注重概念的构建过程 理解统计的思维方法

路俊莲 白道洪

摘  要：一个统计量的形成必然有它的必要性和合理性. 通过一节“样本相关系数”课例，以样本估计总体为主要思想，通过问题引领，将教学重点放在统计量的概念构建和优化过程及对统计方法的理解上，引导学生深刻体会引入“线性相关系数”这个统计量的必要性和合理性，逐步渗透统计的思维方法，提升学生的数学学科核心素养.

关键词：统计量;构建与优化;必要性;合理性;统计的思维与方法

在人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）必修二“统计”中，基于数据观察、直观表示及统计特征的刻画等相关知识和方法，我们研究了单个随机变量. 但是在现实中，还需要了解两个或两个以上变量间的关系. 本课例结合现实生活中的具体实例，以样本估计总体为主要思想，在成对样本数据散点图的基础上，定量研究成对样本数据的线性相关的强弱. 笔者通过精心设计的问题串，引导学生探究统计量的构建过程，深刻理解引入统计量的必要性和合理性，重视内容逻辑与认知规律的融合，体会统计思维，深度理解统计的概念和方法，培养学生的数据分析、数学建模、逻辑推理素养.

一、内容解析

1. 教材分析

本节课“样本相关系数”是教材选择性必修第三册第八章“成对数据的统计分析”中8.1.2的内容. 本节内容是必修课程中统计知识的进一步延伸，对于成对样本数据研究两个变量的相关关系，根据先直观描述后定量刻画的原则，体现统计中研究问题的一般思路. 本节课的内容可以让学生初步体会统计量构建的过程，感受由直观想法到严格数学表达的逐步转化过程，通过设计从特殊到一般的研究方法，掌握样本相关系数绝对值的大小可以刻画样本相关程度的强弱，进一步推断两个变量之间相关的正负性和线性相关程度的强弱，为后面利用一元回归模型刻画两个数值变量的相关关系，并利用估计得到的回归方程进行预测奠定基础，也为后面通过抽样数据推断分类变量的独立性，构建卡方统计量做了思想方法上的铺垫.

2. 蕴涵的数学思想和方法

用成对样本数据呈现的统计相关性去估计变量之间的相关性做铺垫，这个分析过程突出了通过数据研究问题的学科特点，散点图无法定量刻画成对样本数据相关程度的强弱，在构造样本相关系数的过程中，先初步建立刻画相关性的数学表达式，再逐步优化表达式，即对数据所做的“中心化”和“标准化”等处理，这些处理是统计学中常用的处理数据的方法，是一种重要的“标准化”思想，渗透了理性思维和科学精神.

统计学习不应该只是让学生记住一些概念、公式和方法实施的操作步骤，更重要的是要了解概念和方法产生的必要性，以及方法的合理性，了解统计的思路和特点，进而用统计的眼光看待问题，体会统计思维和确定性思维的差异，归纳推断与演绎证明的差异，积累数据分析的经验，提升数据分析、数学建模、逻辑推理素养.

在目前的大数据时代，数据分析在实际生活中有着重要的作用，探究事物之间的相互关系非常有必要，研究两个或两个以上变量的相关关系解决实际问题，体现了数学与生活的紧密联系. 数学来源于生活，而又高于生活，通过数据收集和处理信息，感悟归纳推理的思想，能够理解数据中蕴含的信息，通过对信息的处理，可以发展学生的数学建模素养和数据处理能力.

3. 学情分析

（1）学生的已有基础.

学生在必修的学习中，对于统计中的用样本估计总体的统计思想有了一定的了解，接触了刻画单个变量特征的基本量，如均值、方差、中位数、众数等. 在8.1.1的学习过程中，对成对样本数据，学生可以通过计算机绘制散点图，根据散点图直观推断变量之间的相关关系，如正相关、负相关、线性相关三种特殊且重要的相关关系，这些都为本节课定量地研究相关程度的强弱奠定了一定的基础.

（2）学生可能存在的困难.

在构造样本相关系数的过程中，对“中心化”和“标准化”处理的理解可能存在困难;在优化公式表达式的过程中，对公式烦琐的化简过程和表示符号的理解存在一定困难;对探究样本相关系数大小与相关性强弱的关系存在困难.

4. 教学目标

（1）结合实例，由散点图的图象特征构建线性相关系数的数学表达式，了解样本相关系数的大小与相关性强弱的关系;能使用统计软件分析数据，能对统计结果做出合理的解释.

（2）通过逐步优化构建相关系数的过程，体会样本相关系数定义的合理性，积累利用数学工具刻画数据统计特征的经验，了解“中心化”“标准化”是常用的处理数据的方法，能用统计的眼光看待问题，培养学生的数据分析、数学建模、逻辑推理素养.

5. 教学重、难点

教学重点：样本相关系数表达式的构建、优化过程及范围确定.

教学难点：理解“中心化”“标准化”处理的必要性和合理性.

二、教学主要环节

1. 提出問题，引出研究课题

问题1：观察图1 ～ 图4四幅图中，哪些图可以推断两个变量是相关的？哪些图表示的成对数据的线性相关性较强？

问题2：通过散点图可以推断两个变量之间是否存在相关关系，是正相关还是负相关，是线性相关还是非线性相关，但是这些推断都只是定性推断，我们能不能从定量的角度刻画成对样本数据的线性相关程度呢？

【设计意图】通过散点图只能定性判断是否相关，引出本节课的研究目标——构建一个统计量来定量刻画线性相关程度的强弱，让学生初步感受构建一个统计量的必要性.

【设计意图】帮助学生进一步理解样本相关系数[r]的大小在统计中的含义.

说明：当[r=0]时，成对样本数据之间不一定不相关，只能说它们之间没有线性相关关系，但不能排除它们之间具有其他相关关系. 因此，[r]也称为样本线性相关系数.

三、教学反思与感悟

在完成“线性相关系数”的教学过程中，有幸得到了教材主编章建跃博士的亲自指导，使笔者对理解数学、理解教学、理解学生、理解技术都有了新的感悟和提升，促使笔者深入思考. 与此同时，也得到了同组教师的积极支持和帮助. 对于统计的教学，不应该只是停留在只关注统计量的概念和公式上，更应该让学生关注统计量概念和公式形成的必要性和合理性，即关注为什么要构造统计量，怎样构造统计量，为什么这样构造. 只有这样的教学，才能体现数学教育的特有功能，使学生的关键能力得到提升、核心素养得到发展.

1. 基于优质问题情境设计，促进学生理解数学概念

教学过程中，通过问题串的引领让学生充分体会知识的建构过程，发挥了学生的主体作用. 本节课内容多、信息量大，笔者通过设计由浅入深、环环相扣、自然流畅的问题串，先设计具有关联性的大问题，在大问题下设计若干个追问的小问题，问题设计层层递进，有明确的目标，以问题解决或深入理解为目的，体现问题的驱动型、启发性和关联性. 在整个建构过程中，学生真正理解了线性相关系数这个数学概念的产生过程和方法，进一步了解了利用统计研究问题的思路和方法，学会了用统计的眼光看问题.

2. 基于统计概念主动建构，形成统计思维发展基础

数学概念是数学知识的精髓和数学公式的发现过程，是培养学生推理能力的典型素材. 教育家斯托利亚尔指出，积极的数学教学应为数学活动（思维活动）的教学，而不是教学活动直接到数学知识点教学. 教学过程中，通过问题串的引领让学生充分体会到了统计量的建构过程，发挥了学生的主体作用. 笔者先引导学生观察具有正负相关性在散点图中呈现的不同特征，初步构造出了反映增长趋势相同或相反的代数表达式，再通过数据“标准化”对表达式进行优化，最后得到不受样本量和单位等影响的样本相关系数公式. 在建构和优化表达式的过程中，让学生体会到了构造方法的合理性. 学生在获得知识的过程中主动探究，体验知识的发生、发展过程，自主建构知识体系，逐步积累研究统计问题的经验和方法，促进学生思维的发展.

3. 基于信息技术合理运用，激发学生持续学习动机

《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）指出，在“互联网[+]”时代，信息技术的广泛应用正在对数学教育产生深刻影响，在数学教学中，信息技术是学生学习和教师教学的重要辅助手段，为师生交流、生生交流、人际交流搭建了平台，为学习和教学提供了丰富的资源. 同时，《标准》特别强调利用统计软件分析数据. 本节课的教学是在计算机房进行的，每名学生都进行了实际操作. 对于本节课的例题，学生也通过实际操作感受到了信息技术对于研究统计问题的重要性. 利用信息技术计算统計量，避免了大量烦琐和复杂的运算，把学生从机械、烦琐的数据处理中解放出来，把更多精力集中在统计概念和方法的理解上，从而提高学习效率. 当处理数据不再困难时，学生学习统计和应用统计的兴趣也就提高了.

4. 基于发挥学生主体作用，提升学生数学核心素养

本节课突出了以学生为主体的学习模式，教学流程层次分明，每个环节都有明确的设计意图，体现了“做什么”“怎么做”的思维逻辑性，充分发挥了学生的主体作用. 整个教学过程不只是使学生获得了知识，更重要的是发展了学生的能力，提升了学生的逻辑推理素养，使学生积累了利用数学工具刻画统计特征的经验. 学生经历了从统计直观到数学表达的概念形成过程，从中积累经验，体会统计思想，积累数据分析和处理的经验，感受、体验了问题解决过程中的思维逻辑，真正做到让核心素养落地生根.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]章建跃. 如何理解“数学是玩概念的”[J]. 中小学数学：高中版，2015（2）：封底.

[3]章建跃. 数学课堂教学设计研究[J]. 数学通报，2006，45（7）：20-26.

[4]李善良. 我国高中数学课堂教学过程的演变与评析[J]. 数学通报，2010，49（2）：19-29.

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