应用意识：数学建模的指向

林小波

[摘  要] 对数学建模的理解，既要涉及对数学模型概念的理解，也应当涉及对数学建模目的的理解. 数学建模既是教学内容又是学生的学习方式，只有当学生有了数学建模的意识，并且能够运用到新知识的学习过程中，数学建模才能真正地发挥对学生数学学习的促进作用. 数学建模可以培养学生的概括能力，可以培养学生的应用能力. 在初中数学教学中要评价数学建模的教学水平，很重要的一个着力点就是看学生的应用水平. 一个知识教学中的数学建模应用意识，可以迁移到新的知识教学中，这种迁移能力本质上也是核心素养所强调的关键能力，是今后数学教学的重要施力点.

[关键词] 初中数学;数学建模;教学实践;应用意识

无论是在传统的教学事业中，还是在核心素养培育的背景之下，数学建模一直受到高度的关注，其原因就是数学知识的建构，很大程度上与数学建模密切相关，尤其是随着人们对数学建模的研究不断深入，关于数学建模概念的理解也在不断拓展，可以说数学模型概念的内涵与外延已经得到了充分的拓展，人们将数学概念及数学规律都纳入了对数学模型的研究范畴. 应当说这一拓展是有其实际背景的. 20世纪以来，科学技术得到了飞速发展，数学在这个发展过程中起到了非常重大的作用. 很大程度上数学学科所发挥的作用，都可以理解为数学模型所发挥的作用. 今天，社会对数学的需求不止数学家，还包括大量善于运用数学知识和数学思维解决实际问题的各种人才——把实际问题化成数学问题进行解决，这正是数学建模的基本理解.

数学建模是如此的重要，因此可以说每个数学教师都会在自己的课堂上引导学生建立数学模型. 于是从概念的建立或者规律的探究的教学中，数学建模可以说无处不在. 这里建议思考一个问题：当我们在研究数学建模的时候，具体在研究什么？对数学建模的理解，既要涉及对数学模型概念的理解，也应当涉及对数学建模目的的理解. 如果说关于数学模型的概念，前面已经进行了基本的阐述，那么面向初中学生进行数学建模的教学，其目的又是什么？笔者以为，回答这个问题必须认识到数学建模既是教学内容又是学生的学习方式，只有当学生有了数学建模的意识，并且能够运用到新知识的学习过程中，数学建模才算是真正地發挥了对学生数学学习的促进作用. 因此从这个角度来看，应用意识的培养应当是数学建模教学的重要指向！下面就结合这个观点谈谈笔者的一些初步探索与理解.

数学建模在初中数学教学中

的意义

认识数学建模在初中数学教学中的意义，是展开数学建模教学的第一步. 绝大多数情况下，初中数学教师对数学建模的理解，都是将其定位在教学方法之上的. 正如一些同行所说，初中数学模型教学是很多教师普遍采用的一种教学方法，这种方法可以让学生更好地理解数学知识之间的关系，更好地掌握数学知识，提高数学思维能力. 而在此基础上需要提醒的是：教师在使用模型教学时应注重数学语言的转换、构建数学知识结构、感悟数学模型与实际的关系，讲清模型的特点并且让学生体会从多角度思考问题. 应当说这样的阐述已经初步触及了数学建模之于学生数学学习的意义，然而只有这种理解又是不够的，数学建模在初中数学教学中的意义至少还应当包括如下两点：

第一，数学建模可以培养学生的概括能力. 尽管数学建模在数学学科核心素养体系中，可以说是最重要的因素，然而从能力表征的角度来看，数学学习中最重要的能力之一应当是概括能力（从这个角度来看，概括能力应当是核心素养所强调的关键能力的重要组成部分）. 概括意味着能够从诸多要素中选择建构某一个数学概念或者规律所需要的要素，然后通过分析与综合等，寻找到这些要素之间的关系，并且能够用数学语言来描述这些关系. 很显然，只有在数学建模的过程中，这一特点才能够充分显现出来，因此数学建模可以赋予学生一个足够的空间用来发展自身的概括能力.

第二，数学建模可以培养学生的应用能力. 数学知识是抽象的，很多时候数学也被认为是远离生活的;但事实上，数学与生活的关系是密切的，以至于在今天社会的每一个领域中，数学都无处不在. 只有当学生认识到数学与生活的这种密切关系时，才能养成数学应用于生活的意识，而只有学生有了这样的意识，才能够真正发展他们将数学应用于生活的能力. 在数学学科核心素养中，数学建模被理解为“用数学的思维思考世界”，对于学生而言数学就是生活，因此“用数学的思维思考世界”就可以理解为“用数学的思维思考生活”，而这正是数学建模在生活中的应用.

指向应用意识培养的数学建

模教学

只有当应用意识培养成为数学建模的重要指向时，数学建模作为知识建构过程中的重要助力，才能建立起正确的理解并且运用于教学. 有研究表明，影响学生数学建模能力发展的4个因素是动机态度、知识经验、认知过程、元认知. 在重点关注这4个因素的基础之上，培养学生数学建模能力的策略为：拓展最近发展区，强化问题意识，建构思维模式，调用监控系统. 当然，这一策略的具体运用，本质上还是要培养学生的应用意识.

例如，在“一元二次方程”这一知识的教学中，在情境创设时，教师就应当注意学生应用意识的培养，这可以借助于生活中的一些素材. 比如，“给你一张长为100厘米、宽为50厘米的长方形硬纸板，在它的4个角各切取一个同样的正方形，然后将4周凸出的部分折起来，就能制作成一个无盖的方盒. 如果要想让制作的无盖方盒的底面积是3600平方厘米，那么硬纸板的各角应切取多大的正方形？”

当这样的一个情境呈现在学生面前时，学生很容易根据情境的描述，在大脑中形成相应的表象. 随后学生在解决问题时，自然也会想到运用方程来解决问题. 这个时候教师可以充分放手，让学生自己进行探究. 此时绝大多数学生都能够通过未知数x（正方形的边）的假设，得出方程x2-75x+350=0. 在学生得出这个方程之后，教师还可以借助于这一思路，选择新的生活素材来创设情境，然后让学生再次得到一个新的一元二次方程（当然这个时候并不给出这个概念）. 随后，教师就要引导学生去分析与综合，于是“一个未知数”“最高次数是2”等特征就会被学生自主发现. 这个时候，一元二次方程的概念也就呼之欲出了.

当然，从数学建模应用意识培养的角度来看，教学过程还没有最终完成，而这也正是在传统教学基础上寻得突破的重要环节. 笔者此时设计的是先向学生提出一个问题：从上面例子的分析与综合中，你觉得在什么情况下会运用到一元二次方程来解决问题？

这个问题的提出，实际上可以驱动学生对上面的例子进行回顾与更具深度的分析. 更重要的是，在这个问题的引导下，部分学生开始进行了一次尝试，即编制运用一元二次方程来解答的问题. 这在传统教学中是不会出现的一个环节，因为这个过程是学生基于自身对一元二次方程的理解到生活中寻找相应的素材（也可能是到自己的经验体系中寻找素材），然后再基于问题的逻辑关系来编制题目.

坦率地讲，这个过程是具有一定挑战性的，一个5人小组中通常是3个学生在另外2个学生的引导下去展开思考的. 与此同时，这个过程又是有收获的，学生确实能够根据自己的理解去编制一些题目. 比如，有学生就编制了这样的一个问题：如果要给上述的无盖纸盒加一个盖子，且盖子竖着部分的长度为4厘米，那么这个盖子应当如何制作？这个问题实际上是上述问题的延伸，虽然是一个简单的题目，但是体现了学生内在的运用一元二次方程解决问题的意识，而这正是数学建模意识的培养契机.

用应用水平评价数学建模的

教学水平

后来的教学表明，随着学生对一元二次方程的理解越来越深入，他们发现生活中许多问题的解决都可以借助于一元二次方程来进行，这是一种将一元二次方程与生活形成密切联系的过程，以一元二次方程为表征的数学建模应用意识也就得到了充分的培养.

在此基础上进一步思考，笔者以为，在初中数学教学中要评价数学建模的教学水平，很重要的一个着力点就是测试学生的应用水平. 这是因为开展数学建模教学与应用的研究和实践，本质是培养学生的创造能力和应用能力，是为了把学生从纯理论解题的题海中解救出来，把学生应用数学解决问题的意识贯穿于教学的始终. 有了这样的意识，那么数学建模在实际的教学中就表现出了很明显的迁移特征——一个知识教学中的数学建模应用意识，可以迁移到新的知识教学中，这种迁移能力的本质也是核心素养所强调的关键能力，是今后数学教学的重要施力点.

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