数学概念教学中的问题链设计

王飞龙 孙鋆

摘要：长期以来，数学概念教学存在“重结果、轻过程，重传递、轻建构”的问题。利用数学问题链，可以让学生更好地经历数学概念的形成过程，自主建构数学概念。设计问题链时，要注意渗透从特殊到一般的思维方法，凸显概念之间的联系，并且适当体现从概念到性质、从建构到应用的研究“套路”。以“异面直线所成的角”教学的问题链设计为例来说明。

关键词：数学概念教学;问题链设计;异面直线所成的角

一、观点：数学概念教学需要问题链的驱动

数学概念是反映一类事物在数量关系和空间形式方面本质属性的思维形式和载体，具有高度抽象的特征，在该类对象的范围内具有普遍意义。从概念到命题或结论（其实是概念的性质）再到推理（比如解题），就是数学思维发展的一般过程。因此，数学概念是数学思维（知识及应用或问题及解决）的基础——李邦河院士说：“数学是玩概念的。技巧，不足道也。”自然地，数学概念教学是数学教学的基础。

然而，长期以来，数学概念教学存在“重结果、轻过程，重传递、轻建构”的问题。

一方面，从知识的角度看，数学概念常被看作已有的结果性对象，学生所要掌握的只是其内涵、外延、表示等结果性要素。因此，数学概念课常出现“10分钟玩概念、30分钟练概念”的现象。而事实上，数学概念具有过程与结果两重性。也就是说，数学概念本身有一个形成（包括发生、发展）的过程，而非“天上掉下来”的结果。因此，只有结果而没有过程的数学概念教学是不完整的。

另一方面，从教学的角度看，教学作为结果的数学概念时，传递无疑是有效的。也就是说，通过教师的讲授、学生的接受与练习，就能达到对概念的熟记与套用，甚至还能建立与其他概念的关联。但是，这样的学习是从外而内的植入式学习，会导致学生对数学概念的理解是浅层次的。因此，教师要让学生经历数学概念的形成过程，自主建构数学概念。只有这样，学生才能理解数学概念的来龙去脉，建立数学概念的结构体系，灵活运用数学概念;与此同时，学生还能体悟概念建构过程中的数学思维方法，发展数学核心素养。

数学问题链是教师在课外预设并在课上以多种方式呈现给学生的、有序的主干数学问题序列，可以驱动学生的数学探究，体现数学思维的脉络。因此，在数学概念教学中，利用数学问题链，可以让学生更好地经历数学概念的形成过程，自主建构数学概念。

那么，在数学概念教学中，如何设计问题链呢？

一般而言，数学概念是在大量具体案例的基础上通过比较、分析，归纳共性、抽象本质而形成的。除此之外，数学概念之间有着广泛的联系，很多新概念是在旧概念的基础上，通过各种关系而形成的。具体来说，有些新概念是在旧概念的基础上加入一些本质属性而形成的，是强抽象的结果，如等差数列、等比数列等概念;有些新概念是在旧概念的基础上去掉一些本质属性而形成的，是弱抽象的结果，如数系扩充过程中的新概念等;还有一些新概念是在旧概念的基础上通过某些方面的相似类比迁移而形成的。因此，设计问题链时，要注意渗透从特殊到一般的思维方法，凸显概念之间的联系，并且适当体现从概念到性质、从建构到应用的研究“套路”。

二、案例：“异面直线所成的角”教学的问题链设计

“异面直线所成的角”是人教A版高中数学教材（2019年版）必修第二册“8.6.1 直线与直线垂直”中的内容。一方面，分析这一概念的形成过程，首先是初中的平面内两条相交直线所成的角（夹角）的类比迁移，体现空间问题平面化的思维方法;其次是从长方体中的异面直线到任意异面直线的推广，体现从特殊到一般的思维路径。据此，可以设计四个主干问题，分别指向平面内两条相交直线所成的角的定义、长方体中异面直线所成的角的猜想与确认、任意异面直线所成的角的定义。当然，在教学中，除了教师提出问题，更要注重引导学生提出问题。对此，教师可以基于学生视角，根据主干问题预设一些辅助问题（子问题）。另一方面，分析这一概念的有关性质和应用，最基础、最直接的就是取值范围和垂直这一特殊情况。据此，可再设计两个主干问题。综上，具体问题链设计如下：

问题1平面内两条直线相交，为了刻画一条直线相对于另一條直线的倾斜程度，我们学习了两条相交直线所成的角。初中是如何定义两条相交直线所成的角的？

问题1引导学生回顾平面内两条相交直线所成的角的概念，明确可以用角来刻画一条直线相对于另一条直线的倾斜程度。作为起点性问题，不仅难度较低，而且可以引出后续问题——其触发点在于，空间中是否也能用角来刻画一条直线相对于另一条直线的倾斜程度。

问题2如图1，长方体ABCDA1B1C1D1中，棱AB与A1D1和A1C1构成两对异面直线。相对于AB，A1D1和A1C1之间有没有差异？如何刻画这种差异？

问题21能否找一个几何量来刻画这种差异？

问题22对于异面直线AB与A1C1，如何得到这个角？

问题2创设长方体的情境，引导学生直观感受两条直线A1D1和A1C1相对于与它们异面的一条直线AB的倾斜程度不同，并且思考如何刻画这种差异。问题21让问题2的思考方向更明确，将学生面对问题2时存在的思考困难提了出来。问题22将问题21的思考推向更远，让学生尝试构建角这一几何量。

教学实践表明，学生能够借助几何直观，运用类比方法，将直线AB平移到直线A1B1处，用相交直线A1B1与A1C1所成的锐角来刻画直线A1C1相对于与它异面的直线AB的倾斜程度，由此将∠C1A1B1称为异面直线AB与A1C1所成的角。对此，教师需要点明其中的数学思想方法：研究异面直线所成的角时，通过平移把异面直线转化为相交直线，这体现了研究立体几何时基本的降维思想，即把空间问题转化为平面问题。

问题3根据问题2中的做法得到的角的大小是固定的吗？

问题31运用问题2中的方法，两条异面直线所成的角有几种可能？这些角都一样大吗？

问题32如图2，如果将直线AB平移到与直线A1C1相交但不过点A1（而过A0）的位置，那么异面直线AB与A1C1所成的角是哪个角？两次平移产生的两个角相等吗？

问题33如图3，如果在空间中取一点A′，过点A′分别作A′B′∥AB， A′C′∥ A1C1，那么哪个角可以看成异面直线AB与A1C1所成的角？不同的平移方法所产生的角相等吗？

上面的问题2旨在引导学生得出刻画两条异面直线中一条相对于另一条的倾斜程度的一种方法，问题3则转向关于这个方法的一个核心问题的研究，即结果的唯一性。从数学思维的角度看，这是一个非常重要的问题，但学生很难想到，因此，要由教师提出来。同样地，学生解决这一问题时也存在困难，因此，设计问题31和问题32这两个辅助问题（子问题），使问题3变得更为具体。问题33则既是对前两个子问题的进一步拓展，也是对学生学习的一种检验，体现了问题链教学中学习评价的伴随性。

在问题3的系列研究中，需要引导学生归纳总结出如下结论：空间中，如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补;异面直线可以通过平移变为相交直线，从而求得其所成的角，而且所得结果与平移后交点的位置无关。并且在此过程中，自然而然地理解公理4（基本事实4），即空间直线平行的传递性和空间等角定理，让知识的学习顺理成章而不感突兀。

问题4能否定义两条异面直线a与b所成的角？

问题4引导学生从特殊走向一般，继续运用降维转化思想，水到渠成地建构异面直线所成的角概念：经过空间中任意一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的非钝角叫作异面直线a与b所成的角（夹角）。

通过上述问题链的分阶段探究，学生便经历了异面直线所成的角概念的形成过程，体会到其建构的必要性和合理性。

问题5两条异面直线a与b所成角的范围是什么？

问题6长方体ABCDA1B1C1D1的所有棱中，与AB垂直的异面直线有几条？

问题5是对异面直线所成的角概念最基本的性质的探究。学生运用定义，不难得到异面直线所成角的范围。教师需要特别指出：当所成的角为π2时，异面直线a、b互相垂直;同时需要提醒學生注意：两条直线垂直分为相交垂直和异面垂直两种情况，从而为后续垂直关系的学习奠定基础。

而问题6则聚焦长方体中的异面垂直，是对问题5的进一步延伸，也是对所得结论的进一步应用。

*本文系全国教育科学规划课题教育部重点课题“指向深度理解的‘问题链教学研究”（编号：DHA200318）的阶段性研究成果。

参考文献：

[1] 顾明远.教育大辞典（增订合编本）[Z].上海：上海教育出版社，1998.

[2] 唐恒钧，黄辉.数学问题链教学设计与实施的三个关键[J].中学数学，2020（5）.

[3] 唐恒钧，张维忠，陈碧芬.基于深度理解的问题链教学[J].教育发展研究，2020（4）.

[4] 章建跃.数学学科核心素养导向的“单元—课时”教学设计（续）[J].中学数学教学参考，2020（16）.