例析高考新题型的命制与解答策略——以2020年新高考Ⅰ卷(供山东省使用)多选题为例

江苏 曾小娟

随着《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》的颁布，高考的改革也不断深入.为了能更好地考查学生的数学素养，高考试卷的新题型也不断涌现，比如2020年新高考Ⅰ卷(供山东省使用)中就出现了多项选择题.多项选择题，相对于单项选择题而言，考查容量大、涉及知识点多、解题思路广、数学思想丰富，又因多级得分模式能对考生多层次区分，所以多选题对能力的考查更加深入，要求学生具备完整、细致、全面的思维品质；多项选择题出现在高考题中，可以增强数学考试的选拔功能，实现考试目标，但目前市面上模拟卷中出现的一些多项选择题的命制很牵强，比如以下两道试题：

(1)若圆(x-a)2+(y-a)2=1(a>0)上总存在点到原点的距离为3，则实数a的取值范围不可能是

( )

(2)下列说法正确的是

( )

A.直线x-y-2=0与两坐标轴围成的三角形的面积是2

B.点(0,2)关于直线y=x+1的对称点为(1,1)

C.在△ABC中，若A

很显然第一题就是对现有的单项选择题直接进行否定而得到,而第二题就是把一些知识点凑在一起、把几个不相关的真命题和假命题放在一起，类似拼盘式得到大杂烩型的试题.那么优秀的多选题究竟该如何命制呢？引起了笔者进一步思考.

多项选择题应该是数学核心素养的集中展示，可以是基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验等四基的体现，也可以是发现问题、提出问题、分析问题、解决问题等四能的考查；可以直接考查学生的基础知识、基本技能的掌握情况，也可以考查基本思想和基本活动经验，测评学生分析问题和解决问题的能力，还可以设计新运算、新概念等新情境问题，测评学生发现问题和提出问题的能力.笔者认为多项选择题的每一个选项之间应该具有知识的内在联系或者思想方法的相通性.笔者通过研究2020年新高考Ⅰ卷(供山东省使用)的多项选择题及北京、浙江、天津等高考卷中的多空型填空题，同时研究了历年物理等学科高考试题多项选择题的命制方式，基于主干知识、基本思想方法、学生素养等三个方向，结合2020年新高考Ⅰ卷(供山东省使用)谈谈多项选择题的命制方式及相应的解题策略.

1.命制方式

1.1基于主干知识命制试题

高中阶段，数学的主干知识主要有预备知识(集合、简易逻辑、不等式等)、函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动等内容，基于主干知识命制多项选择题就是基于以上几块主干知识点发散出多个选项进行命制，可以分为相同知识点的命制和不同知识点的命制.相同知识点的命制是基于主干知识命制多项选择题最基本的方式，而不同知识点的命制需考虑其内在联系，这种命制方式恰好体现了高考在知识点的交汇处命题的习惯，这种综合性也恰好能考查考生的数学思维能力及灵活运用所学知识解决问题的能力.

【例1】(2020·新高考Ⅰ卷(供山东省使用)·11)已知a>0，b>0，且a+b=1，则

( )

评注：本题是基于不等式这块的主干知识，结合了基本不等式、指数函数及对数函数的单调性，发散出多个选项进行命制，可以根据a+b=1，结合基本不等式及二次函数知识进行求解，主要考查不等式的性质，考查数学运算的核心素养.

命制题1：已知函数f(x)=2x，g(x)=2x-8，则下列结论正确的是

( ).

A.若h(x)=f(x)g(x)，则函数h(x)的最小值为16

B.若h(x)=f(x)|g(x)|，则函数h(x)的值域为R

C.若h(x)=|f(x)|-|g(x)|，则函数h(x)有且仅有一个零点

D.若h(x)=|f(x)|-|g(x)|，则|h(x)|≤16恒成立

评注：本题是笔者所在学校的一次周测试题，答案选BCD，是基于函数知识，以f(x)=2x，g(x)=2x-8为条件，涵盖4个不同的函数的属性(如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期、零点等)，很好地考查了函数的性质，考查了学生数学运算、逻辑推理的核心素养.

1.2基于数学思想方法命制试题

数学基本思想方法主要有数形结合、化归与转化、分类讨论、方程、建模、类比、归纳推理、极限等.基于思想方法命制试题就是基于以上重要的数学思想或解决一类问题的通性通法发散出多个选项进行命制，可以分为基于重要数学思想方法的命制和基于研究问题的一般方法的命制.基于重要的数学思想方法是基于数学思想方法命制多选题最基本的方式，而研究类似问题的相同的思想方法的命制，需考虑研究新问题与研究老问题之间思想方法的内在联系，这种命制方式恰好体现了高考考查学生数学思维能力及灵活运用所学知识解决问题的能力.

【例2】(2020·新高考Ⅰ卷(供山东省使用)·10)如图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=

( )

【例3】(2020·新高考Ⅰ卷(供山东省使用)·9)已知曲线C:mx2+ny2=1.

( )

A.若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

D.若m=0，n>0，则C是两条直线

评注：本题考查研究曲线的一般方法及曲线方程的特征，侧重考查数学运算的核心素养；熟知常见曲线方程的特点及其之间的区别是求解本题的关键，可以结合选项逐项分析进行求解.

( )

A.曲线C关于坐标原点对称

B.曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点)

C.曲线C上任意一点到原点的距离的最小值为2

D.曲线C所围成的区域的面积小于4

1.3基于数学素养命制试题

高中数学的解题首要任务是让学生的解题能力得到培养，课标对培养学生能力的要求，由开始的“四基”到“四能”，演变到现在的“六大核心素养”；多项选择题应该是数学六大核心素养的集中展示，不仅可以考查“四基”，更能很好地考查“四能”等，基于数学素养命制试题就是以开放性问题、探索性问题、新定义性问题出现，考查学生的数学六大核心素养.学生通过对此类问题的解决，学会用数学的眼光看客观世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界.

( )

A.若n=1，则H(X)=0

B.若n=2，则H(X)随着p1的增大而增大

D.若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为1,2,…,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m)，则H(X)≤H(Y)

解析：对于A选项，若n=1，则i=1,p1=1，所以H(X)=-(1×log21)=0，所以A选项正确.对于B选项，若n=2，则i=1,2，p2=1-p1，

所以H(X)=-[p1·log2p1+(1-p1)·log2(1-p1)]，

则H(X)随着n的增大而增大，所以C选项正确.

对于D选项，若n=2m，随机变量Y的所有可能的取值为1,2,…,m，且P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,…,m).

所以H(X)>H(Y)，所以D选项错误，故选AC.

点评：本题考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查学生分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，可以结合选项逐项分析进行求解，对于A选项，求得H(X)，由此判断出A选项的正确性；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出H(X)，利用对数函数的性质可判断出C选项的正确性；对于D选项，计算出H(X),H(Y)，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项的正确性.

2.解答策略