极限论视角下客观题的优化求解

浙江 丁扬恺

高三的考试题都是命题专家匠心独运之作，尤其是选择、填空小题部分，其方法多样、思想灵活，具有鲜明的导向性，备受一线教师青睐.但由于压轴小题难度大，如按照参考答案给学生解惑，会让很多学生知其然，却不知其所以然.其次在考场实战限时条件下，大部分考生如达不到试题的高度则很难系统地运用通法求解，导致半途而废，从而因考试对数学失去信心.鉴于此，笔者选取一些模拟考及高考试题，虽引入大学数学极限论思想，但本质是双参数、双动点的最佳逼近或是空间几何体的极端值处理理论，再结合自己的教学体会，谈谈选择压轴小题的“优化运算”.

一、不等式视角

【例1】(2019·4月浙江学考·17)已知a,b,c,d是四个互不相等的正实数，满足a+b>c+d且|a-b|<|c-d|，则下列选项正确的是

( )

A.a2+b2>c2+d2

B.|a2-b2|>|c2-d2|

思路：观察题目中的两个条件，|a-b|<|c-d|使得a,b间的差距小于c,d间的差距，可取a=6,b=5,c=2,d=4，排除B，C选项；考虑到选项A中数的平方性，可将d放大为8，排除A选项，故选D.

点评：该题正确答案D为条件|a-b|<|c-d|的细化，事实上出题者安排此题是让学生用特殊值来排除选项，学生总是选择一些无规律特值去代入，但排除的效果不明显，如能抓住题干机理再让个别数充分贴近或趋向无穷远，则排除效果明显，我们可以再来看下列数的有界性.

【例2】(2016·浙江卷理·8)已知实数a,b,c.

( )

A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100

B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1，则a2+b2+c2<100

C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1，则a2+b2+c2<100

D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1，则a2+b2+c2<100

思路：对A选项，观察到a2+b，a+b2与c和的绝对值的零点，可取a=1,b=1,c=-2，能推出a2+b2+c2<100，然后我们将实数a,b,c放大，取a=100,b=100,c=-10 100得出矛盾；

同理对于B选项，a2+b为共性，可取a=1,b=-1,c=0，能推出a2+b2+c2<100，然后我们将实数a,b放大，取a=100,b=-10 000,c=0得出矛盾；

同理对于C选项，a+b为共性，可放大a,b，取a=100,b=-100,c=0得出矛盾.不难得出正确选项为D，对于D选项，|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1表示a2+b到-c的距离与a+b2到c的距离之和小于等于1，因为a,b有界，则a2+b,a+b2都有界，故c有界，则a2+b2+c2有界.

点评：此题为2016年浙江卷选择最后一题，考生在考场中如能先取部分满足条件的特殊值，再趋向于无穷远，则该道选择压轴题不难得出正确答案.

二、动态立体几何视角

【例3】(2020·绍兴一模·8)如图，三棱锥V-ABC的底面ABC是正三角形，侧棱长均相等，P是棱VA上的点(不含端点)，记直线PB与直线AC所成角为α，二面角P-AC-B的平面角为β，则α+β不可能是

( )

点评：该题是极限思想运用到立体几何中，将三棱锥趋向于无穷小，则角的范围迎刃而解.

【例4】(2019·浙大附中高三数学第二学期·9)如图，已知△ABC中，AC>AB,AD是∠BAC的平分线，将△ABD沿直线AD翻折成△ADB1,在翻折过程中，设所成二面角B1-AD-C的平面角为α，∠B1AC=β,∠B1DC=γ,则下列结论中成立的是

( )

A.α≥β,α≥γB.α≥β,α≤γ

C.α≤β,α≥γD.α≤β,α≤γ

思路：该题若用极限思想则考虑两个极端位置，在初始位置，易知α=π,α>β,α=γ,在B折平时易知α=β=0,α<γ，易得正确答案为B，此法为学生限时条件下解决选择题的有效方法.

点评：立体几何翻折问题常先考虑折之前图形与折叠过程中的图形的变量与不变量，也是极端法的缘由，其次该题通解法的纽带是点B1投影一定落在AD的高线上.

( )

A.β>γ>αB.α>β>γ

C.α>γ>βD.β>α>γ

三、动态圆锥曲线视角

( )

A.递增数列 B.递减数列

C.先递减后递增数列 D.先递增后递减数列

【教材习题】观察不同的椭圆，我们发现，椭圆的扁平程度不一，那么，用什么量可以刻画椭圆的扁平程度呢？

( )

(x1+x2)+λ(x3+x4)=(y1+y2)+λ(y3+y4),

所以a2(y1+y2)=4b2(x1+x2),同理有a2(y3+y4)=4b2(x3+x4),