数学思想在初中数学函数教学中的应用探讨
2021-03-28冯敏
冯敏
【摘要】在初中数学函数教学中，教师要引导学生熟练掌握并灵活应用数学思想.学生如果能够巧妙论证并应用数学思想方法，就可牢牢抓住解题关键，以此提高数学学习能力.基于此，针对数学思想在初中数学函数教学中的应用相关知识，本文进行了简单分析.
【关键词】数学思想;初中数学;函数教学;应用
引 言
随着新课标改革的深入，作为初中阶段重要学习科目——数学科目也发生了一定的改变.在以往的课堂教学中，因为数学是高考必考科目，所以教师面临很大的教学压力.在实际教学中，很多教师一味追求学生成绩，在课堂上为学生灌输知识以此提高學生成绩，但课堂教学效率难以提高.初中阶段，函数教学具有重要的意义，其利于阐述地球运动变化规律，同时也是一种数学模型.学生学习函数问题，利于提升其数学思维水平.教师在函数教学中引入数学思想，对提高学生数学核心素养具有非常重要的意义.
1 初中阶段数学思想内容
1.1 函数数学思想
初中数学中，变量转换问题比较常见，对于此类问题，教师往往通过函数数学思想解决.而函数思想是指具化抽象变量，并利用变量关系重新构建函数关系式，再借助这一函数关系式解决实际学习中出现的数学变量转换问题.由此，我们可以发现，建立函数关系式就是具化抽象问题的过程.教师可引导初中学生深入了解数学知识蕴含的抽象关系，从而从根本上优化和提高学生数学学习效率.
1.2 数形结合学习思想
众所周知，初中数学中，数形结合思想的应用非常重要，利于提高教师数学教学质量与学生学习效率.初中数学知识可简单地划分成几何与函数两部分，数形结合思想可在几何与函数知识间构建联系，可有效融合抽象与具象化知识.学生掌握这一思想后可很容易地解决数学几何与函数问题.
1.3 分类讨论数学思想
数学中，很多问题有不确定的已知条件，因而其答案也是不确定的.在实际练习中，为了获得准确答案，学生要结合数学题目中的已知条件进行分类讨论，解出不同情况下所对应的正确答案.分类思想与其他数学思想不同，其重视细节分析.
1.4 其他思想
当前，初中数学教学中还有其他数学思想，比如统计、算法、整体及化归等思想，每种思想对数学学习都发挥着一定的作用.初中数学课堂教学中，教师作为教学组织者与学生学习的引导者，要积极分析教材内容，发掘教材中蕴含的数学思想，并灵活应用这些思想引导学生学习数学知识，加强学生数学思维与修养的培养，从而使学生更好地理解教材中出现的数学概念，提高数学学习自信心.
2 初中函数教学中包含的数学思想
2.1 函数部分包含的数学思想
初中数学教学中，函数部分是整个教学的引入部分，旨在引导学生观察生活现象，结合图像、表格填写与问题分析等方式，导出函数中存在的两个变量及对应关系.此单元的学习利于学生对函数图像与变量对应关系形成初步了解，体现了数形结合与函数思想，但其体现程度不高，只是简单点缀了一下.比如，“自变量可取确定值α，函数对应值是确定且唯一的，这一对应值就是自变量是α的函数值”这句话中，简单点缀了函数思想，以此增强学生动脑思考的能力.再比如，函数概念中，描述两个变量间一一对应的关系，这阐述了函数概念的同时也初步体现了函数思想.
2.2 一次函数与正比例函数中包含的数学思想
“一次函数与正比例函数”体现了函数、方程及一般数学思想，而函数思想是体现最多的，其在每章节都有体现，尤其是习题部分最为明显.比如，一次函数概念中“如果两个变量x与y的关系式为y=kx+b（其中k，b为常数且k≠0），那么就可将y看作x的一次函数（其中x是自变量，y是因变量）”.y=kx+b是一次函数的一般形式，而y=kx（b=0）是特殊形式，所以利用概念可直接体会一般与特殊的数学与函数思想.
2.3 一次函数图像中包含的数学思想
“一次函数思想”章节体现了综合性数学思想，包含函数、方程、数形结合及分类讨论等思想，其中函数与数形结合思想体现最多.比如，正比例函数y=kx中，当k>0时，随着x值的增大y值变大;当k<0时，随着x值的增大y值变小.此部分中，分类讨论k值，以此获得不同结果，这是以直观文字展现数学思想的分类讨论思想.
2.4 一次函数应用中包含的数学思想
“一次函数应用”中充分体现了函数、方程、数形结合及化归等各种思想，而函数与数形结合思想是体现最多的.比如，例题中求两点连成直线与坐标轴构成三角形的面积的问题就是应用函数图像来进行解答的，体现了数形结合思想.另外，题目中要求解答围成图形面积，要先求出三角形两条直角边边长，此时要明确这条直线与x轴、y轴的交点坐标.所以，整个解答过程中，将求图形面积变为求直线与坐标轴交点问题，充分体现了化归思想.
2.5 反比例函数中包含的数学思想
学习反比例函数是在学习一次函数的基础上进行的.初中数学中，反比例函数知识包含反比例函数的定义、反比例函数的图像与性质、反比例函数的应用三部分知识.第一部分是导入，介绍反比例定义，尽管内容比较简单，但蕴含的数学思想是非常丰富的，因而对解决实际问题至关重要.第二部分图像与性质是利用图像形式探究函数性质，是数形结合思想的体现.第三部分是反比例函数的应用，旨在考查学生对该函数知识及数学思想所掌握的情况与应用意识.
2.6 二次函数中包含的数学思想
初中数学函数知识中，二次函数是最后一种函数类型，也是函数学习中最难的知识点.二次函数作为重难点知识，教师必须要重视此部分内容的教学.另外，二次函数知识与后期圆锥曲线与方程根、函数零点等知识密切相关.初中数学课本中，二次函数部分数学思想以数形结合、函数及方程等各类思想为主，以直观图像引导学生深入理解函数概念，从而使学生更好地掌握函数性质.二次函数中也体现了很多模型思想，以课后练习题最为集中，因而教师要深入发掘数学思想并将其与课堂教学融合起来，以此帮助学生学习二次函数知识，并熟练应用其蕴含的数学思想解决实际问题.
3 初中数学函数教学中数学思想应用建议
3.1 有效树立数形结合思想
数形结合思想是函数概念深化的重要形式.初中数学教师要深入了解函数概念.在日常教学中，初中数学教师要为学生有效渗透函数概念.一次函数图像表现为一条直线，而二次函数图像则表现为一条抛物线，不同函数其变化趋势是升降结合的.反比例函数图像为双曲线，其可向x轴无限延伸.数学教学中，教师通过应用函数思想，可为学生带来直接感官体验，同时还能引导学生养成直观的理性思维习惯，这是非常重要的.数学解析法呈现了自变量与函数的所有相依关系，因而在理论分析与推导计算中有很强的适用性.与此相比，图像法能够直观地展现函数变化情况，为研究与记忆创造条件.数学教学中，教师结合应用这两种数学思想，对学生树立正确的数形结合思想发挥着重要的作用.
3.2 应用函数模型思想解决函数问题
函数模型思想是指利用运动变化观点对实际问题中两个变量间的关系进行研究和分析，构建函数模型，结合函数性质解决实际问题的方法.
比如，某报亭从报社买进某种日报的价格为每份0.30元，而以每份0.50元的价格卖出，如果报纸卖不出去可以每份0.10元退给报社.实际上，一个月（30天）中，有20天每天报纸只能卖出150份，剩余10天每天则能够卖出200份.假设每天从报社买进的报纸份数必须相同，那么该报亭每天要买进多少份报纸方可确保本月获得最大利润？最大利润为多少？
分析：本题目包含很多数據信息，阅读理解题意搞清楚各变量间的关系，同时明确自变量取值范围是解决本题的重点.
解答：假设报亭从报社每日买进报纸x份，其每月卖出获得的利润是y元，根据题意可以得到y=（0.50-0.30）x·10+（0.50-0.30）·150·20-（0.30-0.10）（x-150）·20（150≤x≤200），经过简化可以得到y=-2x+1200（150≤x≤200）.
因该函数在150≤x≤200时，随着x值变大y值逐渐减小，因而当x=150时，利润y取最大值，其最大值是-2×150+1200=900（元）.根据这一结果就可得出报亭每日从报社买进150份报纸，当月所获利润最大且最大值为900元.
3.3 应用转化思想解答函数问题
转化思想是基于某种转化过程，把要解决的问题归纳为容易解决或已经解决两种类型，以此解决原有问题.比如复杂问题的简化、陌生问题熟悉化以及数学化问题等，都可应用转化思想解决.
例如：在A，B，C三栋楼间设取奶站，A，B，C三栋楼在同一直线上顺次为A楼、B楼、C楼.其中A，B两栋楼间相距40 m，而B，C两栋楼间相距60 m.已知A，B，C三栋楼每天取奶人数分别是20人，70人与60人.问取奶站设在哪个位置可使每天所有取奶的人数到取奶站的距离总和最小？
解析：假设取奶站设在距A楼x m处，所有取奶的人到取奶站距离总和是y m.如果取奶站在A，B两楼之间，即0≤x≤40时，那么y=20x+70（40-x）+60（100-x），化简可得y=8800-110x.因随着x值变大y值不断变小，所以当x为40时，y取最小值，是4400;如果取奶站设在B，C两楼之间，即40
3.4 通过探究问题应用数学思想
数学思想的应用旨在引导学生有效解决遇到的数学问题.实际教学中，营造气氛良好的探究教学氛围，是应用数学思想引导学生深入探究数学问题的重要契机.比如，在二次函数表达式的教学中，教师可提出以下问题：已知二次函数y=ax2+bx（a≠0），该函数图像经过（2，6）与（-1，3）两点，求二次函数表达式.将（2，6）与（-1，3）两点坐标分别代入二次函数表达式，解方程组，进而可得函数表达式.因此对于上面这种形式的二次函数，我们只要知道两个点的坐标就可将其表达式求出来.
结束语
综上所述，在初中数学函数教学中，作为一名数学教师要深入了解数学思想对课堂教学的意义以及发挥的作用.教师讲解函数问题时，应该应用数学思想，这样不仅有利于全面提升教学质量，还可以强化学生知识汲取能力.教师在课堂教学中应用数学思想，可有效启发学生数学思维，提高学生创新水平.因此，优秀的初中数学教师在教学中要有效引入数学思想，渗透数形结合、转化以及分类探讨等方法，引导学生灵活应用数学思想解决实际中遇到的数学问题，以此全面提高学生数学综合素养.
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