凸显建模思想 开展有效教学

王红美

【摘 要】数学建模是中学数学教学的一条主线，本文列举大量案例，从建模问题精选、抽象本质、建模渗透、变换应用几个方面进行分析研究，以帮助学生明确建模在初中数学学习中的重要意义，学会从实际问题中获取信息，正确建立数学模型。在初中数学课堂中引入数学建模思想，能够提高课堂教学效率，提升课堂教学的有效性。

【关键词】初中数学;建模思想;渗透方法

【中图分类号】G633.6  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）34-0094-03

初中生身心已发展到一定水平，初中教学的根本目标是让学生把已学的知识应用于解决生活中的实际问题。而遇到实际问题时，学生往往会束手无策。数学建模思想具有思路清晰、逻辑推理严格、简洁规范、化难为易等特点，在初中数学教学实践中凸显建模思想，既能克服传统教学过分地把知识“纯粹”化，还可以帮助学生解决实际问题[1]。本文列举大量案例，从四个方面分析研究，以让学生领会建模思想，培养学生的数学思维和应用意识，从而提升学生的核心素养。

1   数学建模的意义

数学建模以学生为中心，以问题为主线，以培养能力为宗旨来组织教学工作。数学教学强调的是培养学生获取新知识的能力，强调创造一个良好的环境激发学生学习的欲望，培养他们的自学能力和创新能力。建模与教学既交叉渗透又连环互动，相互促进，相辅相成[2]。模型的建立流程如图1所示。

2   初中数学教学中渗透建模思想的方法

2.1  精选问题——形成建模的土壤

问题选取十分重要，既要能激发学生对数学的学习兴趣，又要具有代表性和典型性。

2.1.1  模型选取，提供现实原型

提供具有现实原型的模型，能够让学生进一步加深对模型的认识，从而深化对数学问题的理解。

【课例1】①在学习数轴的概念时，选取生活中的温度计作为引入。②引入軸对称图形时，展示京剧脸谱、漂亮的蝴蝶等图片，并且进行翻折操作。在引入旋转对称图形时，可以展示五角星、电风扇、螺旋桨、太极图案等图片，并进行旋转;在引入中心对称图形时，可以继续展示太极图案，并进行旋转。

在上述两个案例中，通过学习数轴、轴对称图形引导学生分析日常生活中常见的事例，能够使得学生在充分理解问题的基础上联想到相关概念，从而形成良好的建模土壤。

2.1.2  案例引入，选取日常事例

初中数学强调的是基础，只要平时打好基础，学生的数学成绩就不会差。

【课例2】“有理数的加法教学”。具体教学过程是：利用数轴给出结果→分析法则的特点→应用结果→学生练习→归纳小结。

教师可选取日常生活中的事例，帮助学生理解该知识点。如可以象棋比赛为例，赢的记为“+”，输的记为“−”，让学生列出小王上午输赢的各种可能、小王下午输赢的各种可能、小王一天输赢的可能等。

利用学生身边熟悉的生活事例创设情境，能够激发学生的兴趣，激活学生的思维，学生自然能够牢固地建立加法法则这个数学模型。

2.1.3  有效推导，经历问题情境

数学建模思想的渗透要让学生自己经历问题情境。教师在教学中应让学生自行推导、自行验证、自行经历建模的过程。

【课例3】2018年下学期八年级期末复习，“一次函数”中给出两个变量以及一组数据，要求学生建立变量之间的函数关系，让学生亲身经历描点、连线，大概知道一次函数图象的形状，描点观察图象特征以判定函数的类型。如表1，生物学家测得7条成熟的雄性鲸的全长 y和吻尖到喷水孔的长度x的数据，能否用一次函数表达这两个变量x与y的关系？如果能，请求出这个函数解析式。

该课例遵循了研究数学知识的一般思路，将生活中遇到的问题抽象成数学问题，通过建立基本的数学模型解决生活问题。

2.2  抽象本质——形成建模的关键

教师要引导学生从不同的层次认识概念，以此把握概念本质，帮助学生建构完整的概念域。教师可以大量感知材料，抽象出问题共性，从而引出本质特征。

2.2.1  多维揭示，挖掘概念深度

【课例4】绝对值概念。

层次1：|a|表示数轴上a到原点的距离。

层次2：当a>0，|a|=a;当a=0，|a|=0;当a<0，|a|=−a。

层次3：|a−b|表示数轴上a到b的距离。

层次4：当a−b>0，|a−b|=a−b;当a−b=0，|a−b|=0;当a−b<0，|a−b|=b−a。

层次1紧紧抓住绝对值概念;层次2从代数的角度对绝对值的符号进行了确定;层次3、4进一步对概念进行了延伸;层次5把绝对值看成了算术数，学有余力的学生可以对其进行理解掌握。

2.2.2  多重变式，发散学生思维

从一个知识点切入进行变式题组训练，能帮助学生举一反三，触类旁通。相关的题目放在一起，可以发散学生思维，同时增强学生的数学敏感性。

【课例5】如图2，在Rt∆ABC中，∠C=90°，若AB=13，BC=12。

（1）请求出∠A的正弦、余弦和正切的值。

（2）请求出∠B的正弦、余弦和正切的值。

（3）观察前两问中的计算结果，你发现了什么？

已知两边可求出第三边，通过三角函数的概念得出它们的值，意在让学生熟悉概念。若将已知边长的条件改为两边之比，或已知一个三角函数，是否也可以求出其余的三角函数呢？通过同类型的一系列变式，能使学生真正理解三角函数的概念。

2.2.3  一题多解，抓住例题核心

教学过程中，教师要引导学生明白，从不同的角度思考一个问题，就会有不同的解决方法，会呈现出不同的思维方式。

【课例6】直线y=kx+b（k≠0）经过定点A（−4，3），与x轴负半轴交于点C，与y轴正半轴交于点B，求SABOC的最小值。

此题是课本习题的改编，解题方法有面积法、截距法、三角函数、构造相似、翻折、旋转、不等式等多种方法。这一题可以使学生理解图象过定点的意义，理解含参函数的特征，真正体会一题多解的价值，从而有效建模。

2.3  思想渗透——形成建模的灵魂

教师在教学过程中应注重对学生数学思维的训练，既要让学生理解题目的本质，还要突出一题多解，一题多变，从而提升学生的建模能力。

2.3.1  直接运用，直指数学本质

一题多解是有效提升学生学习兴趣的方法，能够拓宽学生的视野，对学生学习信心的培养和数学素养的提升都有积极意义。

【课例7】已知∆ABC中（如图3）P点是∠ABC和∠ACB的角平分线交点。若∠ABC=50°，∠ACB=70°，则∠BPC=________ 。

角平分线是比较抽象的一条线，也是三角形中重要的一条线。直接运用角平分线的关系能够深入挖掘出几何图形的特征，找寻其内在关系。

2.3.2  适当改编，蕴含认知冲突

一题多变，可以增强学生思维的灵活性。以上题为例，学生基本掌握角平分线的性质之后，教师可根据学生的认知规律，引导学生找出这类题证明方法的共同点和不同点，从而帮助学生理解知识点间的关联性，使学生的思维完成从低阶到高阶的转化，进而构建相关的数学模型。

改编1：已知∆ABC中（如图3）P点是∠ABC和∠ACB的角平分线交点。若∠A=60°，则∠P=_____。

改编2：已知∆ABC中（如图3）P点是∠ABC和∠ACB的角平分线交点。若∠A=α，则∠P=________。

改编3：已知∆ABC中（如图4）P点是∠ABC和∠ACB的外角角平分线的交点。若∠A=α，则∠P=__________。

改编4：已知∆ABC中（如图5）P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线交点。若∠A=α，则∠P=__________。

改编5：已知BC=3（如图6），∠ABC和∠ACB的角平分线交点为O，OE∥AB，OF∥AC，求∆OEF的周长。

通过上述变式，能够调动学生进行思考，而且让学生总结出角平分线（两内、两外、一内一外）与顶角的关系，改编5还跟平行线建立了一定的联系，其中改编3还可以拓展成一个规律题。这些改编题可巩固并深化学生的知识系统，拓展学生思维的深刻性，促进学生有效建模。

2.4  变换应用——形成建模的延展

引导学生将建模思想应用到实际问题中，旨在加深其对建模内涵的理解。

2.4.1  分块落实，搭建综合体系

【课例8】如图7，在Rt∆ABC中∠ACB=90°，点D是边AB上的一点，以BD为直径作⊙O与AC相切于点E，连结DE，并延长DE交BC的延长线于点F。

（1）求证：BD=BF。

（2）若CF=2，cosB=3/5，求⊙O的半径。

这个题目的解法就是构造直角三角形，有4种构图法，如图8。如果这个题目是一棵树，那圆是主干，解直角三角形是一个树杈，直线与圆的位置关系相切是一个树杈，垂径定理是一个树杈，直径所对的圆周角是一个树杈。教师要引导学生对这一题型建立完善的数学模型。

2.4.2  问题重构，挖掘内在联系

教师要构建知识之间的内在联系，完善学生的数学概念体系，对问题内涵和外延进行拓展，引导学生建立概念的网络体系。

【课例9】三角函数概念课。由于特殊角30度、45度、60度的对边与斜边的比值学生已掌握，根据类比此比值，还可以得出其余的边之比，因而得出三类三角函数，如图9所示。

3   初中数学建模思想渗透的建议

3.1  给学生足够的思考时间

建立模型是渗透模型和运用模型的核心环节，构建模型的能力也因人而异。教师要引导学生通过观察、分析、思考更为一般的模式表达，给予学生足够的思考空间，让学生交流讨论，形成建立模型的基本思路[3]。

3.2  让学生多阅读

抽象出问题的本质，不仅需要培养学生的建模思想和建模意识，而且还要培养学生从问题中把数学信息抽象出来的能力，引导学生理顺各种数据间的关系（可通过画图或者列表格等方式）。

3.3  引导学生分解难点

教师要引导学生将问题转化为模型，将问题简单化，同时让学生了解问题的类型，建立问题的所属模型，以此培养学生的建模意识。

数学建模思想的渗透是一个长期的过程，还有待更多的课堂实践验证，有待更加客观的统计手段来说明其有效性。在后续研究中，还需要进一步说明调查样本的全面性、样本因素的显著性，从而使调查结果更有普遍性。

【参考文献】

[1]王新.初中数学函数教学中渗透模型思想的研究[D].桂林：广西师范大学，2017.

[2]侯扬扬，侯亚林.探析数学建模在中学数学教学中的应用[J].企业导报，2011（22）.

[3]李静宇.高中生数学应用意识调查研究[D].长春：东北师范大学，2011.

【作者简介】

王紅美（1983～），女，汉族，浙江绍兴人，本科，中学一级教师。研究方向：初中数学教学。