一道中考题的五种解法

吴俊明　王冬苟

例 已知二次函数y=x２+2ax-2b+1和y=-x２+（a-3）x+b２-1的图象都经过x轴上两个不同的点M，N.求a，b的值.

解法１：设M（x１，0），N（x２，0），则x１，x２是方程x２+2ax-2b+1=0的两个根，也是方程-x２+（a-3）x+b２-1=0的两个根.因此有

x１+x２=-2a，x１x２=-2b+1；x１+x２=a-3，x１x２=1-b２.

∴ －２ａ＝ａ－３，－２b＋１＝１－b２.

解得a=1，b=2或a=1，b=０.

当a=1，b=0时，不合题意，舍去，因此a=1，b=2.

解法２：依题意，方程x２+2ax-2b+1=0与方程-x２+（a-3）ｘ+b２-1=0有两个相同的实根，因此两个方程中对应项的系数对应成比例，即

解得a=1，b＝2或a=1，b=0． 其中a=1，b＝０不合题意，舍去．

解法３：因为两抛物线开口的大小相同，方向相反.又经过x轴上两个不同的点，所以这两个抛物线关于x轴对称.它的顶点必关于x轴对称．这样就有

解得a=1，b=2或a=1，b=0. 其中a=1，b＝０不合题意，舍去．

解法４：抓住两抛物线的顶点关于x轴对称和两抛物线与y轴的交点关于x轴对称，得

解得a=1，b=2或a=1，b=0. 其中a=1，b＝０不合题意，舍去．

解法５:在抛物线y=x２+2ax-2b+1上任取两点，那么这两点关于x轴的对称点必在另一条抛物线y=-x２+（a-3）x+b２-1上.

取x=1，得y=2a-2b+2，得点A（1，2a-2b+2）.

取x=1，得y=a+b２-5，得点A′（1，a+b２-5）.

取x=-1，得y=-2a-2b+2，得点B（-1，-2a-2b+2）.

取x=-1，得y=-a+b２+1，得点B′（-1，-a+b２+1）.

解得a=1，b=2或a=1，b=0. 其中a=1，b＝０不合题意，舍去．

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