概率论与数理统计课程线上与线下教学设计探讨

【摘要】本文以超星系统为平台，给出了《概率论与数理统计》课程中师生以高效信息交流为目的的线上线下教学设计，充分利用现代化信息技术手段及传统教学和线上自主学习的学习优势，尊重学生的主体学习地位，同时添加课程思政元素，在传授学生知识的同时，培养学生科学的思维方法及正确的价值观念。

【关键词】线上线下教学  课程思政  概率思维与方法

【中图分类号】G641   【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2021）25-0136-03

《概率论与数理统计》课程是研究随机现象统计规律性的数学学科，是近代经济、管理、金融等领域定量化研究的重要数学工具，是全国各高等院校大部分本科专业的公共基础必修课。它是《统计学》《计量经济学》等专业课程的先行课程，为后续专业课程的学习奠定基础。通过本课程学习，使学生掌握概率与数理统计的基本概念、基本理论和基本方法，培养学生运用概率统计方法分析和解决实际问题的能力。

随着信息时代的发展，除了对学生知识的传授外，教师还要注重对学生思想政治和价值方向的引领。让学生初步掌握概率论的基本知识、基本思想和方法的同时培养学生运用知识分析和解决实际问题的能力。同时，引领学生注重理论与实践相结合，培养其科学精神、家国情怀以及正确的人生观、价值观和世界观。

受疫情的影响，大部分高校的教学实现了线上线下教学的结合，线上线下多渠道的学习式也是大数据时代学习的必然趋势和要求。随着信息时代的发展，丰富的网络课程资源及各种便利的媒介使学习打破了时空的限制，学生的学习方式变得便捷、灵活和多样。学生学习方式与渠道的改变，对教师的讲授方式也提出新要求。若僅在线教学，教师对学生学习状态及效果依赖于超星平台中学习数据，而往往学习通里学生的学习数据存在延迟，不利于教师对教学节奏的把控，线上教学也让师生失去了面对面交流的机会，对于学习不够主动的学生而言，老师难以监管和把控。线上与线下教学的结合是在充分利用信息化的教学资源下教师能动地发挥传统课堂的优势实现高效的教学模式。学生既可以利用网络资源“处处学、时时学，反复学”，教师亦可采用启发式、案例式等多种教学方式，在课堂上充分讲解知识的难点、重点，师生实时互动。

一、教学设计理念和目标

教学设计的理念和目标是以学生为中心，充分利用传统教学和线上自主学习的学习优势，实现教师的引导作用和学生的主体学习地位，以超星系统为平台，利用线上线下混合教学模式，实现教师传授与学生学习的高效信息反馈教学。主要体现在以下几个方面：一是教师利用超星平台上学生的学习数据，快速及时了解学生学习状态，学习问题和学习进度;二是教师可根据已有的信息更好地进行教学设计，充分地调动学生学习的能动性，让学生真正地、能动地参与到课堂中，提升学生课堂学习的获得感;三是教师根据学生的作业、测验等快速地进行教学反思和补充，及时针对性地回答学生学习中的疑难点。

二、实现高效信息反馈的实现途径

（一）按照大纲要求，将知识分层，明晰课前预习任务、目标，通过问卷或测验有效地收集学生学习中的困惑和难点。

根据课程大纲要求及知识的难易程度，可将教学内容划分为若干等级，不同等级的知识点采用不同的教学模式。例如对于基本的概念及简单知识点，可以通过线上微视频讲解推送给学生课前预习，并通过设置合理的测验检验学生的学习情况，同时在平台中添加文档材料如思维导图、实际案例来辅助学生加深对基本定义的理解及应用思考;对于重难点的知识点除了在课前推送学习微视频外，可在课堂上重点讲解，分组讨论互动及练习巩固。

（二）充分利用信息技术，让课堂知识讲授、课堂互动变得高效。

在课堂讲授中，可借助各种信息技术手段，将教师的板书同步传输到大屏幕上，保证每一位学生都能及时了解教师的讲课内容，同时学生课堂上的答题参与情况讲师也能及时获取，了解学生学习的速度和掌握情况。教师在课堂上发挥传统教学的优势，利用案例教学、启发式教学等激励学生，充分调动学生的主动性、能动性和创造性，增加学生学习的参与感与获得感。

（三）通过课程思政，提升课堂文化底蕴，提升学生对课程学习的认同感、价值感。

课程思政要实现知识传授、价值塑造和能力培养的有机统一[1]，课程思政是课堂教学的延展与提升，增加课堂的文化底蕴和趣味性，让学生在接受知识的同时受到科学的价值观的引领和优秀的文化熏陶，进而树立正确的价值观，培养崇尚科学、顽强拼搏、勇于创新、不断进取的等优良品德。

例如在讲解数学期望概念时，可以通过对“分赌本问题”案例[2]的讲解，让学生体会数学家严谨的科学态度，缜密的数学思维;为加深学生对贝叶斯公式的理解，可讲解“狼来了”故事生动形象地让学生感受贝叶斯公式在生活中的应用，进而明白做人应当诚实守信;设伯努利试验[2-4]中事件发生A的概率p，独立重复的试验n次，记随机变量X为n次试验中事件A发生的次数，则可知X～B（n，p），且P（X=k）=C■■pk（1-p）■，k=0.01，……，n。若随机事件A表示某人勤奋努力做事，获得成功，P（A）=0.01，则由计算可知，当n=400，即某人重复努力400次时，他成功的概率为0.98，这个实例很好地印证生活中的俗语如“锲而不舍，金石可镂”“不积跬步无以至千里”“世上无难事，只怕有心人”;若A表示某条谣言被人相信，P（A）=0.01，亦由上述结果可知“谣言能伤人”的事实，告诫学生学会用知识武装自己的头脑，不要做人云亦云的传谣者。

（四）注重概率思想和方法的学习和应用，注重总结和反思，拓展知识的深度，在实践中检验和学习概率思想方法。

概率论与数理统计的方法可以认识生活中一些问题的“必然性和偶然性”。在课堂讲解中可通过生活中的实践案例、数学文化，名人轶事等多种途径讲解概率论与数理统计中思想方法的应用，并鼓励学生参与社会实践并从中发现概率知识的应用。如小概率原理作为统计推断理论中的一个重要而又基本的原理，被广泛应于日常生活中的各个方面。

同时，鼓励学生在作业中一题多解，注重概率方法的总结，锻炼学生不同的思维方式，内化、总结和反思所学知识，建立知识体系，潜移默化地培养学生科学的思维方式。

三、线上线下教学设计

（一）课前线上准备

1.教师根据教学大纲要求将课程内容划分成为若干等级，偏理论部分（基本概念、公式等）可在超星平台上按知识点上传制作微视频，并插入适量简单的练习分发给学生，并制定明确的预习任务和目标。理论知识的应用部分可通过选择恰当的案例或设置问题启发学生预习。让学生在课前完成课堂上、课程中基本知识的预习，对基本原理的应有简单的了解。2.教师在课程开始前完成学生学习小组的分组，在课程开始前在超星平台完成课程信息化建设，按周次将每次课的案例资料及具体的学习任务以文档形式发布在超星平台，最后可通过讨论、简单测验，问卷等方式收集和了解学生的自主学习情况。

（二）线下课堂活动的组织

1.教师根据课前了解学生的学习情况制定教学方案。对于简单易懂的基本概念可简单重复，重点讲解学生中有代表性或者共性问题，并帮助和引导学生对知识点的梳理和应用。2.利用线上平台组织简单、针对性的练习，通过学生互评、个人展示与团队协作等方式加深学生对重难点知识的学习和理解。3.授课教师依据重点、难点、疑点，设计一系列“问题链”式的问题，用“问题链”深化课堂教学。通过“问题链”逐渐引导学生进一步思考，使其认识到所学内容的本质和核心思想。4. 教师结合学生知识掌握情况安排适量的任务。各团队协调合作完成任务，并对知识进行总结、体悟、反思。针对学生的难点，教师有针对性地进行答疑解惑。5.最后，教师系统化梳理整节课内容，对课程进行总结。

（三）课后线上测验、巩固和提升

1.布置适量的作业或线上测验巩固学习。2.进一步利用网络平台，吸收整合精华，扩充资源数量，拓展实践资源涵盖领域，尝试开发设计课程讨论区，为学生搭建更宽广、更便捷的立体化学习资源体系。

四、以“条件概率”的教学为例，线上线下教学展示

（一）课前将条件概率的教学案例资料、知识点讲解视频发布在超星平台，明确学生预习目标，通过设置讨论、简单测验等方式了解学生的自主学习情况。

案例：一袋中装有10个球， 其中3个黑球， 7个白球， 先后两次从袋中各取一球（不放回），问：

（1）已知第一次取出的是黑球， 求第二次取出的仍是黑球的概率;（2）已知第二次取出的是黑球， 求第一次取出的也是黑球的概率。

问题：（1）如何用条件概率来描述案例中所求的问题？（2）条件概率的定义是什么？（3）如何求解上述问题？

预习目标：通过预习明确条件概率的定义和计算方法，并利用定义和方法思考解决案例中问题。

（二）根据超星平台学生的学习情况设计课堂讲解，针对性地练习与总结

在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息（条件）下求事件的概率， 如在事件A发生的条件下，求事件B发生的条件概率，记作P（B|A）.

条件概率的定义：  设A，B是两个事件， 且P（A）>0，则称P（B|A）=为在事件A发生的条件下，事件B的条件概率。

说明：1.相应地，把P（B）称为无条件概率。一般地，P（B|A）≠P（B）。2.若事件A已发生，则为B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点，即此点必属于AB（可借助韦恩图），条件概率的实质是在已有的信息的限定下，考虑的样本点的范围缩小。

案例的解答：记Ai为事件“第i次取到的是黑球”（i=1，2）.

（1） 在已知A1发生， 即第一次取到的是黑球的条件下， 第二次取球就在剩下的2个黑球、7个白球共9個球中任取一个， 根据古典概率计算， 取到黑球的概率为2/9， 即有P（A2|A1）=2/9。（2）在已知A2发生， 即第二次取到的是黑球的条件下， 求第一次取到黑球的概率， 但第一次取球发生在第二次取球之前， 故问题的结构不像（1）那么直观。

我们可按定义计算P（A1|A2）更方便一些。

小结：计算条件概率有两种方法

a） 在缩减的样本空间A中求事件B的概率，就得到P（B|A）;b）在样本空间s中，先求事件P（AB）和P（A），再按定义计算P（B|A）。

教师在讲解时，根据学生学习情况，通过案例的讲解，帮助学生理顺学习中的难点。其次，选取好的方法不仅可以简化学习，更是对科学思维的训练，鼓励学生注重方法的学习和选取。

（三）设置适量的练习巩固学习，在线布置适量的学习资料拓展学生视野

练习：用条件概率计算的两种方法求解：投掷两枚骰子，已知两颗骰子的点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率。

五、小结

线上与线下相结合的教学设计，在尊重学生自主学习的同时，让教师在教学中充分发挥教学所长，在了解学生学习的基础上，有根据、有计划的高效组织教学。“问渠那得清如许，为有源头活水来”，通过线上线下教学结合高效信息反馈教学设计，教师在引导学生学习的同时，实现教学动态良序循环，实现教师教学相长。

参考文献：

[1]教育部关于印发《高等学校课程思政建设指导纲要》的通知[N].教育部网站，2020-05-28.

[2]吴传生.《经济数学：概率论与数理统计》（第四版），高等教育出版社，2020年12月出版.

[3]车荣强.《概率论与数理统计》，复旦大学出版社，2015年8月出版，第二版.

[4]茆诗松.《概率论与数理统计》（第三版），高等教育出版社，2020年11月出版.

作者简介：

王星星（1989年1月-），女，讲师，博士，现主要从事凸几何分析理论研究。