逻辑推理素养视角下中考数学试题的分析与拓展

陈纪韦华 蔡德清

[摘  要] 文章通过对一道福建省2020年中考数学几何压轴题的剖析，进一步讨论了逻辑推理素养视角下的几何教学应重视试题方法、内容本质，把握一类试题的结构与体系，以期实现数学逻辑推理素养的育人价值.

[关键词] 逻辑推理;一题多解;试题拓展;结构体系

推理是数学基本思想之一，并被列为数学学科核心素养之一，在数学教学中不能简单关注知识技能的传授，而应该发展逻辑推理素养，启发学生思考，把握数学内容的本质，培养学生的理性思维. 在初中数学教育中，图形与几何是一个活跃的领域，其内容以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心. 学习图形与几何有助于培养和发展逻辑推理素养，有助于培养更有序、更严谨的思维习惯，有助于形成科学世界观和理性精神. 鉴于此，福建省近4年中考的第24题，一以贯之地以几何图形及其变换为载体，重点考查学生数学逻辑推理素养的达成水平. 下面，文章以2020年福建省中考数学第24题为例，阐述通过几何试题培养逻辑推理素养的研究与实践.

基于逻辑推理素养的几何探究课要教什么

逻辑推理素养是指表现在人身上的东西，不仅表明这个人具有逻辑推理能力，而且表明这个人具有较好的思维品质. 基于逻辑推理素养的教学，要让学生理解“来龙去脉”，要让学生会分析自己思考的脉络，要让学生能自如地运用数学知识解决问题. 因此在几何探究课上，教授显性知识的同时，应关注内在的隐性知识.

（1）教思想. 数学核心素养与传统的数学教育、与“四基”一脉相承，几何探究课要传承传统教学中的数学思想和方法. 试题层出不穷，解题技巧千变万化，教学中不去领悟方法中蕴含的数学思想和方法无异于买椟还珠，需要“点破眼前的一层膜”. 解决本题的整个过程包含着很多数学思想和方法：将“DP平分∠EDC”“∠CDF=∠DAC”之间的关系（角的关系）转化为“EP，PF，PC，CF ”之间的关系（线的关系）——化归与转化思想;将“∠EDC=90°”推广到“∠EDC为任意角度”，结论仍然成立——从特殊到一般的归纳思想;（思考1中）由∠ACB不同的取值得到不同的图形——分类讨论思想;将“DP平分∠EDC”的内角平分线推广到“DP平分∠KDC”的外角平分线，仍有相关线段成比例——类比思想;设元表示相关线段后计算相关结论——数形结合思想;通过对角平分线成比例定理及“子母型”等相似模型的提炼，归纳成阿氏圆——数学建模思想. 等等.

数学思想和方法的教学不仅在于宏观感知，也在于具体方法的微观抽象，多解归一，提炼不同方法的规律性——不变量和化归与转化：以上的10种解法将角相等、边相等作为不变量，或通过模型的叠加组合，或通过“出入相补法”构造相似三角形，建立相关线段成比例. 在这些解法中，都体现了化归与转化思想.

（2）教本质. 数学问题的结论，特别是几何题的结论呈现的是“简洁的、冰冷的、形式化的美丽”. 因此在几何探究课中，教师应善加引导，通过对问题的再设计、再拓展，启发学生思考，示之以思维之道，不仅应让学生掌握方法的程序与演绎推理的步骤，还应让学生掌握方法的本质，以此让“冰冷的美丽”焕发学生“火热的思考”. 由此我们不得不思考：如何让学生掌握方法的本质？为什么可以这样去做（原试题）？逻辑思考的起点和中途点在哪里？不同的触发点有何不同的思考方向？还要进一步思考：不同方法的内涵是否相同？不同的方法在相似的条件表征下是否具有推广性？使用的范围是什么？这些方法与原试题具有怎样的关联性？等等.例如，全面审视本题的所有解法，其寓于“如何证明线段成比例”这一结构体系. 原试题的条件从特殊角度到一般角度（思考1），从内角到外角（思考2），进一步推广和拓展，深入分析其中的思想和方法，凸显条件之间的内在关联，挖掘原试题的背景（阿氏圆），揭示条件（∠CDF =∠DAC）和结论的合理性、必然性，让学生认识到试题的本源所在、本质所在.

（3）教结构与体系. 逻辑推理是数学最显著的特征之一，是数学自身发展的需求. 逻辑推理素养的育人价值在于能够让学生把握事物之间的关联，把握事物发展的脉络. 因此，在几何探究课中，要引导学生把握一类试题的结构，求通求联，形成对体系的整体性认识，这样才是对數学真正的理解. 例如，本题中“如何证明线段成比例”可变为图2中有序化、程序化的方法结构;又如，从原试题推广到思考1、思考2——从特殊到一般的、归纳类比的问题研究结构;再如，将复杂的图形分解为几个基本模型，从基本模型开始研究，叠加组合后形成新的方法用来证明这一类试题的结构——研究几何性质的方法结构.

结束语

数学家华罗庚常说：“既要能把书读厚，又要能把书读薄.”对于一个“好”问题的探究，何尝不是如此. 读厚，就是要把问题逐步分解，挖掘不同条件表征下的解法，弄清不同解法之间的共性及其蕴含的数学思想和方法，理顺不同问题表征下的共性. 读薄，就是能抓住这一系列问题的主线和基本脉络，抓住这一系列问题的内在联系，形成数学结构和体系，避免“只见树木不见森林”. 这样才能发挥几何问题内在的思维价值，将学生的逻辑思维贯穿于发现问题、提出问题、分析问题与解决问题的全过程，养成重论据、有条理、有顺序、有逻辑的思维品质和理性精神，实现数学逻辑推理素养的育人价值.