数学概念形成中的弱抽象和强抽象及其教学

摘要：在数学概念的形成过程中，抽象的形式主要可以分为弱抽象与强抽象两种。正确认识这两种抽象形式，厘清它们的关系，才能在教学中根据抽象的规律设计合理的教学流程，组织有效的教学活动。以初中“数与代数”领域为例，分析数学概念形成中的弱抽象和强抽象及其关系。教学中，要通过弱抽象和强抽象的相互补充来加深学生对数学概念的理解。

关键词：弱抽象;强抽象;数学概念教学;数与代数

数学概念教学是数学教学的基础，要让学生经历数学概念的形成过程。一般认为，数学概念的形成过程是一个抽象的过程。但是，不同概念的形成过程中，抽象的形式不尽相同，主要可以分为弱抽象与强抽象两种。正确认识这两种抽象，厘清它们的关系，才能在教学中根据抽象的规律设计合理的教学流程，组织有效的教学活动。这是学生理解数学概念的需要，更是学生发展数学抽象素养的需要。

本文以初中“数与代数”领域为例，分析数学概念形成中的弱抽象和强抽象及其关系，谈谈相关的教学建议。

一、数学概念形成中的弱抽象及其教学

徐利治先生认为，弱抽象也可以叫作“扩张式抽象”，是指由原型中选取某一特征或侧面加以抽象，从而形成比原型更为普遍、更为一般的概念或理论，并使前者成为后者的特例。由于弱抽象是从原型中分离特性，所以只有结构内容较为丰富的对象才能成为弱抽象的原型。

一些数学概念源于生活事物或数学现象，它们的形成通常需要经历弱抽象的过程。比如，对于函数的概念，苏科版初中数学教材呈现如下实例：（1）某水库水位的高低与相应的蓄水量如下页表1;（2）如下页图1，火柴棒的根数S与“小鱼”的条数之间的关系为S=8+6（n-1）;（3）水滴激起的波纹看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化……从中概括得到共同属性“两个变量”“一个变量变化，另一个变量随之变化”“一个变量确定，另一个变量随之确定”等，舍弃非本质属性“水库”“水位”“蓄水量”“火柴棒”“小鱼”“波纹”“面积”“半径”等，最后将两个变量分别用两个字母来表示，得到函数的概念。可见，函数概念的形成是典型的弱抽象过程。

又如，对于代数式的概念，苏科版初中数学教材类比生活中用图标表示某种意义的现象，引出数学中用字母表示具体的数;再结合大量的实例，体现用字母表示数的价值;最后经历弱抽象，从a-1、a+6、a+7、40-m+n、0.015m（n-20）、st和2a2等式子中，提炼数与字母做加、减、乘、除、乘方等运算的共同属性，舍弃其他非本质属性，形成代数式的概念。

弱抽象过程的关键是概括提炼。所以，在教学中，首先应该提供大量典型的实例，作为学生概括提炼共同属性的基础。比如函数概念的教学，还可以呈现汽车加油的动态视频和我国某海港某一天的实时潮位图（如图2），让学生感受加油量与总价的变化关系、时间与潮位的变化关系，丰富学生的感性认识。其次，对于有些概念应该引进对比、干扰的实例，帮助学生准确而有效地概括提炼本质特征。比如一元二次方程概念的教学，在x2=2、x（19-2x）=24、5（1+x）2=9.8等典型实例的基础上，还可以增加一元一次、二元一次等不同形式方程的实例，引导学生在对比中排除干扰，概括提炼一元二次方程的本质特征。最后应该给予学生充分的时间观察、分析、比较、交流，再概括提炼概念的共同属性，不要“一步到位”。

二、数学概念形成中的强抽象及其教学

徐利治先生认为，强抽象也可以叫作“强化式抽象”，是指在原结构（概念结构的某种原型）中增添某一特性，从而获得比原结构内容更丰富的结构，并使后者成为前者的特例。强抽象过程中，新的数学概念或结构是在原有数学概念或结构中增添新的特性而获得的，所以新概念比原有概念内涵更丰富、外延更贫乏。

一些数学概念源于已有数学概念或理论，它们的形成通常需要经历强抽象的过程。比如，在数概念的基础上增加不同的特性，得到相反数、倒数、有理数、无理数等概念;在代数式概念的基础上增加不同的特性，得到单项式、多项式、分式等概念;在方程概念的基础上增加不同的特性，得到一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程等概念;在函数概念的基础上增加不同的特性，得到一次函数、反比例函数、二次函数等概念……

因为强抽象过程中新概念是新增内涵条件而得到的，所以，在教学中需要重点抓住新增的内涵条件，从而抓住新概念与原有概念的关系，实现概念的意义建构，并发展学生的抽象思维。比如，同类二次根式的概念是在二次根式概念的基础上增加“被开方数相同”这一条件而得到的，所以，教学同类二次根式的概念时，应该抓住“被开方数相同”这一条件，帮助学生理解其内涵与外延，把握其与最简二次根式、二次根式的关系。

三、弱抽象与强抽象的关系及其教学启示

从思维的角度看，弱抽象是从特殊到一般的过程，属于归纳思维;强抽象是从一般到特殊的过程，属于演绎思维。从知识的角度看，弱抽象是由下位概念得到上位概念，强抽象是由上位概念得到下位概念。但是，特殊与一般、下位与上位在综合思维、知识体系中都是相对的。而且，通常所说的概念，总是不同于实例而具有一定的抽象性（一般性、上位性）的。因此，通常是先有弱抽象，后有强抽象的。由此，我们可以进一步分析弱抽象与强抽象的关系。

首先，弱抽象形成的概念是强抽象形成其他概念的基础。比如，通过弱抽象形成代数式概念，进而以代数式概念为基础，通过强抽象形成整式、分式、方程（等号连接的代数式）、不等式（不等号连接的代数式）等概念。又如，通过弱抽象形成函数概念，进而以函数概念为基础，通过强抽象形成一次函数、反比例函数、二次函数等概念。这样就建构了相对完善的概念体系。

其次，强抽象形成的概念也是弱抽象的结果。比如，由数的概念强抽象得到的相反数概念，也可以由5与-5、2.5与-2.5、23与-23、π与-π等大量典型的实例弱抽象得到。所以，在教学中，除了抓住新增的内涵条件，也要提供具体的例子，丰富学生的感性认识，帮助学生理解新概念。

综上，在教学中，对于很多数学概念，教师还要引导学生从弱抽象和強抽象两个视角来认识，通过弱抽象和强抽象的相互补充来加深理解。比如，对于一次函数的概念，除了引导学生由函数的概念强抽象得到，更要引导学生由y=25x、y=25x+6、Q=40-x10、y=100t、g=h-105等典型的实例（可以研究具体的问题）弱抽象得到，还可引导学生由465-15t=420、465-15t=350等一元一次方程的实例（也可以研究具体的问题）弱抽象得到具体的一次函数y=465-15t。

最后值得一提的是，徐利治先生、喻平教授都提到了广义抽象：在定义概念B时用到了概念A（或在证明命题B时用到了命题A），则称B是A的广义抽象。笔者认为，从初中“数与代数”概念教学的角度来看，其价值并不明显。比如，不等式的解是在不等式的基础上定义的，从这一角度看，不等式的解是不等式的广义抽象。但是，我们完全可以从弱抽象和强抽象的视角来认识这一概念：由“x=3、x=3.5、x=4是不等式x≤4.2的解”等典型的实例弱抽象得到不等式的解的概念;由“未知数的值”这一概念强抽象（增加“能使不等式成立”的条件）得到不等式的解的概念。

*本文系江苏省教育科学“十三五”规划课题“初中数学概念教学中培养学生数学抽象能力的实践研究”（编号：D/2020/02/285）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 韩诗贵.初中平面几何概念形成中的弱抽象与强抽象[J].中学数学杂志，2020（8）.

[2] 徐利治，郑毓信.数学抽象方法与抽象度分析法[M].南京：江苏教育出版社，1990.

[3] 徐利治，张鸿庆.数学抽象度概念与抽象度分析法[J].数学研究与评论，1985（2）.

[4] 喻平.加工水平对具有广义抽象关系数学问题迁移的影响[J].数学教育学报，2005（3）.

[5] 傅赢芳，喻平.CPFS结构理论及其对数学概念教学的启示[J].教育研究与评论（中学教育教学），2020（6）.