对一道解析几何题的探究

江苏省淮阴中学教育集团淮安市新淮高级中学 唐甜甜

在新课程标准的要求下，笔者认为，能够使学生在学会知识的同时，自己发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的课，堪称一节好课。数学学习首先要学会研究题，因为很多习题的背后都有着非常丰富的研究价值，都应该是促进学生能力提升的道具，而不仅仅是去追求一个答案。能立足于学生的发展，引导学生主动发现问题、研究问题，才是教师促进学生提升能力的关键。本文从江苏省淮阴中学和姜堰中学2019～2020 学年第二学期期中试卷的第22 题谈起。

（1）求抛物线方程。

（2）过直线y=x-2上一点P（t，t-2）作抛物线的切线，切点为A，B。

①设直线PA，AB，PB 的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1，k2，k3成等差数列；

②若以切点B 为圆心，r 为半径的圆与抛物线C 交于D，E 两点，且D，E 关于直线AB 对称，求点P 横坐标的取值范围。

当t=0 时，抛物线上不存在两点关于直线AB 对称；

拓展：由以上图像，我们还可以研究什么问题？

生：随着点P 的变化，直线AB 也在变化，但是从以上图像可以发现直线AB 过定点（2，2）。

师：参考答案中已经给出直线AB 的方程，是否还有其他方法求得直线AB 的方程？

师：是否存在点P 使得∠APB=90°？

生：当直线PA，PB 有一条直线斜率不存在时，不存在这样的点P 使得∠APB=90°。

笔者继续移动点P，引导学生发现问题，发现题目的价值。

生：还可以求得△PAB 面积的最小值。