聚焦课标 重组学材 课堂深度教学的探究与实践

肖亚东

[摘  要] 平行四边形的性质是“平行四边形”这一章的起始课. 对于起始课的教学，教师不但要完成本节课固有的知识教学，还要讲清整章的知识脉络. 这节课能否教好，不但取决于教者的已有认知水平，还取决于教者对教材的理解程度，对数学本质、数学文化的诠释程度，以及能否将教材有机整合，能否做到与学生深度对话.

[关键词] 变构;深度对话;裂变学力

变构学材是一种真正的、深度的、最优化的学习. 陆志强教师提出的“变构学程，裂变学力”为变构提供了具体的要求和操作规程. 要做到变构学材，教师要对知识体系的衔接了如指掌，对学生的学习状态一清二楚. 要做有价值的教学，要求教师与学生进行深度对话，而要做到深度对话，则需要教师从学生的角度去理解教材，用动态的眼光阅读学材，关注学情，以任务为驱动，解构旧知并与新知建立关联，同时不断地反思知识体系、调整知识体系，并构建新的知识体系. 下面，笔者以“平行四边形”（人教版）的章起始课为例，尝试变构学材，力求与学生进行深度对话.

课例

1. 探索新知

师：请同学们仿照研究等腰三角形的步骤和方法，来研究特殊的四边形——平行四边形.（教师板书，并在黑板上画出一个平行四边形）

活动一：操作实践.

师：请同学们拿出事先准备好的两个全等三角形，然后拼图. 看看能拼出多少个不同的四边形.

（学生操作并画出拼成的四边形. 同时，教师引导学生将这些四边形进行分类. 这些四边形大致可以分为两类，一类是邻边相等的四边形，另一类是对边相等的四边形. 我们把邻边相等的四边形形象地称为“筝形”. “筝形”这一名词在人教版教材“轴对称”一章的数学活动中有所提及. 而把另一类对边相等的四边形称为平行四边形）

师：同学们在小学已经学过平行四边形了，下面请同学们回忆一下什么是平行四边形，即平行四边形的定义.

生1：对边平行的四边形是平行四边形.

师：生1的说法全面吗？

生2：应该是两组对边分别平行的四边形是平行四边形.

师：生1说的为什么不对呢？

生3：因为梯形也有对边平行.

师：对！梯形是一组对边平行，另一组对边不平行.

（教师板书，并规范讲解平行四边形的表示方法）

师：请同学们对照图形（此处图形略）说出平行四边形的基本元素，即分别说出对边、邻边、对角、同旁内角.

（学生依次说出了对边、邻边、对角、同旁内角）

师：请同学们通过观察与测量，猜想这些元素之间的关系，并尝试用文字语言表达出来.

（学生动手测量，并归纳总结）

生4：我发现平行四边形的对边平行.

师：好，这由定义可知. 定义是最原始的性质，也是最原始的判定. （此时教師写下符号语言）

接下来，教师引导学生继续探究平行四边形的性质. 通过探究与讨论，学生得出如下结论：

平行四边形的对边相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的同旁内角互补.

师：接下来，请同学们证明刚才总结的平行四边形的其中两条性质——对边相等、对角相等. 证明时要注意什么？

生5：证明文字命题时要注意写出已知、求证和证明过程.

（通过证明这两个命题正确，师生共同得到平行四边形的性质——对边相等、对角相等）

设计意图 上述过程通过对平行四边形的探索，进一步巩固了探索等腰三角形的步骤，从而将研究几何问题的经验加以固化. 同时，让学生明白研究四边形问题可以将其转化为证明三角形全等，这也体现了转化思想. 特别地，在证明命题的过程中，教师要引导学生学会用定义去证明.

活动二：如何判断一个四边形是平行四边形呢？

预设效果：首先，学生想到的是平行四边形的定义，然后教师引导学生通过添加边或角的条件进一步得出其他判定方法. 学生通过讨论，会得到如下命题.

两组对边分别相等的四边形是平行四边形;两组对角分别相等的四边形是平行四边形.

接下来，教师让学生证明这些命题是否正确.

设计意图 教师引导学生通过写平行四边形的性质的逆命题得到平行四边形的判定命题，接着让学生证明命题是否正确. 在证明的过程中，教师引导学生将研究四边形的问题转化为研究三角形的问题，即找三角形全等的条件.

2. 巩固新知

例题 （1）如图1所示，在平行四边形ABCD中，∠A ∶ ∠B=2 ∶ 3，求平行四边形ABCD四个内角的度数.

（2）如图1所示，已知平行四边形ABCD的周长为20，且AB ∶ BC=3 ∶ 2，求平行四边形ABCD各边的长.

变式 （1）如图2所示，已知平行四边形ABCD的周长为20，且AB ∶ BC=3 ∶ 2，点E在CD上，若AE平分∠BAD，求CE的长.

（2）如图3所示，已知平行四边形ABCD的周长为20，且AB ∶ BC=3 ∶ 2，点E在CD上，点F在AB上，若AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，求证：DE=BF.

（3）如图4所示，已知平行四边形ABCD的周长为20，且AB ∶ BC=3 ∶ 2，E，F两点在CD上，若AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，则AE与BF之间存在怎样的位置关系？

（4）如图5所示，在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F.

①求证：DE=BF.

②若在CD上任意取一点M作MN⊥AB，垂足为N，则DE，MN，BF之间存在怎样的数量关系？从中你能得出什么结论？

设计意图 上述题组训练能让学生进一步巩固平行四边形的性质，且通过不断添加条件，不仅会让学生得到不同的结论，还会达到一图多变、一题多变的目的，能培养学生思维的广阔性、灵活性、发散性. 解题过程中还提炼出了等腰三角形（由平行、角平分线得出）数学模型，教师强调后，能增强学生的模型意识.

3. 课堂小结

师：通过本节课的学习，你们有哪些收获？

预设效果：（学生的回答）平行四边形的定义、性质，通过类比研究等腰三角形的方法得出平行四边形的性质和判定;研究四边形时可以将其转化为研究三角形，体现了转化的思想;遇到比例可以列方程求解，体现了方程思想.

师：（总结）以后我们在学习新的图形时，可以運用研究已有图形的经验来研究新的图形，以达到触类旁通的目的. 平行四边形有对角线，对角线之间有什么关系，这是下节课研究的内容. 当然，后面我们还要研究平行四边形的判定，以及特殊平行四边形的性质和判定，希望同学们能够带着已有的经验继续研究.

关于课例的几点说明

1. 变构学材的出发点

李庾南教师曾说过，培养与发展学力的教学才是真正有价值的教学. 平行四边形的性质课例有若干种，有的教师从学生的感官出发，通过实物展示总结出平行四边形;有的教师从拼图开始，剪两个完全相同的三角形，通过拼图得出不同的几何图形，再将这些图形进行分类，总结出平行四边形. 而笔者从学生的已有认知结构出发，通过旧知引入新知，前后衔接自如、方法恰当，且进一步推广和应用了研究几何图形的经验. 本课例在变构的过程中吸取了陆志强教师提出的“变构学程，裂变学力”精华，从学生的认知结构出发，在学生的知识生长点处进行变构，这与传统的课例相比，过程更流畅.

2. 变构学材的过程就是与学生深度对话的过程

“平行四边形”（人教版）这一章的前言明确指出，“利用已有的几何知识和方法，探索并证明它们（指平行四边形、矩形、菱形、正方形）的性质定理和判定定理. 进一步体会研究图形几何性质的思路和方法，即通过观察、类比、特殊化等途径和方法发现图形的几何性质，再通过逻辑推理证明它们”. 可见，教师在备课的过程中，不但要备文本内容，还要认真地研读教材的章首语，仔细推敲每一句话的内涵，结合学生的认知规律，在学生的最近发展区内开展有效的教学，这就是与学生的深度对话，也是从“教教材”到“用教材教”的转变. 本课例做到了回顾旧知与探索新知的深度对话，掌握证明与思想方法的深度对话，了解新知由来与旧知体系的深度对话. 与学生深度对话，就是从学生的内心深处出发，挖掘学生的逻辑生长点，符合学生的认知规律，让学生碰撞思维的火花，从而享受到学习的快乐. 平行四边形不是孤立的，它其实是三角形知识的延续，且研究平行四边形的性质与判定定理对后续研究特殊平行四边形、梯形等几何图形有正向的引导作用.

3. 渐次生成结构化板书

美国教育心理学家奥苏贝尔提出了“先行组织者”这一概念. 所谓“先行组织者”，就是先于具体的教学内容而向学生呈现的一种引导性材料，它要求比新知识本身具有较高的抽象、概括和综合水平，能清晰地说明学生认知结构中原有的知识与新知识的关联，用最基本的常识性的概念来勾勒整体轮廓，使学生获得一个总体印象. 在执教的过程中笔者发现，仅凭语言的讲解，教学会显得苍白无力，教学应重点抓住主要知识的生成过程. 在知识生成的过程中，教师要善于捕捉信息，将主要的知识点依次罗列下来呈现在黑板上，最后小结时形成结构化的板书. 比如上述课例，可以罗列出与下列问题有关的知识点：三角形与四边形有怎样的关系？怎样类比三角形研究四边形？从哪些方面进行类比？类比研究的方法有哪些？后续有待研究的知识有哪些？根据上述知识点，最后勾画出完整的知识导图，为后续学习内容的研究指明方向.

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