向量加法法则体系建构的问题情境和逻辑关系

徐道奎

摘  要：向量加法是向量运算的基础. 向量加法教学中，要把握法则建构的基本问题，设置有利于概念生成和法则建立的问题情境，依据知识的内在逻辑关系组织教学. 通过问题引导，让学生理解向量加法的意义，领悟向量加法的数学本质，要按照学生易于理解的方式建构法则，使学生在情境中分析归纳、抽象概括，要通过知识的内在逻辑联系发展规则体系，培养学生的数学思维和能力素养.

关键词：向量加法;法则体系;问题情境;逻辑关系

在平面向量运算体系中，加法运算法则是一个核心内容. 这是由于加法运算法则不仅是向量线性运算的基础，是平面向量基本定理、向量数量积运算的基础，也是今后进行向量其他运算的基础，其地位举足轻重.

向量是一个既具有大小又具有方向的量，是数学发展进程中产生的一个“新”的量，其运算意义、运算方法及运算规律不能完全类比实数运算，需要重新建立，依据其内在的规律和逻辑关系，全面构建规则体系. 教学中，如何以问题导向设计情境，如何依据逻辑关系抽象概括建构法则至关重要.

一、向量加法法则建立的基本问题

向量加法法则的教学必须面对以下问题.

（1）向量加法的意義是什么？对于这个新引入的量，其“加”的含义是什么？我们为什么要研究“加”？研究“加”是基于什么考虑？这个问题回答不了，解决不好，就会动摇向量运算的根基.

（2）为什么我们研究的是“自由”的向量？向量的特征是数量和方向兼备，即考虑向量问题必须兼顾大小（数量特征）和方向（位置特征）. 数量相同、方向一致的向量是相等向量，能否在相加时用相等向量相互替代？也就是说，向量加法需要不需要考虑向量具体在什么位置？能否平移？亦即为什么我们研究的是“自由”的向量.

（3）向量相加情境引入的是依据实际的意义还是基于学术的考虑？如何设置情境才能凸显“加”的意义和“加”的结果，并在此基础上进行数学抽象得出加法法则？

（4）两个基本法则（平行四边形法则和三角形法则，下同），以及共线向量、多个向量的加法运算及加法运算律之间的逻辑关系通过什么路径显现？具体地，应按照怎样的逻辑顺序教学？怎样由“基本法则”推出其他法则？

（5）怎样通过加法运算理解零向量？

（6）怎样构造“向量回路”？怎样在向量回路中运用加法法则？

（7）向量加法法则是以“形”的形式呈现的，是“几何的”法则，这个几何法则有没有具体的数量关系（长度与角度），怎样求出？

二、向量加法法则建构的情境设置

向量加法是结构严谨的规则体系，也是一个概念体系（广义的），解决上述问题的关键是设置好法则形成的问题情境，情境设置既要保证法则形成自然而然、恰时恰点，又要考虑有利于概念体系的丰富和完善，使得法则的建立有一定的逻辑基础，顺应知识发生发展的逻辑路径，能够体现知识的相互关联. 正因如此，最原始的概念生成和法则建立非常重要.

向量概念源自物理学，所以向量运算也有相应的物理背景. 人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“教材”）正是基于向量实际背景的考量，通过物理学上的两个矢量运算模型设置情境. 一是由位移模型抽象出向量加法的三角形法则;二是由力的合成模型得出平行四边形法则，再通过求向量和的作图例题的两种解法，比较、分析、观察其结果，强化两种法则的等价性.

1. 以情境阐释“加”的含义和“加”的结果

向量是一个“新”的量，我们要研究“新”量之间的关系，首先是研究它们共同作用的效果，合成的结果，我们称之为“加”，这里的“加”是向量的“共同作用”，抽象为数学符号“+”. 为什么要研究其共同作用的效果、合成的结果？也就是为什么要研究“加”？情境本身说明了是生产实践的需要，当然也是数学研究的需要. 对初学向量的学生而言，这是一个难点. 在情境中解释说明，是最好的办法. 情境至少有两个作用：一是能够解释我们研究向量“加”是什么含义，是基于什么考虑;二是情境能够使我们知道“加”得到的是怎样的结果. 情境中的问题弄懂了，再进行数学抽象，问题就解决了.

概念产生、规则形成的历史背景和引入概念、建立规则的必要性是知识产生的基础和前提，设置概念、规则的教学情境要尊重这一客观现实.

2. 为什么三角形法则在前，平行四边形法则在后？

学生在学习一个全新的概念时，认知是模糊的，反应是迟钝的，不能过于追求学术上的缜密和严谨. 向量“加”的意义和“加”的结果要以学生能够理解的方式构建，位移的三角形法则有其独特的优势.

（1）更具直观性. 用同一质点的两次位移最终效果等价于一次位移的结果，抽象出两个向量[AB]，[BC]，合成结果是[AC]，[AB][+BC=AC]，以此为“最原始”的结论，得出向量“加”的意义，学生易于理解. 同时，三角形法则相比其他法则更能够直观地解释[AB]，[BC]相加不是数量的相加，不是单纯大小计算，也不是单纯方向的改变，而是数量与方向按照一定规则的演变，这样的“加”是向量的一种合成，这个合成的规律就是三角形法则.

（2）契合学生的认知. 高一物理学中，学生已经学习了位移的概念，对两次位移的合成结果或最终效果能够理解，即使没有学习，也可以“感知”和“想象”.

（3）易于延伸. 三角形法则简洁明了，其作为原始法则，除了更容易抽象出向量加法的形式化法则[AB+][BC=AC]外，由三角形法则得到多边形法则，构造“向量回路”等更直接.

（4）如果把平行四边形法则作为“起始”法则，也可以得到加法法则并以此推出其他法则，但显然没有三角形法则容易理解，物理学中矢量合成的平行四边形法则建立在“实验操作”之上，是基于实验规律总结，完成这个实验必须借助于一定的实验器材. 因为，若平行四边形法则在前，从数学教学的实际考虑，只有直接用物理学力的合成结论，这与直接告诉学生结论没有区别.

当然，三角形法则和平行四边形法则各有特点，孰先孰后可以结合学生情况决定.

3. 为什么要选择两个模型？而且是通过物理学的模型得出？

（1）因为学生已经在力学中学习了力的合成与分解，尤其是“共點力”的合成，是学生熟悉的结论，属于学生已经认知的范畴.

（2）三角形法则经过“演变”也可以得出平行四边形法则，但会涉及相等向量在加法法则中的替代，需要讨论加法中向量的“自由性”问题，在没有形成较为完整的规则之前，两种法则的互相转化，显然没有通过模型得出两个法则，再说明两者等价更好. 因此，教材进一步挖掘学生已有的认知，用物理学中力的合成模型，亦即通过实际情境得出平行四边形法则.

（3）实际情境（力的合成）中得出的平行四边形法则能够帮助学生很好地理解向量“加”的意义. 从物理意义的角度分析，“力的合成”比“位移合成”更具“加”的意义说服力，更容易抽象出“加”是向量共同作用的效果和向量合成的结果.

三、基于情境的逻辑建构和问题引导

如上分析，向量加法规则体系建构意义、作用不可小视，应该如何利用情境引导学生进行逻辑建构、让学生自主体验，提升学生的数学能力呢？

1. 基于情境的向量加法法则体系形成的逻辑顺序

向量加法法则体系建构的逻辑顺序为：情境1（位移情境）—向量“加”的含义—向量“加”的结果—向量加法法则—情境2（共点力合成情境）—向量“加”的含义—向量“加”的结果—向量加法法则—两种法则的等价性—向量“加”的运算律—多个向量相“加”（如向量回路中的加法运算）.

构建加法法则时，以情境为基础，重点引导学生理解“加”的意义和结果，将运算对象抽象，建立起“加”的法则，培养学生利用数学模型进行抽象概括的能力;建立向量加法法则体系时，以情境为契机，重点引导学生分析两个法则的等价性，“加”的运算律（交换律、结合律），向量回路中的加法运算，培养学生知识的迁移运用能力和逻辑思维.

2. 基于情境的以问题为导向的知识建构

在情境中解决问题，引导学生发现并总结规律，要充分发挥情境的作用，以问题为导向. 向量加法法则、运算性质（运算律）的获得都不能“想当然”，都需要依赖情境在问题解决中完成.

在设置位移情境后，提出如下问题.

（1）两次位移的合成效果、累积结果相当于一次怎样的位移？把这个“一次位移”作为两次位移的合成、累积结果，并定义为位移的“加”，两次位移相“加”的结果是什么？

（2）如果把上述“位移向量”抽象为一般向量，你怎么理解向量相加中“加”的含义和“加”的结果？

（3）上述相加的法则中，两个向量之间具有怎样的位置关系？

（4）把上述模型中的向量用有向线段表示，你可以得出形式上的什么结论？怎样把这个结论进行推广（语言描述）？

（5）用三角形法则把三个及三个以上向量相加，结果是什么？又有什么结论？

在设置平行四边形法则情境后，提出以下问题.

（1）平行四边形法则中相加的两个向量有何位置关系？

（2）用平行四边形法则与三角形法则进行运算，其结果一样吗？

（3）试用两个法则解释，[a+b]与[b+a]相等吗？由此你可以得出什么结论？

（4）作图比较[a+b+c]与[a+b+c]的结果，由此你可以得到什么结论？

上述问题解决始终围绕着情境展开，是建立在情境基础之上的抽象概括和逻辑推理.

数学源于对现实世界的抽象，通过抽象得到数学的研究对象，通过抽象把研究对象及其结构用符号进行运算、推理，从而理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律. 因此，抽象是数学产生及发展的前提，而情境是抽象的基础，也是思维的基础.

四、向量加法法则深化的逻辑引领

数学概念体系、规则体系的确立最终要依靠数学思维，要依赖逻辑推理，没有对数学概念的深刻理解，就难以有真正的思维活动. 向量加法规则体系的内涵非常丰富，其包含的基本要素多，远不是构建出三角形法则和平行四边形法则就能够讲清楚的，还会涉及许多问题.

1. 加法法则中向量的“自由性”

在位移合成和共点力合成的问题情境中，都巧妙规避了向量的平移问题，向量加法的三角形法则中的两个向量是一个向量的起点接着另一个向量的终点，与位移情境正好吻合，平行四边形法则中要求两个向量同起点，而共点力合成正好满足. 两个法则中，都要求两个向量的位置关系特殊. 那么，不具备这样特殊位置关系的向量如何相加？实际上涉及向量的位置移动（平移），亦即我们研究的向量是“自由”的. 显然，自由的向量才有力量. 如何让学生理解这个问题？如果不讲清楚其内在的逻辑关系，学生对向量加法包括例1中的两种方法作出两个向量的和难以真正领悟.

从向量的本质特征分析. 大小、方向是向量最基本的本质属性，满足大小相等、方向相同的两个向量应该是完全相同的. 这是向量相加可以通过平移转化的逻辑基础.

从三角形法则、平行四边形法则的等价性分析，两个法则等价自然说明在加法运算中，相加的两个向量是可以任意平移的. 因此，教学两个法则之后，可以结合图形分析其结果的等价性，再通过例1的两种解法得出相同的结论的事实予以强化.

2. 加法法则与零向量存在的合理性

引入零向量不仅是为了使向量知识结构完整，也是向量相加的实际需要. 大小相等、方向相反的两个向量相加时，向量的大小是0，既可以从“广义”的三角形法则理解，也可以按照情境（共线向量相“加”）说明. 亦即，必须引入大小为0的向量，但大小为0的向量方向如何呢？是否需要规定？我们知道，数学原理中，“特殊”不能失去一般性，零向量也应该有方向. 向量“加”的结果仍然是向量，共线向量相加，如果大小不是0，其方向应该与共线的两个向量之一方向相同，而不同“走向”的相反向量相加的结果都是大小为0的向量，如何区分这些大小为0的向量呢？只有规定零向量方向任意（不确定）才具有合理性. 但规定“零向量方向任意”对于学生而言很难理解，并且实践中涉及零向量时，多数只要考虑大小为0即可，而之后的零向量与任意一个向量平行或垂直，可以根据需要规定. 因此，教材没有明确指出和刻意规定零向量的方向任意，但实际上，零向量的方向是任意的.

3. 加法法则的学术情境与教学情境

向量加法是向量运算的起始课，学习的内容相比之前是具有开创性的，教学的著力点应放在如何切入上，关注更多的是怎样才能让学生领悟，学生初学向量这一时段，感性多于理性，从教学的角度上看，过于追究学术严谨没有必要.

文[1]和文[2]从学术层面解释了为什么向量合成遵循三角形法则，文[3]直接给出向量加法的平行四边形法则的定义，而教材给出的向量加法法则是基于物理学应用模型基础的数学抽象，显然更符合学生的认知和知识形成的规律. 教材中向量加法的案例引入不是空穴来风，物理学尤其是工程力学的实践及实验早已总结出矢量合成的规则，数学家则从理论上加以系统和完善. 因此，从数学教育这个角度来看，向量加法应该以一定的实际背景为基础，与教材配套的教学用书在“教科书的编写意图及教学建议”中也进行了明确说明.

通过情境，让学生有更多的体验与感悟，并亲历抽象概括的过程，使感性上升为理性，就能不断地将知识内化为素养，这是数学教学中始终如一的追求.

4. 加法法则的数形融合

当我们把数形统一起来考虑时，对这两者的认识都会变得更深刻. 向量加法的几何法则[AB+BC=][AC]经过演变可以得出[AB]，[BC]及[AC]的数量关系和方向关系（如数量积或在数量积基础上推出的正弦定理和余弦定理），反之，通过它们的关系（正弦定理和余弦定理），又可以求出向量[AB]，[BC]相加而得到的向量[AC]具体的大小和方向（夹角）. 学生初学向量时，对向量运算的几何法则不习惯，教师可以告诉学生，这个几何法则中，形的法则里有数的关系，数量关系在本章学习之后即能解决，向量的运算法则是以平面几何的相关定理作为逻辑基础的. 因此，从这个意义上讲，向量加法法则是数与形的完美结合，[AB+BC=AC]既是形的法则，也是数的关系，数与形是统一的. 概念、规则教学中，要着力深化学生对概念内涵与知识意义的认知，依据推理思维构建数学理论体系，概念、规则的教学既要瞻前，又要顾后;既要横向，又要纵向. 要通过挖掘、引申找到逻辑关系：法则间的逻辑关系，规则体系内的逻辑关系，形与数的逻辑关系. 形成概念网络，建立概念联系体系.

五、结束语

向量的内涵深刻、背景丰富，因此向量教学是培养和发展学生素养的良好契机. 运用数学思维构建运算体系，要吃透教材、研究教材、挖掘教材，精心设计情境、利用情境，引导学生抽象概括、分析推理，从知识的直观性和逻辑性出发，让学生领悟向量相加的数学本质，培养学生的创新思维方式. 要重视向量运算起始课的教学，上好向量加法这个核心内容，为整个章节乃至学科的学习打好基础.

参考文献：

[1]吕松涛. 平面向量加法运算的本质及教学思考[J]. 数学通报，2020，59（9）：43-47.

[2]章建跃. 利用几何图形建立直观通过代数运算刻画规律：解析几何内容分析与教学思考（之二）[J]. 数学通报，2020，59（8）：1-10，26.

[3]陈光立. 新课程高中教师手册：数学[M]. 南京：南京大学出版社，2012.

[4]王钦敏，余明芳. 数学思维素养深度涵育：教学的进路与方略[J]. 数学教育学报，2020，29（6）：56-60.

[5]王晓峰，周海东. 数学实验与“数与代数”教学[J]. 数学通报，2020，59（5）：33-36.

[6]袁瑶，刘咏梅. 基于数学运算素养培养的平面向量教学思考[J]. 中国数学教育（高中），2019（10）：14-18.