求解一类投资组合问题的鲁棒镜像下降SA方法

王 炜, 王丹丹, 李三硕

(辽宁师范大学 数学学院,辽宁 大连 116029)

随着金融投资的不断发展,投资组合问题逐渐走进人们的视线中.在确定的投资组合问题中,如何在风险范围确定的情况下进行项目选择,从而达到项目收益的最大化,已经成为学者们普遍关注的问题.Markowitz(1952)[1]提出了均值-方差模型,将投资组合的风险以各个资产间的方差和的形式表示了出来.

由于很多实际的投资项目具有不确定性因素,例如,股票市场中不同的时期,在承受同样的风险下,所获得的收益是不同的.为了处理好投资组合问题中的不确定性,Ben-Tal和Nemirovski[2](1999)使用分布鲁棒优化方法求解投资组合问题.Goldfarb等人[3](2003)利用椭圆的不确定性结构描述了模型的不确定性,并用二阶锥规划的方法求解了这个问题.处理随机优化中不确定性的方法常见的有如下3种：第一种是把含有随机变量的函数取期望,将其转化为一个确定的问题求解；第二种是在概率约束下考虑优化问题,可以在置信区间内,将原问题转化为含有概率约束或者含有机会约束的优化问题；第三种将问题转化为两阶段或多阶段问题.将项目收益的期望作为目标函数,在每个项目的风险系数和总的风险范围都固定的情况下,对资产进行分配以实现收益最大化.为了确定所得最优值与实际最优值的误差界,以便确定最差情况下的误差,采取鲁棒镜像下降SA方法[4]求解这个问题,使得所得结果有更好的稳健性.鲁棒镜像下降SA方法是一种随机次梯度方法,是在经典随机逼近方法上进行改良的,改良后的鲁棒镜像下降SA方法适用范围更为广泛.

1 问题描述

(P)

其中,

X⊂n是一个非空有界闭凸集,ξ的概率分布P在支撑集Ξ⊂d上.

(1)

其中,f:X→,且

若ξ服从连续分布,那么问题(1)中的期望可以采用如下形式求解：

(2)

然而,当变量的维数偏高时,上述积分不能被高精度的计算.

若ξ服从离散分布,设ξ只取有限个值ξ1,ξ2,…,ξd,且相应的概率分别为P(ξ1),P(ξ2),…,P(ξd).那么问题(1)中的期望可以采用如下形式求解：

(3)

然而,随机变量概率分布的不确定性为计算带来了难度.所以本文采用鲁棒镜像下降SA方法求解这个问题.

2 鲁棒镜像下降SA算法结构

对于问题(1),给出如下假设条件：

(1)假设给定每个输入点(x,ξ)∈X×Ξ,都可以确定F(x,ξ)的一个随机次梯度,即存在G(x,ξ)∈∂xF(x,ξ),其中,∂xF(x,ξ)是函数F(x,ξ)关于x的次微分.并且g(x)=E[G(x,ξ)]∈∂f(x),其中,∂f(x)是f(x)的次微分.

(2)假设可以产生一些独立同分布的样本作为ξ的实现.

取关于‖·‖1的距离生成函数

(4)

集合X0={x∈X:∂ω(x)≠∅}={x∈X:xi>0,i=1,2,…,n}.

由于ω(x)在X上是连续的凸函数,所以X0是一个凸集.在X0上,ω(x)是连续可微的强凸函数,且模是ρ,则有

(5)

其中,z=(z1,z2,…,zn)Τ∈X0,x=(x1,x2,…,xn)Τ∈X0.式(5)等价于

(6)

定义1(邻近函数)形如下述形式的X0×X→+的函数:

(7)

称为邻近函数,其中,x∈X0,z=(z1,…,zn)∈X.

定义2(邻近映射)形如n→X0的映射

Px(y)=argminz∈X[yΤ(z-x)+V(x,z)]

(8)

称为邻近映射,其中,y=(y1,y2,…,yn)Τ∈n.

t次迭代之后的点记为xt,得到鲁棒镜像下降SA算法的递推公式为

xt=Pxt-1(γt-1G(xt-1,ξt-1)),

(9)

其中,γt-1表示第t-1次迭代的步长.

(10)

表示从x1到xj的凸组合.

3 算法步骤

当使用鲁棒镜像下降SA方法解决问题(1)时,可按照下述步骤求解：

①∀(x,ξ)∈X×Ξ,确定F(x,ξ)的随机次梯度G(x,ξ),并通过

计算出常数M的值;

②通过(x′-x)Τ(ω(x′)-计算出ρ的值;

xt=argminz∈X[γtG(xt-1,ξt-1)T(z-xt-1)+V(xt-1,z)]

计算xt,若t

4 误差界及收敛性分析

为了分析鲁棒镜像下降SA算法在求解问题(1)时的收敛性,首先需要如下引理.

引理[4]对每个u∈X,x∈X0,y∈n,有

(11)

定理在使用鲁棒镜像下降SA算法求解问题(1)时,若满足以下条件：

证由引理中变量的任意性,可令x=xt,y=γtG(xt,ξt),u=x*,x*为最优解,t=1,2,…,j,代入式(11),有

(12)

令Δt=G(xt,ξt)-g(xt),有

(13)

当t=1,2,…,j,将式(13)分别相加,得,

(14)

由于ω(x)的凸性,所以V(xt+1,x*)=[ω(x*)-ω(xt+1)]-ω(xt+1)Τ(x*-xt+1)≥0,进而式(14)变为

(15)

f(xt)-f(x*)=(xt-x*)Τg(xt).

(16)

当t=1,2,…,j,将式(16)分别相加,得

(17)

(18)

由于

(19)

式(18)变为

(20)

结合式(17)和式(15)可得

(21)

maxz∈XV(x1,z)=maxz∈X[ω(z)-ω(x)]≤
maxz∈Xω(z)-minz∈Xω(z)=Dω,X.

(22)

引入拉格朗日函数[5]

(23)

其中,λ1,λ2≥0.则KKT条件可以表述为

(24)

接下来求在集合X上ω(x)的最大值.

bt=btxt+bt(1-xt)≤b1x1+b2x2+…+bnxn,

(25)

Dω,X=maxz∈Xω(z)-minz∈Xω(z)=lnn.

那么式(21)变为

(26)

由于E[Δt]=Eξ1,ξ2,…,ξt-1(E[Δt|ξ1,ξ2,…,ξt-1])=0,对式(26)两边取期望,可得

(27)

当迭代步数是N时,取变化的步长

(28)

其中,常数θ>0.

将式(28)代入式(27)可得

(29)