刍议“爪”形图在平面向量共线问题中的处理策略

浙江 王 凯

一、问题缘起

人民教育出版社2019版普通高中教科书数学必修第二册“平面向量及其应用”第6.4.1节“平面几何中的向量方法”结束后给出了下面这个练习.

【练习】如图，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线交分别直线AB，AC于不同的两点M，N.设AB=mAM，AC=nAN，求m+n的值.

根据本节的教学内容，此题的解决思路如下.

这个习题和探究给我们揭示了平面中若有三点共线的一种向量表达式.

这个结论可以作为我们判断平面中三点共线的一个重要工具，由于它的图形非常类似鸡的三个主爪，教学中也常常称其为“爪”形图.

借助这个结论，可以让向量问题的线性关系在代数的“算”和几何的“形”之间进行相互切换，让我们更深刻的理解数学内容(向量代数式的几何背景)，当然也可以较便捷的处理一些复杂问题.下面通过一些具体例子来加以说明.

二、以数表形，化繁为简

在平面向量中，利用平面向量的基本定理将向量进行分解是分析题干理解题意的首要环节，不过有些条件下的分解会对学生数形互换有较高的要求，但我们可以借助“爪”形图的代数结构，更快捷的实现以“数”表“形”.

三、以形辅数，一目了然

( )

A.(0,1) B.(1,+∞)

C.(-∞,-1) D.(-1,0)

这个问题基于几何的“形”，辅以代数结构的转换，让问题一目了然，一望而解.

这个问题的普遍解答方式是通过建系，将ax+by变成一个三角表达式，最后利用三角函数的相关知识来求范围和最值.

而我们可以利用“爪”形图以形辅数，将问题的结果看出来.

在题干的条件下，根据例4的处理方法可知点P落在以点D为圆心，1为半径的圆内(△ABC的外侧部分，如图所示).

例4和例5的解答过程让我们感受到，可以把向量看作不依赖于坐标系的解析几何，它具备解析几何的种种优点，却不被解析几何的种种形式所局限.向量的几何运算，不仅仅是数的运算，还包括图形的运算；向量解题在一定程度上摆脱了辅助线，这可能正是莱布尼茨所设想的几何：同时具有分析和综合的优点，而不像欧几里得几何与笛卡尔几何那样分别只具有综合的或分析的特点.

四、数形结合，如虎添翼

( )

C.8 D.16

解决这道考题的基本思路是先通过代数结构的变换，找到“爪”形图的代数结构，接下来再利用相关结论解决问题.例6和例7的本质是通过代数变换，实现图形的相似变换，把不符合“爪”形图的图形变回到“爪”形图，把问题变回到本源的结构.

五、写在最后

在数学解题教学中，应该引导学生寻求简洁直观的解题方法，从上面给出的几个例子来看，基于“爪”形图的解题方法朝着这个目标在前进.