函数项级数一致收敛判别法的应用与推广

【摘 要】作为数学分析中的重点，函数项级数一致收敛性问题的判别通常比较困难。因而，研究函数项级数一致收敛的判别方法及其应用推广是非常必要的。本文介绍了函数项级数相关的部分和、余项、函数项级数一致收敛等定义，并给出一致收敛函数项级数的连续性、可微性、可积性。将数项级数的收敛判别法进一步推广至函数项级数一致收敛判别法上，并且系统地总结了基于函数项级数一致收敛的多种判别法及其证明，同时也给出相关判别法的实际应用，并探讨了一致收敛判定中的放大技巧以及各判别法的局限性。

【关键词】函数项级数;一致收敛性;判别法;放大法

【中图分类号】G712  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）34-0005-03

作为数学分析的难点和重要问题，函数项级数的一致收敛性的判定通常需要一定技巧，因此本文旨在全面归纳函数项级数一致收敛的判别方法。另外，函数项级数与数项级数之间有许多可以类比归纳的地方，因此一些數项级数收敛的判别法，如比式、根式、Raabe判别法等，也可以用于证明函数项级数是否一致收敛。由于在判别法中需要利用放大的技巧，因此本文总结了多种放大的方法，最后综合各种判别法的优缺点，以更加熟练地应用判别法。

1   函数项级数一致收敛的定义及基本判定方法

1.1  函数项级数一致收敛的定义

1.2  柯西（Cauchy）判别法

1.3  阿贝尔（Abel）判别法

1.4  狄利克雷（Dirichlet）判别法

1.5  魏尔斯特拉（M）判别法

2   对比数项级数，得到函数项级数一致收敛的判别法

2.1  比式判别法

2.2  根式判别法

2.3  对数判别法

2.4  高斯（Gauss）判别法

3   判别法中放大的技巧

通过上述对于一致收敛判别法的总结，会发现无论选择哪一种判别法，都要对某一种形式的表达式有针对性地放大，下面通过例子来说明放大技巧[7]。

3.1  利用已知不等式进行放大

3.1.1  均值不等式

3.1.2  柯西不等式

3.1.3  锲贝晓夫不等式

3.1.4  明可夫斯基不等式

3.1.5  贝努力不等式

3.1.6  排序不等式

3.2  利用Abel变换进行放大

综上所述，柯西收敛法在运用上比定义法更为优越，但需要掌握一定技巧，其推论常用于判断函数项级数非一致收敛;应用Abel判别法和Dirichlet判别法的关键在于将函数项写成两项相乘的形式，使其满足判别法的条件;魏尔特斯拉（M）判别法较为方便的地方在于可以使用放大法将其转化为正项级数的收敛问题，同样需要一定的技巧，但是此法同样具有不可避免的缺陷，即如果函数项级数并不是绝对收敛的，那么就不能使用;Dini判别法需要判断求和函数是否连续，条件要求较高，不便于应用。根据数项级数的判别法推广而来的方法拥有与之类似的适用条件，比式判别法多用于通项中含乘除、阶乘的函数项级数;根式判别法多用于通项中n为幂的函数项级数;对数判别法多用于通项中n为底数的函数项级数;在判断比等比级数收敛得慢的级数时，Raabe判别法比柯西判别法、阿贝尔判别法更有效;余项判别法的本质是用取极值的方法将其转化为数列极限问题。

函数项级数一致收敛的判断有许多种方法，但是每一种方法都有各自的优缺点，可能只适用于其中某一类函数项级数，只有对每种判断方法的条件及函数项级数的性质做正确的分析，才能游刃有余地使用。

【参考文献】

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[2]陈纪修，於崇华，金路.数学分析.下册.第2版[M].北京：高等教育出版社，2004.

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[6]王瑜，钟粤敏.正项函数项级数一致收敛的Gauss指标判别法[J].闽南师范大学学报（自然科学版），2019（3）.

[7]徐家斌.正项级数收敛法到函数项级数一致收敛法的推广[J].内江师范学院学报，2010（10）.

[8]刘玉琏，傅沛仁.数学分析讲义[M].北京：高等教育出版社，1992.

【作者简介】

熊晗颖（1985～），男，汉族，江苏常州人，本科，讲师。研究方向：高职数学的信息化教学研究。

The Application and Extension of the Discriminant Method of Uniform Convergence on Function Series

Hanying Xiong

（Changzhou Railway Higher Vocational and Technical School， Changzhou， Jiangsu， 213011）

Abstract：As the focus of mathematical analysis， it is usually difficult to judge the uniform convergences on function series. Therefore， it is very necessary to study the discriminant method of uniform convergence of function series and its application. This paper introduces the definitions of the partial sum， the remainder and the uniform convergence on function series， and gives the continuity， differentiability and integrability of uniformly convergent function series. In the paper， the convergence discriminant method of several term series is further extended to the uniformly convergent discriminant method on function term series， and a variety of discriminant methods based on the uniform convergence of function series and their proofs are systematically summarized. At the same time， the practical application of relevant discriminant methods is also given， and the amplification skills in the uniformly convergent judgment and the limitations of each discriminant method are discussed.

Keywords：function term series; uniform convergence; discriminant method; amplification method