖掘机和3台B型挖掘机;要施工1小时挖出80立方米的土，需要1台A型挖掘机和2台B型挖掘机.工作1小时，每台A型挖掘机需付费350元，每台B型挖掘机需付费200元.

（1）挖掘机工作1小时，每台A型挖掘机挖土多少立方米？

（2）若施工4小时完成不少于1360立方米的挖土量，需要A型挖掘机和B型挖掘机共10台同时施工，且总费用不超过14 000元.有什么调配方案？最低费用多少元？

解析：（1）设每台挖掘机工作1小时，A型挖掘机挖土x立方米， B型挖掘机挖土y立方米，

答：工作1小时，每台A型挖掘机每小时挖土40立方米.

（2）设有m台A型挖掘机参与施工，则有（10-m）台B型挖掘机参与施工，

∴共有三种调配方案：①调配7台A型挖掘机、3台B型挖掘机施工;②调配8台A型挖掘机、2台B型挖掘机施工;③调配9台A型挖掘机、1台B型挖掘机施工.

∴选择方案①时，费用最低，最低费用为12 200元.

评注：解决此类问题的关键是列不等式组，找出题中的两个不等式关系，分别列出不等式.找不等关系要抓住关键词“至少” “至多” “不超过” “不低于”等.

二、利用方程组设计方案

利用方程组进行方案设计，就是通过列二元一次方程组，利用二元一次方程组有无数多个解的特点设计方案.虽然二元一次方程组有无数多个解，但在实际问题，有实际意义的解往往是有限个，其实就是求二元一次方程组的非负整数解.

[例2]据市场调研发现，2019年潢川县农业合作社梅子喜获丰收，合作社大股东李海军准备雇车把梅子运往外地去销售，货车公司的负责人告诉李海军，若运12吨货物，可用2辆A型车和3辆B型车;若运17吨货物，可用3辆A型车和4辆B型车，李海军准备同时租用A型车m辆，B型车n辆，一次性运完21吨梅子.根据上述运载量，解决下面两个问题：

（1）每辆A型车装满梅子可运货多少吨？每辆B型车装满梅子可运货多少吨？

（2）合作社大股东李海军有多少种租车方案？

解：（1）设每辆A型车装满梅子可运货x吨，每辆B型车装满梅子可运货y吨，

答：每辆A型车装满梅子可运货3吨，每辆B型车装满梅子可运货2吨.

答：共有3种租车方案.

三、利用一次函数的性质设计方案

利用一次函数进行方案设计，包括两种情况，一是探讨单一函数关系式，当自变量取不同值时，对应函数值的变化情况;二是比较两个或三个函数关系式，当自变量在不同范围内取值时，比较函数值的大小关系.通过函数值的比较得所需的方案.

[例3]某足球馆标准票价20元/张，7-8月份为了扩大销售，增加业务量，现推出两种特殊卡：①至尊卡售价每张600元，每次到足球馆去玩不再另外收费;②贵宾卡售价每张150元，每次到足球馆去玩另收10元费用.标准票正常出售，两种优惠卡仅限7-8月份使用，不限次数.设到足球馆去玩x次时，所需费用为y元.

（1）写出选择至尊卡、贵宾卡、标准票消费时，y与x之间的函数关系式;

（2）如图1所示的图像是三种营销方式对应的函数图像，点A、B、C的坐标分别是多少？

（3）认真观察函数图像，说一说选择哪种消费方式更划算.

评注：此题通过观察图形比较函数值的大小关系，从而得到较划算的方案，体现了数形结合的数学思想.一般地，两个函数图像，当自变量取相同值时，函数图像在上方的，函数值较大，函数图像在下方的，函数较小，交点处函数值相等.

四、利用二次函数的最值性质设计方案

利用二次函数的性质进行方案设计，就是通过列二次函数关系式，利用二次函数最值的性质，求得问题的最大利润、最低成本、最佳方案等.通常要对列出的二次函数关系配方成[y=a（x-h）2+k]的形式，根据“[a>0]时，二次函数有最小值;[a<0]时，二次函数有最大值”得到符合题意的方案.

[例4]星月休闲娱乐度假村有海景房15间，贵宾房20间.按现有定价，若全部入住，一天营业额为8 500元;若海景房、贵宾房均有10间入住，一天营业额为5 000元.

（1）每间海景房、贵宾房的定价分别是多少钱？

（2）经过前段时间的经营发现，星月休闲娱乐度假村的贵宾房，若每个房间每天按现有定价，房间会全部住满;当每天的定价每个贵宾房每增加20元时，会空闲2个房间.已知消费者居住房间，公司需对每个房间每天支出80元的费用.要达到最大利润，每间贵宾房定价为多少钱？

答：海景房、贵宾房每间现有定价分别是300元、200元;

答：要达到最大利润，每间贵宾房应定价为240元.

评注：在销售利润问题中，“总利润=每件利润×件数”是最常用的等量关系，它常用来建立二次函数关系式.在此问题中，其关键是求出当利润或价格变化a元时，件数变化对应的代数式.

从上述案例可以看到，方案设计与决策型问题在考试中并不是单一的运用不等式、方程或函数解决，大多是两种或三种的综合，学生必须熟练掌握各种题型且灵活运用.

（责任编辑 黄桂坚）