关于锐角三角函数的备考探究与建议

姜溯佩

[摘  要] 三角函数知识的考点较多，其中概念定义、转化方法、应用策略、拓展方向是探究的重点. 在复习备考阶段需要把握知识重点，生成转化思路，同时关注知识的综合方式，掌握综合性问题的突破策略. 文章将结合实例进行解读探究，并提出相应的建议与同行商讨.

[关键词] 锐角三角函数;概念;网格;数学文化;应用

锐角三角函数是初中数学的重点知识，近几年的中考出现了众多与其相关的考题，从概念定义、知识属性、实际应用等方向综合考查锐角三角函数. 关注问题背景、总结命题方向、剖析突破思路是复习备考的重点. 下面对其进行全方位探究.

概念剖析，建模求值

锐角三角函数编排在勾股定理之后，从教材的设计来看，是对直角三角形边角关系的深入研究和拓展. 同时，该内容是初中和高中的知识衔接，深入剖析概念，引导学生掌握锐角三角函数求值的方法. 初中时期，锐角三角函数的概念建立在直角三角形上，因此求解三角函数值需要依托直角三角形，利用边长比值转化锐角三角函数值.

例1  如图1所示，在△ABC中，已知tan∠ABC=，BC=5，∠CAB > 90°，点D是AB上的一个动点. 现以CD为一边作等腰直角三角形CDE，且∠EDC=90°，连接BE，当S=时，则BD的长度为______.

分析  本题为传统的几何问题，涉及特殊三角形（等腰三角形和直角三角形）、动点、图形面积、三角函数等内容. 需要转化的核心条件有两个：①tan∠ABC=，②S=. 其中条件①与锐角三角函数相关，转化条件需要立足三角函数的概念，借助于直角三角形转化为线段比值的关系.

解答  过点E作BA的垂线，设垂足为H;再过点C作BA的垂线，设垂足为G，如图2所示. 由图可得∠CDG=∠DEH，结合DE=DC可证△EDH≌△DCG（AAS），由全等性质可得EH=DG. 而S=BD·EH=，所以EH==DG. 在Rt△BCG中，tan∠ABC=tan∠GBC==，所以BG=2CG. 由勾股定理可得BG2+CG2=BC2=25，所以CG=，BG=2. 又知BD+DG=BG，则BD+=2，解得BD=.

评析与总结  本题是求线段的长度，对于其中的锐角三角函数值，需要转化为与线段比值相关的条件，故主要考查的是锐角三角函数的概念. 对于给定的任意三角形中的三角函数值，则可以充分利用几何性质，构建与直角三角形的联系，如等角代换、直角构造等，将涉及的角放置在直角三角形中.

在备考中，建议引导学生深刻理解三角函数中“数”与“形”的本质属性，依托直角三角形的三角比进行知识转化，建立三角函数与三角比之间的联系;同时总结特殊三角形和任意三角形中三角函数的求解策略，从概念剖析走向知识总结，由条件转化过渡到模型构建，实现基础知识的全方位覆盖.

文化渗透，概念衍生

数学文化对于学生素养的提升是潜移默化的，不仅可以使学生充分认识到对应的知识定理，还可以感悟到文化熏陶. 三角函数与勾股定理有着紧密的联系，实际考查时常以古典数学名著为背景，将三角函数与勾股定理相结合，考查学生对概念的理解.

例2  勾股定理有着悠久的历史，曾引起众人的研究. 在《周髀算經》的“赵爽弦图”中构建了四个全等的直角三角形. 而英国佩里加（H.Perigal）曾用“水车翼轮法”证明了勾股定理. 该证法具体如下：用线段QX和ST将正方形BIJC分割为4个全等的四边形，再将这4个四边形与正方形ACYZ拼成大正方形AEFB（如图3所示）. 如果AD=，tan∠AON=，则正方形MNUV的周长为______.

分析  本题以数学文化为背景，将三角函数与勾股定理相结合，考查学生对三角函数值的转化和勾股定理的证明. 实际只需要立足基本概念，充分利用几何特性进行转化即可.

解答  延长ON，与AE的交点设为H. 由题意可知，AO=AD=DE=，AE=2. 在Rt△AOH中，由于tan∠AON==，所以AH=，所以DH=AH - AD=. 由勾股定理可得OH==. 分析可知△NHD∽△AHO，由相似性质可得==，所以DN=1，HN=. 所以ON=OH-HN=5，进而可知MN=5-1=4，可得正方形MNUV的周长为16.

评析与总结  本题的结构较为简单，融合了数学文化是其特点，对学生数学情感的培养有一定的帮助. 对该类题目的解析，需要引导学生读懂数学文化，准确定位其数学知识，然后在此基础上进行问题探究.

网格创建，代换推导

正方形网格具有特殊的性质，利用网格可命制与三角函数相关的创新问题，不仅可以考查四边形的性质、勾股定理等，还可以考查学生作图构形、等量转化等技能. 对于网格中的三角函数问题，需要充分利用格点来构建特殊的三角形，利用格点连成的线段或直线及网格的单位长度来定位交点，实现所涉角的量化.

1. 问题呈现

例3  如图4所示，在边长为1的正方形网格中，连接DN，EC，设DN与EC的交点为P，试求tan∠CPN的值.

2. 方法归纳

求锐角三角函数值，可寻找或构造一个直角三角形. 观察并发现题目中的∠CPN没有位于直角三角形中，我们可以利用网格画平行线来解决此类问题. 如连接MN，可得MN∥EC，则∠DNM=∠CPN;再连接DM，则可将∠CPN变换到Rt△DMN中（如图5所示）.

3. 解决问题

（1）直接写出图5中tan∠CPN的值是______.

（2）如图6所示，在边长为1的正方形网格中，AN与CM的交点为P，试求cos∠CPN的值.

4. 思维拓展

（3）如图7所示，已知AB⊥BC，AB=4BC，点M位于AB上，且AM=BC，延长CB至点N，使得BN=2BC. 连接AN，与CM的延长线的交点为P，参照上述网格构造的方法求∠CPN的度数.

分析  本题为网格与三角函数相结合的创新题，以知识探究与应用的形式呈现，其中“方法归纳”环节十分重要，总结了网格中锐角三角函数值的求解方法，即通过构造或转换来实现等量代换. 后续环节的问题探究要充分参照该方法，通过作图实现角度的转换.

解答  （1）参考图5，可得tan∠CPN=tan∠DNM==2.

（2）如图8所示，取格点D，连接CD，DM，则可将∠CPN转换到Rt△DCM中. 所以cos∠CPN=cos∠DCM=.

（3）如图9所示，取格点D，连接AD，DN. 分析可知∠CPN=∠AND. 又知AD=DN，∠ADN=90°，所以∠AND=∠DAN=45°，从而可得∠CPN=45°.

评析与总结  上述探究网格中的三角函数，充分利用格点的特性构建两线平行，实现等角代换. 网格中的锐角三角函数求值问题有两种解析策略：一是直接构造直角，适用于所涉角较为特殊之时;二是利用平移变换实现等角代换.

教学中，建议拓展学生的思维，引入创新题，综合解析方法以构建思路. 对于网格类问题，从几何视角加以剖析，引导学生关注网格的特性，在此基础上进行构造、变换，实现条件的等量代换. 同时渗透数学思想和方法，让学生逐步形成感知，从思想层面理解问题.

与圆同行，知识综合

在圆中同样可以构建三角函数类问题，实现圆与三角函数的综合，其特殊之处在于引入圆，使得几何特性更加丰富，角度代换更加灵活. 其中的圆周角定理、圆心角定理是角度转化的常用策略，解析时要充分利用这些定理来构建角度关系，结合概念推导三角函数值.

例4  如图10所示，AB为☉O的直径，CD⊥AB于E，点F是CD上的一点，且BF=DF. 延长FB至点P，再连接CP，使得PC=PF;延长BF，与☉O的交点为G，连接BD，GD.

（1）连接BC，证明CD=GB;

（2）证明PC是☉O的切线;

（3）如果tanG=，且AE-BE=，试求FD的值.

分析  本题以圆为背景构建了复合图形，其中第（3）问设定了三角函数值，实际处理时可将其等角代换，放置在直角三角形中，转化为与线段比值相关的条件，同时充分利用圆的特性进行辅助分析.

解答  第（1）问、第（2）问略.

（3）连接AD，由于AB是☉O的直径，则∠ADB=90°. 又知AB⊥CD，则=，从而可知∠BDE=∠A=∠G. 在Rt△ADE中，tanA=tanG==，则AE=3DE. 同理可得DE=3BE. 所以AE-BE=3DE-DE=，解得DE=，则CD=2DE=2，BE=DE=，BD=. 可证△BCD∽△FDB，则=，结合BC=BD可得FD==.

评析与总结  上述第（3）问给出了三角函数值，解析时需将其转化为与线段相关的条件，基本策略依然是等角代换，构建直角三角形. 其特殊之处在于圆的性质定理，无论是圆周角定理还是圆心角定理，均与圆的弧长相关，需要构建“弧长→角度→线段”的推导关系，形成系统的推理逻辑.

教学中，建议教师深入探究圆的性质定理，充分与三角函数相融合，以等角代换为主体，探索条件、转化思路、探究过程、注重模型构建，挖掘直角模型的构建方式，如直径对直角、垂径定理等.

应用探究，解构直角

应用锐角三角函数的相关知识解决实际问题，这是新课标对此内容的基本要求. 解析问题通常需要经历三个环节：数学建模、条件转化、定理解析. 第一环节，将实物转化为数学模型，实现模型量化;第二环节，提取模型的几何性质，进行条件转化;第三环节，充分利用性质定理構建几何关系，求解问题.

例5  如图11所示是某大型商场的自动扶梯示意图. 已知自动扶梯AB的倾斜角为30°，在自动扶梯下方底面的C处测得扶梯顶端B处的仰角为60°，A与C之间的距离为4 m，则自动扶梯的垂直高度BD=______m.

分析  本题为与三角函数相关的实际问题，需要充分利用其中的方位角来求解线段长，故首先需要构建几何模型，然后通过解直角三角形求BD的长.

解答  因为∠BCD=∠BAC+∠ABC，∠BAC=30°，∠BCD=60°，所以∠ABC=∠BCD-∠BAC=30°，所以∠BAC=∠ABC，所以BC=AC=4 m. 在Rt△BDC中，由于sin∠BCD=，所以sin60°==，可得BD=2m.

评析与总结  上述求扶梯的垂直高度，其中有两个方位角特别关键：“AB的倾斜角为30°→∠BAC=30°”“C处测得扶梯顶端B处的仰角为60°→∠BCD=60°”. 确定角度大小后，构建直角模型是解题的关键.

备考中需要引导学生关注两大角度体系，一是方向角，以观测者为中心构建的角度;二是方位角，以标准方向为基准构建的角度. 不同体系下的角度的释义是不同的，探究时可结合具体问题剖析角度关系，形成深刻的角度认识.

解后思考，备考建议

1. 知识强化，明确核心

三角函数是初中数学的重点内容，具有“数”“形”的双重特性，教学中要引导学生立足基本的概念定理，从几何角度探索转化思路，生成解题策略. 同时要明确考查核心，立足知识核心开展教学探究活动. 对于三角函数，要指导学生理解对应的概念，强化锐角三角函数的求解方法，掌握三角函数解决实际问题的思路，并合理拓展，生成综合性问题的解决思路. 因此复习备考阶段，要研读知识考点，明确复习方向，梳理知识定理，构建完整的知识网络.

2. 把握本质，总结解法

三角函数的命题形式十分多样，知识交汇点也较多，涉及特殊图形、网格、函数曲线等内容，这也是后续中考的命题趋势. 但无论命题形式如何变化，考查的知识定理、方法本质是不变的，始终围绕着等量代换进行模型构建，如平移代换、构建直角模型等. 因此在解题探究中要关注图形中的角度关系，提取其中的直角三角形，合理利用勾股定理推导线段长，结合三角函数的概念进行条件与问题的转化. 复习中，建议精设考题，引导学生发掘解法、提炼解题模型、总结解题规律.

3. 强化应用，拓展思维

三角函数具有极强的应用属性，可利用对应的知识求解距离问题、安全范围问题等. 在探究教学中要引导学生关注其中的方向角和方位角，掌握数学建模的方法;指导学生总结应用题的解析步骤，生成“读题审题→数学建模→特性分析→条件转化→定理求解”的解题思路. 同时注意拓展学生的思维，合理改编教材习题，如将三角函数与抛物线、正方形网格相融合，生成综合性探究问题. 复习备考要重点突出三角函数的特性，提升学生的思维水平.

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