编制高中数学多项选择题的思考

2021-04-15江苏

教学考试(高考数学) 2021年1期

江苏严鹏尤裕

《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》在课程性质与基本理念一节的阐述中，提到：把握数学本质，启发思考，改进教学.在课程目标中说学生要必须获得进一步学习及发展的“四基”，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力(“四能”).

江苏省作为新高考实施的省份，数学试卷的命制有了新的调整，加入了多项选择题这个试题类型.多项选择题，又称多选题，新高考中数学的多选题是一种正确选项数目多于1个少于4个的选择题题型，多选题典型的分值为5分.考生选出一个或几个正确答案，但没有选出全部的，得3分；选错一个得0分；全部选对得5分.

多选题是选择题的一种，所以解题时要认真审题，忌讳题目没有读清楚，就开始埋头苦算，结果不但浪费了大量的时间，还会选择选项中的干扰项导致做错，结果事倍功半.故解题前一定要把题目读透，通过题目的条件迅速联想到涉及的概念、公式、定理以及常见的思想方法.发现题目中的隐含条件，理解题目的真正含义.

另外，做选择题特别要注意解题方法.选择题和填空题、解答题不一样，正确选项一定在给出的选项中，所以做题时除了按照解答题的思路直接来求解以外，也可以使用一些其他的方法，比如特殊值检验、选项代入法、排除法、数形结合法等等.

多项选择题有效地考查了学生的“四能”.笔者认为，教师可以从以下几个方面去考虑多选题的编制过程，进一步改进教学，进而促进学生“四能”的提高.

1.将单选题中选择正确的选项，变成选错误的选项

这样的编制题目是比较容易操作的，但是对学生的能力训练不能达到预期目标.这类多选题本质上来说还是单选题.学生不能感受到该种题目作为多选、单选、填空题之间的差异.

例1.原题：(2019·全国卷Ⅰ理·9)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0，a5=5，则

( )

A.an=2n-5 B.an=3n-10

学生不难发现，答案应该选择A.本题容易改编为下题：

改编：记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0，a5=5，则下列选项中不成立的是

( )

A.an=2n-5 B.an=3n-10

这类问题的解题策略，可以用直接求解法求解.

2.将求范围的题目，改成求具体值的多项选择题

例2.原题：(2017·全国卷Ⅰ理·5)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减，且为奇函数.若f(1)=-1，则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是

( )

A.[-2,2] B.[-1,1]

C.[0,4] D.[1,3]

本题中学生常用的解题方法是直接法，利用函数的单调性得到不等式-1≤x-2≤1，然后解出相应的x的取值范围.直接法比较有效，不过本题用验证法会更快，由题干f(1)=-1知，f(x-2)中令x=3，得到f(3-2)=f(1)=-1∈[-1,1]成立，验证出x=3应该在要求的取值范围内，故排除A，B.再令x=4，f(4-2)=f(2)

改编：函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减，且为奇函数.若f(1)=-1，则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值可能是

( )

A.0 B.1

C.2 D.3

原题是给出函数性质，通过不等式的计算得到变量的范围.改编后变成满足的变量值有哪些.这类问题的解题策略，可以使用直观分析法中的估值法来求解.

3.解题策略问题条件的选择

本类题目的设置一般是立足于开放性条件的变化，一个问题给出不同的条件会有多种解法.例如解三角形中的问题.

题目出处：2012年6月第4版苏教版必修五：P14例题1(2)；P15例题4；P18例题1；P20练习4.赋予背景后，将这四个选项整合得到改编题目如下：

例3.改编：(2020·崇实女中高一期中考试·10)学校的校园是非常美丽的.校园内，百年古树相交映，草色遥看近却无.走在学校的林荫大道上，享受“沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”的感觉.可是，细心的同学会发现，林荫大道不是直线构成的，是由两个路宽一样的道路拼接而成，有一个拐角.其中，第一段路面是和校门口所在直线垂直的.如图1所示，抽象出数学模型如图2所示，其中O，E为校门口左右两点，A，C为道路衔接处两点.

图1

图2

怎样计算这个拐角OAB的角度或它的某个三角函数值呢？测量小组甲、乙、丙、丁四位同学给出了不同的测量方法，请问哪些同学给出的策略是能完成目标的？

( )

A.甲同学的策略是：在第二段林荫大道路边任取一定点B，沿校门口O点出发，匀速走完路程OA,AB,BO，分别记录走完OA,AB,BO所用的时间为t1，t2，t3.经过计算，就可以算出这个拐角OAB的余弦值.

B.乙同学的策略是：用尺量出林荫大道的路宽和拐角处的两个点AC的距离.经过计算，就可以算出这个拐角OAB的余弦值.

C.丙同学的策略是：用尺量出校门宽度，在校门E处测量出观察点O和点B的视角OEB.经过计算，就可以算出这个拐角OAB的余弦值.

D.丁同学的策略是：在第二段林荫大道路边任取一定点B.自己眼睛到地面的距离为1.6 m，站在校门口O处，测量出看点A的俯视角和看点B的俯视角.在门口点E处，再测量出看点A的俯视角和看点B的俯视角.量出校门的宽度.经过计算，就可以算出这个拐角OAB的余弦值.

选项A改编于P14例题1(2)，通过时间来求出三边的长度，利用余弦定理计算得到拐角OAB的余弦值.选项B改编于P15例题4，如果过点C作对面路的垂线，垂足可能在OA上，也可能在AB上，也可能正好落在A处，所以分三种情况讨论.由于AC已知，故可以计算得到拐角OAB的余弦值.选项C改编于P18例题1，由于缺少一个角度或者长度，所以无法算出拐角OAB的余弦值.选项D改编于P20练习4和P18例题1,将原题中的山高变成了眼睛到地面的距离，利用俯视角得到边长，可以算出这个拐角OAB的余弦值.

这类问题的解题策略，可以使用推理分析法中的逻辑分析法和特征分析法.

4.开放性问题的研究

一般传统数学题目，它的答案唯一.而开放性数学由于题目中的条件不够完备，需要自己设定分类讨论从而解出不止一解的答案.这类题目往往可以根据一个恒等式来隐藏部分条件进行编制.