数学之美——浅谈数学模型

赵中鑫

（山东省济南市章丘双语学校，山东 济南 250200）

1 什么是数学模型

数学模型，一般是指用数学语言、符号或图形等形式来刻画，描述反映特定的问题或具体事物之间的关系的数学结构。黄仁宇先生曾在《万历十五年中》这样写道：“公元1587年，是平平淡淡的一年，这平平淡淡的一年中发生了许多事件。这些事件，表面看来呈似末端小节，但事实上却是以前发生大事的症结，也是将在以后掀起波澜的机缘。其间的关系因果恰为历史的重点。”数学的综合题，从历史角度看，因果在其中，另有平时的末端小节，才能引起最后的波澜。因此建立数学模型是必要的，数学模型的一般化、典型化和精确化的特点，正是综合题的症结。

2 数学模型的意义

2.1 对于美的感受

某国的一堂公开课上的题目是在一块矩形场地上筑一花坛，使其面积为场地的一半。上海进才中学提倡用二次曲线画“米老鼠”或其他画作，发挥学生用几何曲线创作美术的想象力。几何，往往给人以美的感受，而几何中的模型，更是花之牡丹，令人心旷神怡。

2.2 对于数学学科能力的作用

《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010—2020年）》提出的四大战略主题之一，即为“坚持能力为重”，指出“提高学生的学习能力、实践能力、创新能力”。数学学科能力是数学学科发展中经长期积淀而形成的，蕴含于数学学科本质中，它脱离不了具体数学知识和数学活动，数学学科能力存在于数学活动之中，而数学学科主要活动包括：数学计算，数学证明，数学建模。

3 数学模型的来源

1）从同类型的题目中总结出通法通解，总结出模型，模型的名称根据模型的特点进行命名。例如手拉手模型，瓜豆原理，蝴蝶模 型等。

（1）手拉手模型。

两个顶角相等且共顶点的等腰三角形构成等腰三角形

模型 手拉手

（2）瓜豆原理。

一般情况下，在某些多动点问题中，动点之间往往存在着某种关联性，这就导致了其运动具有关联性。我们依然可以从图形变换的角度去分析两个动点之间的关联性：从动点从动点Q随着主动点P的运动而运动、确定而确定.这里定点A可视为旋转中心，由∠A=90°及AP=AQ可以将点Q看成是由主动点P以定点A为旋转中心，按逆时针方向旋转90°而来。

2）从历史背景和历史故事中总结出符合初中阶段的模型，例如弦图模型，费马点，胡不归模型，婆罗摩羯多模型

（1）弦图模型。

“弦图”是由八个形状相同、大小相等的直角三角形，拼成的四个长方形而围成的中空也为正方形的正方形。早在一千七百多年前，三国时期的吴国数学家赵爽，在为我国数学巨著《周髀算经》作注释时，就利用它对勾股定理作出了严格而又简捷的证明。

（2）费马点。

费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为 托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。

（3）胡不归模型。

话说，从前有一小伙子外出务工，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．小伙子略懂数学常识，考虑到“两点之间线段最短”的知识，就走布满沙石的路直线路径，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”这个问题引起了人们的思索，小伙子能否节省路上时间提前到家？如果可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是流传千百年的“胡不归问题．

（4）婆罗魔羯多模型。

若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC⊥BD，垂足为M。EF⊥BC，且M在EF上。那么F是AD的中点。

推广过圆内接四边形两对角线交点作任一边的垂线，必过以其对边为一边，以交点为顶点的三角形的外心

3）由图形的性质总结出的模型，例如角平分线模型，中点四大模型，造桥选址模型，旋转最值模型

4 至善至美的人生态度

数学总是做到至善至美，完美无缺，这是数学最高的品质和最高的精神境界，从大的方面说，欧氏几何公理体系的构建，数学家通过300余年的努力来证明费马定理，陈景润对哥德巴赫猜想的苦苦追求，都是追求数学“完美”的典型事例。从小的方面说，二次函数方程的曲线，既有曲线的优美，又有数形结合的风采。有的模型我用数学软件做出来之后，通过展示他们的变化过程，学生们都表示非常的震撼。数学的美学风格和艺术风格是一脉相承的，正如埃舍尔的画，正是数学与美学的有机统一，统一中又透露着哲学思想。把数学美真正落实到课堂上还有许多工作要做，今后我要让更多的孩子体会数学美，从模型中让同学们回味自己美的体验，表达自己对数学美的感受，弘扬数学美的价值。