几何画板在求解一道大学生数学竞赛题中的应用

安佰玲　黄雪梅

【摘要】本文以几何画板为工具，结合大学生数学竞赛中的一道题，归纳出求解轨迹方程的基本过程：动态演示，建立方程，验证方程或图形.综合运用观察、猜想、计算、推导、验证等一系列思维活动，使学生意识到几何的直观性、论证的严密性、计算的准确性及猜想的合理性在解决问题中的重要性.

【关键词】几何画板;心形线;反演变换;数学竞赛

【基金项目】安徽省高等学校质量工程项目（2019jyxm0201，2018jyxm0519）;淮北师范大学教学研究项目（JY18015，JY19020）;高等学校大学数学研究与发展中心教改项目（CMC20200206）

一、 引言

解析几何中的核心思想是数形结合思想，其主要任务之一是通过图形（轨迹）的几何特征，求解其对应的方程，进而利用方程解的代数性质研究轨迹的几何性质.几何画板作为研究解析几何的重要工具，以运动和变化过程中的“基本图形的性质”为基础，并以轨迹和动画的形式，形象地展示“动态几何”的魅力和数学美的一面.教师借助熟悉的现代信息技术生动形象地展示几何图形的各种性质，动态演示几何变换的过程，有利于学生直观把握几何图形的性质和特征.

二、 问题及求解

本文所选的问题为2013年第五届全国大学生数学竞赛初赛（数学类）试卷第一题，此题的难度体现在以下两点：其一是心形线方程的求解，关键是找到适当的参数，如果不借助动态图，其轨迹形状并不直观，因此参数的寻找比较困难;其二是对圆的反演变换定义的理解，要从满足的等式中参悟出具体的几何意义.

问题：平面R2上两个半径为r的圆C1，C2外切于P点，将圆 C2沿 C1的圆周（无滑动）滚动一周，这时C2上的P点也随C2的运动而运动.记Γ为点P的运动轨迹曲线，称为心形线.现设C为以P的初始位置（切点）为圆心的圆， 其半径为R.记γ∶R2∪{∞}→R2∪{∞}为圆C的反演变换，它将Q∈R2＼{P}映成射线PQ上的點Q′，满足PQ·PQ′=R2.求证：γ（Γ）为抛物线.

1.动态演示运动轨迹

利用几何画板可动态演示出心形线的生成过程.如图1，引导学生观察并构建适当的坐标系，思考并确定动点坐标的可能参数.坐标系与参数的选取是建立轨迹方程的第一步，也是研究图形几何性质的关键.坐标系及参数的选取原则是基于图形的最简方程原则，选取的参数往往具有几何意义或者物理意义.

2.建立轨迹的方程

构建轨迹方程时，要借助直观的几何图形，构造适当的三角形.如图2所示，利用向量的加法表示动点Q的向径，在△OQQ′中，向量OQ=OQ′+Q′Q.事实上，平面上的一个非零向量a是由其大小及方向角确定的，即a=a{cos θ，sin θ}，其中θ为a与x轴正向的夹角.因此令θ为OQ′与x轴正向的夹角，于是Q′Q与x轴正向的夹角为θ-（π-θ）=2θ-π，即

OQ′=2r{cos θ，sin θ}，Q′Q=-r{cos 2θ，sin 2θ}，

于是可得心形线的参数方程为

x=2rcos θ-rcos 2θ，

y=2rsin θ-rsin 2θ，

整理，得

Γ：x=r+2r（1-cos θ）cos θ，

y=2r（1-cos θ）sin θ. （1）

求解动点Q轨迹方程的方法往往有多种，可以借助不同线段构造不同的三角形得到动点向径的表达式.因此要引导学生从不同的角度去发现解决问题的方法，如图3构造△OPQ′.

3.验证轨迹的方程

根据得到的心形线的参数方程（1），在几何画板中输入心形线的方程（极坐标方程），从而生成心形线如图4，与之前动态图生成的心形线（图1）对比验证，从而实现数与形的统一与认识.学生在直观图形的引导和推动下，通过计算和推导得到方程，再利用计算机软件验证方程，这一过程会激发学生积极思考，深刻理解解析几何中数形结合的思想和方法.在问题的解决过程中，学生综合运用观察、猜想、计算、推导、验证等一系列思维活动，意识到几何的直观性、论证的严密性、计算的准确性及猜想的合理性在解决问题中的重要性.

结合几何画板，动态演示、建立方程及验证方程这三个环节构成了研究任意一个动点轨迹的基本过程.基于本题是求解心形线圆的反演曲线的方程，所以我们增加了两个环节.

4.求解心形线关于圆的反演曲线

在原坐标系中绘制出心形线及以P为圆心、半径为R的圆，如图5所示，动点Q′（x′，y′）在射线PQ上，因此只需确定P，Q点的坐标及Q′分线段PQ的定比，利用定比分点的坐标公式即可确定动点Q′的坐标.

已知Q（r+2r（1-cos θ）cos θ，2r（1-cos θ）sin θ），P（r，0），

设PQ′=λPQ，由PQ ·PQ′=R2，解得

λ=R24（1-cos θ）2r2，

且Q′分线段PQ的定比为 λ1-λ，于是可得

γ（Γ）：x′=r+R2cos θ2r（1-cos θ），

y′=R2sin θ2r（1-cos θ），

整理得到动点Q′的直角坐标方程为

y′2=R2rx′+R44r2-R2.（2）

5.生成并验证心形线的反演曲线

在图4的基础上，将求得的方程（2）输入几何画板，生成抛物线，如图6所示（取r=2 cm，R=4 cm）.在心形线上任取一点Q，度量出PQ=8 cm，PQ′=2 cm，于是PQ·PQ′=8×2=16=R2，拖动Q使其在心形线上运动，可以验证PQ ·PQ′=R2成立.这样我们不仅可以利用图形的方程证明心形线圆的反演曲线就是一条抛物线，同时利用题目中的条件验证了所得结果的正确性.

三、 结束语

针对文中的问题可以通过小问题的形式引导学生继续思考与探究，比如可以让学生思考下面几个问题：（1）圆的反演曲线是否为圆？（2）抛物线的反演曲线是否为心形曲线？（3）除了心形线，还能否找到其反演曲线也是抛物线的曲线？（4）反演曲线是抛物线的曲线应该具有怎样的几何特征？能否用代数方程表示出这类曲线？

当然也可以让学生自己设置问题并进行思考，不用考虑所设置的问题是否有应用价值，只要学生在深入思考问题和解决问题的过程中能够体会到数形结合的魅力，领略到解析几何这门学科的内容、方法及思想的独特性即可.这种有一定深度的数形互译的训练，对于培养学生分析问题的能力和科学的思维品质具有十分重要的意义.

【参考文献】

[1]安佰玲，黄保军，卢涛，等.解析几何教学中数形结合思想方法的运用[J].淮北煤炭师范学院学报（自然科学版），2010，31（2）：69-73.

[2]汤志娜.几何画板中的绘图思想探析[J].数学学习与研究，2010（01）：9-11.

[3]李倩，赵临龙.高考解析几何化动态问题为“静态问题”[J].课程教育研究，2019（15）：137.