捕捉或建构几何模型 跳跃式思维探索思路

黄本华

[摘  要] 新课程标准将培养学生“逻辑思维能力”改为“思维能力”，这就启发我们要重视培养学生的观察力、想象力、直觉力等具有跳跃性的非逻辑思维能力，并培养学生能够在复杂的几何图形中捕捉或建构几何模型，探索解题思路.

[关键词] 几何模型;跳跃性思维;几何图形;直觉力

几何模型是数学家或数学爱好者或数学教师在对几何图形进行研究之后总结出的一些基本图形，并由这些图形得出了一些基本结论，或是求解思路. 几何模型就如同棋谱中的定式，运用几何模型解题能大大缩短思维的时间，更快地接近目标，起到化繁为简的目的. 但是运用几何模型解题 ，需要有一定的跳跃性思维. 新课程标准将培养学生“逻辑思维能力”改为“思维能力”，这就启发我们要重视培养学生的观察力、想象力、直觉力等具有跳跃性的非逻辑思维能力[1].

中考试题也突出了对直觉力的考查，下面就以2020年江苏省南通市中考试卷几何综合题第24题为例，谈一谈捕捉或建构几何模型，用跳跃性思维探索思路.

试题呈现

试题 矩形ABCD中，AB=8，AD=12，将矩形折叠，使点A落在点P处，折痕为DE.

（1）如图1，若点P恰好在边BC上，连接AP，求的值.

（2）如图2，若E是AB的中点，EP延长线交BC于点F，求BF的长.

思路探索

1. 知识迁移，探求思路

这道试题是矩形里含有翻折变换，我们头脑里就会立刻联想到勾股定理，进而联想到我们特别熟悉的一道题目：如图3，矩形ABCD中，AB=8，AD=10，E是CD上一点，连接AE，将矩形沿AE折叠，若点D恰好落在BC边上的点D'处，求CE的长.

【解析】由翻折可知AD=AD′=12，在Rt△ABD′中，AB=8，所以BD′=6 ，设DE=DE′=x，CE=8-x，在Rt△CED′中用勾股定理得（8-x）2+42=x2，解得x=5，从而CE=3.

2. 是迎难而上，还是另辟蹊径？

顺着这个思路，我们也可以解决这道中考题. 如图1，在Rt△DPC中，在我们可以得到，CP=4，因此，BP=12- 4. 在Rt△ABP中，AP==，做到这里，我们猛然发现此题和上题有一个很大的区别，即上题含有勾股数，计算十分简便，而这题计算中含有根号，会越做越烦琐. 这时我们就陷入了两难的境地，是迎难而上，还是另辟蹊径？若迎难而上，可能会陷入繁杂的计算中. 若另辟蹊径，却又有可能找不到思路.

3. 循规蹈矩，迎难而上

如果计算能力较强，一时又找不到其他更好的方法，可以选择迎难而上，毕竟已经看到了希望，接近了目标.

解法1：在Rt△DPC中，PC==4，

所以BP=12-4.

在Rt△ABP中，AP2=82+（12- 4）2 =288-96.

设AE=EP=x，在Rt△BEP中，（8-x）2+（12-4）2=x2，解得：x=18-6.

则在Rt△AED中，DE2=（18- 6）2+122=648-216.

所以===.

所以=.

在中考阅卷过程中我们发现，确实有很多学生就是这样运算的，但其中也有不少学生半途而废. 可以想象，如此繁杂的计算，即使算到了正确结果，也一定花费了很多的时间. 这就迫使我们思考，有没有更简单的方法呢？要想获得简单的方法，就需要我们克服思维定式，善于捕捉图形中的几何模型，用跳跃性的思维探索思路.

4. 思维跳跃，另辟蹊径——捕捉K型相似模型

首先，我们最容易观察到的几何模型就是最熟悉的△EBP和△PCD组成的K型相似模型. 于是，求EP还可以这样解：如图1，易证△EBP∽ △PCD，所以=，即=，解得EP=18-6.

我们也可以借助方程思想，设EP=3x，BP=2x，则2x=12-4，所以x=6-2. 所以EP=18-6. 下面的解法同上.

可以看出，运用了K型相似这个几何模型之后，运算量就降低了很多. 那么，题目中还有没有其他的几何模型呢？

5. 思维跳跃，另辟蹊径——捕捉四点共圆模型

这里我们观察到∠EAD=∠EPD=90°，也就是说，A，E，P，D四点共圆. 其中AP 是弦，DE是垂直于这条弦的直径，这就容易联想到垂径定理. 弦与直径的比，就等于弦的一半与半径的比. 弦和直径是兩条交叉的线段，而弦的一半和半径再加上弦心距却可以构成一个直角三角形. 因此，只要找到一个三角形和这个直角三角形相似即可.

解法2：（1）如图4，取DE的中点O，连接PO，由折叠可知AM=PM，AP⊥DE，∠2=∠3.

在Rt△EPD中，点O为DE的中点，

所以DE=2PO=2EO=2DO.

所以∠3=∠OPD.

所以∠1=∠3+∠OPD=2∠3.

因为∠ADP=∠2+∠3=2∠3，

所以∠1=∠ADP.

因为AD∥BC，所以∠DPC=∠ADP.

所以∠1=∠DPC. 又因为∠OMP=∠C=90°，所以△POM∽△DPC.

所以===.

所以===.

可以看出，用这种方法解题，计算量大大降低了. 类似地，也可以连接AO，证明△AOM和△DCP相似.

6. 思维跳跃，另辟蹊径——捕捉三垂直模型

继续观察，图中还有其他模型吗？如图5，我们还可以找到三垂直模型. 这个三垂直模型里面还含有一个母子三角形，我们易得∠1=∠2，从而△ABP∽△DAE.

解法3：因为∠B=∠EAD=∠AMD=90°，所以易证∠1=∠2. 所以△ABP∽△DAE. 所以==.

感悟：解法如此简便，令人叹为观止！几何模型竟有如此魅力！

7. 建构模型，迎刃而解——建构K型相似模型

受第（1）问的启发，在求解第（2）问的时候，我们可以建构K型相似模型.

解法1：如图6，过点P作GH∥AD交AB于点G，交DC于点H.

易证△EGP∽△PHD，因为====.

设PG=x，EG=y，则DH=3x，PH=3y，由图可知x+3y=12，

4+y=3x，  解得x=2.4，

y=3.2.

又因为PG∥BF，所以=，即=，解得BF=3.

当然，我们也可以运用勾股定理列方程解决问题. 比如，在Rt△DPH中，（12-x）2 +（3x）2=122 ，或者在Rt△EPG中，x2+（3x-4）2=42.

8. 建构模型，迎刃而解——建构8字全等模型

由于点E是AB的中点，我们联想到平行线加中点，可以构造8字全等模型，再借助角平分线定理和勾股定理，利用方程思想解决问题.

解法2：如图7，延长FE，DA交于点H，易证△BFE≌△AHE，设BF=AH=x，HE=y，因为DE平分∠HDP，所以=，即=. 又在Rt△AEH中，42+x2=y2，联立两个方程解得x=3，

y=5， 或者x=0，

y=4 （舍去）. 所以BF=3.

9. 正切公式，屡试不爽——如果含有角平分线或45°角（这也是模型）

如果盯住这个四点共圆的模型，还可以有这样的思路：外角∠BEF=内对角∠ADP. 因此，在△EBF中，求tan∠BEF，也就是求tan∠ADP，而∠ADP=2∠ADE，于是我们立刻联想到正切公式.

解法3：如圖8，tanα===. 所以tan2α===. 所以=，解得BF=3.

若想避免分数运算，也可以这样解——

解法4：tan∠AEF=tan2∠AED===-，所以tan∠BEF=，即=，解得BF=3.

试题赏析

在解完题目之后，我们回过头来再看这道题，发现这道题出得真好.

（1）试题以矩形为载体，融合了重要的基本几何元素，如中点、角平分线等，结合翻折变换，给学生提供了一个思考的平台，很好地考查了学生运用数学知识解决问题的能力.

（2）第（1）问中蕴含了多个基本图形或几何模型，如母子三角形、一线三等角、对角互补四边形、三垂直模型等. 第（2）问又可以通过多种方法建构几何模型求解. 在考查学生思维能力的同时，也考查了学生的创新意识.

（3）结合思路探索，试题也考查了多种数学思想：转化思想、数形结合思想、方程思想、对称思想、从特殊到一般思想、建模思想等.

（4）试题是课本习题的挖掘和延伸，是从全等到相似的拓展. 从全等到相似不仅是形式上的飞跃，更是思维方式上的一个突变.

如图9，在正方形ABCD中，AF⊥DE，求证AF=DE.

上面这道题大家都很熟悉，是课本中的一个题目. 而前面那道中考题就是对该题的一种拓展. 如图10，当正方形ABCD变为矩形ABCD以后，由于三垂直模型始终存在，于是始终有=. 显然，全等是相似的一种特殊情况. 有了这个模型，现在再来看中考题的第（1）问，就觉得十分容易了.

今后打算

（1）在培养学生逻辑思维能力的同时，突出对学生观察力、直觉力、想象力等非逻辑思维能力及跳跃性思维能力的培养. 大力培养学生的逆向思维、发散思维、求异思维等，要努力让学生的头脑活络起来.

（2）重视对基本图形、几何模型的搜集、整理与渗透. 引导学生学会对复杂的几何图形进行分解，训练其在复杂的几何图形中捕捉几何模型或基本图形的本领，并指导学生学会建构几何模型，探索解题思路.

（3）重视对初高中数学知识的衔接. 如渗透正切公式、基本不等式、角平分线定理等高中知识.

（4）重视对课本习题的挖掘、研究与拓展. 特别要重视从全等到相似的变式拓展研究.

（5）重视对数学思想的渗透. 培养学生的创新意识，以寻求最佳的或最适合自己的解题途径.

参考文献：

[1]唐耀庭. 建构几何模型  巧妙进行探究——2008年江苏省盐城市中考数学压轴题评析[J]. 中学教研（数学），2009（1）.

3759500589200