从教材知识到核心素养的跨越

陈利民

摘  要：通过对新、旧教材中“立体几何”的对比，了解教材知识内容、编排顺序的调整情况，分析教材编排的意图与亮点，重点感悟数学学科核心素养在章节知识中的培育和渗透，为立体几何教学提出有益的意见和建议，从而实现从教材知识到核心素养的跨越.

关键词：结构特征;编排顺序;核心素养;教学建议

人教A版《普通高中教科书·数学》（以下统称“新教材”）必修第二册中的“立体几何”内容遵循从具体到抽象、从整体到局部的原则，在内容的编排上更加符合学生的认知规律. 从生活中的实物出发，研究物体的形状、大小和位置关系，让学生充分感知数学与生活密切相关，数学是有用的，数学是具有美感的. 从形状入手抽象出几何体的结构特征，从大小入手探求表面积和体积的计算方式. 在此基础上，抽象出立体几何的数学本质特征，即空间点、线、面的三个基本事实，进而重点研究空间线线、线面、面面的平行与垂直关系. 在这一过程中，初步体验直观感知、操作确认、推理论证、度量计算的立体几何研究方法，使学生的数学直观、逻辑推理和数学运算等数学学科核心素养得以有效提升.

一、新、旧教材结构体系的差异

新教材的编排充分体现了“优化结构、突出主线、精选内容”的12字理念，主体内容基本保持稳定. 与人教A版《普通高中课程标准实验教科书·数学2必修》（以下统称“旧教材”）相比，在部分内容的顺序和例题的选择上有所增加或删减. 新、旧教材之间的差异，主要体现在如下五个方面.

一是新教材删除了三视图这一内容. 一方面，是因为这一内容在初中教材中已经有所涉及，高中信息技术教材中也有更加详细的介绍，借助现代信息技术可以更好地展现;另一方面，从章节的内容主题上讲，三视图与空间几何体的结构特征这一概念的构建并没有直接的关联，删除三视图内容可以更加凸显学习目标.

二是将旧教材中的三个公理调整为三个基本事实，且编排顺序进行了调整. 基本事实1给出平面的确定性，描述点与平面的关系;基本事实2描述直线与平面的关系;基本事实3描述平面与平面的关系. 这样依据从点到直线再到平面的顺序来刻画平面的概念，更加符合学生的认知规律，再用说理的方式给出三个推论，使学生对平面这一不加定义但又在空间无限延伸的概念有了更清晰的认识，为后续研究线线、线面关系打好基础.

三是將旧教材中的平行公理改为基本事实4，内容编排从原来的空间直线关系调整到研究平行关系这一章节中，使得知识体系更加自然化.

四是在研究空间平行与垂直这一重点内容时，旧教材先研究线线平行和面面平行的判定，再研究他们各自平行所具备的性质（线线垂直和面面垂直亦是如此）. 新教材在编排顺序上进行了调整：先研究线线平行的判定，接着给出线线平行的性质;先研究面面平行的判定，接着给出面面平行的性质（线线垂直和面面垂直亦是如此）. 这样的编排，体现单元小章节间知识的连续性和系统性，更有利于学生对知识的理解和掌握.

五是在球的体积公式的推导上，旧教材只表明“这个公式以后可以证明”，而新教材采用类比的方法，引导学生通过“分割、求近似值、极限的思想”进行推导. 类似地，在台体体积公式的推导上，旧教材也是直接给出公式，并提示学生思考柱体、锥体、台体体积公式之间的内在联系，而新教材不仅以归纳的方式和动态变化的观点给出三个公式之间的本质关系，还在描述线面距离和面面距离的含义后，以用大棱锥减去小棱锥的体积的方式对台体的体积公式加以推理证明，有效设置思维坡度，让学生的逻辑推理、数学运算等素养得到培养.

二、新教材编排意图亮点分析

1. 巧设思维梯度，培育学生自主学习能力

新教材“立体几何”整章内容的编排更符合学生的认知规律和思维习惯，按照“整体入手—直观特征—抽象本质—研究关系”的思路层层展开，在尽量满足数学逻辑严谨性的框架下，在许多细节的安排上巧设梯度，搭建思维循序渐进的“脚手架”，为学生理解和掌握立体几何的研究方法和核心知识提供由感性到理性的学习过程. 例如，针对“立体图形的直观图”，旧教材在介绍长方体的斜二测画法之后，立即给出一个圆锥和圆柱组合体的直观图，其实这个跨度还是有些大的，学生既要考虑圆的直观图如何画，还要考虑组合体遮挡部分怎么处理，思路往往受到阻碍. 而新教材不仅在篇首给出“矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子”“远处的农田”的实例图片，还在长方体和组合体的斜二测画法中增加了圆柱体的斜二测画法，这一暗设的“脚手架”降低了方法迁移的难度，有效铺设思维进阶的阶梯，让学生产生“跳一跳，够得到”的愉快学习体验，有助于激发学生的学习内驱力，培育他们的自主学习能力.

2. 依据单元教学设计理论，帮助学生深入理解内容本质

“学科核心素养”一词已经逐渐被广大一线教师接纳和认识，但是我们必须深刻认识到，数学学科核心素养不是教师教出来的，而是在教师的主导下，依据具体的问题情境，在问题解决的实践中对学生潜移默化进行培育涵养的. 新教材立足单元教学设计理论，立体几何章节以核心知识系统为主线，将具有关联性的知识合理整合，在内容删减、编排顺序、例题选择上科学安排，凸显本单元蕴涵的数学思想和研究方法. 因此，我们要站在章节甚至数学课程的高度去研读文本，连贯地理解目标，突出学科知识的系统性. 新教材在部分内容的处理上巧做调整，创设了一些具体问题探究情境. 例如，对三个基本事实的顺序的调整;重点研究线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直时，遵循先判定定理再性质定理，在小节点上形成内部闭合系统;推导球体和台体的体积公式时，采用类比联想、无限分割（整体减局部）、极限思维等数学常规转化技能，把对公式的单纯记忆和运用，转化为探究与发现，有效助推学生理解数学知识的本质，帮助他们体验立体几何学习的一般方法，强化提升学生的直观想象、逻辑推理和数学运算等素养.

3. 渗透研究方法，发展直观想象素养

几何直观和空间想象能力对学好立体几何至关重要. 扬长避短，借助实物教具和现代信息技术手段巧设问题情境，有效激发学生的直观想象素养，是学好本章知识的关键. 针对立体几何的知识特点，新教材在章节开始设置了篇首语，教学中要引导学生认真阅读，明确这一章的核心知识内容，初步感知章节学习的基本思想方法：直观感知（识图）—操作确认（画图）—推理论证（证图）—度量计算（算图）. 新教材在章节内容安排上很好地体现了这一认知过程. 高中生的形象思维强于抽象思维，因此，新教材采用了大量生活中的实物图片，帮助学生更好地思考如何在二维平面上表述三维空间图形，从实物模型抽象出几何体结构特征，再从斜二测画法下的直观图想象还原成空间图形. 在这一反复过程中架构出空间结构概念，体会空间问题平面化处理是立体几何问题解决的一般化思路.

4. 依托问题链接，提升问题解决能力

具有核心主题的问题链，可以为学生的数学学习提供脉络清晰的骨架，引导学生的思维层层递进，在以往知识经验的基础上建构新知识的概念，实现一定跨度间的思维飞跃. 因此，新教材在许多章节中设置了一定数量的“思考”与“提示”，区别于旧教材，这些思考与提示往往是有中心、有主题、有序列、相对独立而又相互联系的问题链，指明数学节点问题研究的方向，避免学生走思维弯路，提升学生问题解决的能力. 例如，新教材对于两个平面平行判定的研究，给出了如下一系列问题：① 类似线面平行判定，如何把面面平行问题转化为线面平行问题？② 如果一个平面内任意一条直线平行于另一平面，那么这两个平面一定平行吗？③ 如何判定任一直线平行于另一平面？有无简便方法？④ 一个平面内两条相交直线或平行直线都平行于另一平面，能否判定两个平面平行？⑤ 根据基本事实的推论，相交或平行的两条直线都能确定平面，为何相交直线可以判定面面平行，而平行直线却不能？你能从向量角度解释吗？这五个问题串联起一条环环相扣、步步深入，指向面面平行本质的问题链，以问题解决为最终指向，逆向寻求问题成立的充分条件，联系已经学过的知识和问题解决方法，在步步为营的探究思考中锤炼学生的思维品质，而向量知识的拷问又很好地串联起跨章节知识间的联系，说明数学知识是一个有机的整体. 这样的问题情境，可以帮助学生在以往“记忆、理解、运用”的基础上，实现向“分析、评价、创造”这一问题解决能力提升的高品质思维跨越.

三、基于新教材的若干教学建议

《普通高中数学课程标准（2017年版）》提出，高中数学教学要以发展学生的数学学科核心素养为导向，学生通过学习，要在获得“四基”、提高“四能”的过程中，学会用数学眼光观察世界，用数学思维思考世界，用数学语言表达世界，提高数学学习兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，自主学习能力得到发展，并逐步树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神，不断提高实践能力，提升创新意识，提高对数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值的认识水平. 基于核心素养视域，结合对新教材“立体几何”章节编排的理解，笔者提出如下五个方面的教学建议.

1. 加强对一般观念的引导，明晰基本思路方法

所谓一般观念，是对研究对象所反映的数学思想和方法的一般性回答，旨在明晰研究什么、怎么研究的问题. 例如，平面是一个不定义的概念，如何理解平面的本质属性，我们可以借助集合的观点，无论是直线还是平面，都是空间中无数个点构成的集合，直线的无限延伸性决定了平面的无限延伸性，结合三个基本事实和三个推论，学生对空间研究中涉及的平面概念的理解就完全明晰了. 又如，本章节的核心知识点——研究空间直线、平面的平行与垂直问题和判定定理，都是从生活实践中的直观感受出发加以科学地推理论证，而对性质问题的深层次理解，我们可以在基本章节学习之后，把直线与平面平行或垂直的性质、平面与平面平行或垂直的性质进行对比分析，研究共性之后就会发现，这些性质其实就是在一定的位置关系下，空间其他直线或平面与既定位置关系下的直线与平面确定的位置关系. 例如，研究直线[a]垂直于平面[α]的性质，就是考量在线面垂直的前提下，空间其他直线[b]与平面[β]和它们之间的位置关系. 显然，若直线[b]也垂直于平面[α]，则直线[a]平行于直线[b];若直线[b]平行于平面[α]，则直线[a]垂直于直线[b];若平面[β]垂直于平面[α]，则直线[a]平行于平面[β];若平面[β]平行于平面[α]，则直线[a]垂直于平面[β].

2. 利用空间几何实物模型，发展直观想象素养

立体几何是研究空间物体形状、大小和位置关系的学科，对学生的空间概念、空间想象力要求比较高. 新教材中的整个章节，都是从具体的实例出发，既有生活中具有一定美感的建筑物（柱、锥、台、球模型），也有与日常生活密切相关的诸如旗杆与地面、学校教室、体育馆等，教师要引领学生分析共性，帮助学生抽象结构本质，使他们既能够通过图形来描述几何体的本质特征，又能够通过本质特征来想象几何体的原型，发展空间想象力. 在这一过程中，几何体实物模型可以起到很好的桥梁作用. 因此，教师要格外重视利用生活中的模型（如长方体型的橡皮擦、教室的空间等）引导学生通过观察发现基本图形中的平行与垂直关系，以及长方体切割后与棱柱和棱锥的关联等，加强直观引领，更好地培养学生的数学抽象、直观想象素养.

3. 把握循序渐进的教学原则，合理掌控教学要求

对高中生来说，立体几何知识体系是全新的，不同于函数、向量等代数知识. 立体几何历来是一部分高中生学习的难点，原因在于其内容比较抽象，需要学生具备良好的空间想象能力，这种能力的培养不可能一蹴而就，需要教师在教学中循序渐进，合理掌控教学要求和难度，既要保障知识点的落实，又要保护好学生的学习积极性，通过激发兴趣增强学生的学习内驱力. 因此，教师在教学中要具备“三观”，即整体观、核心观和发展观. 整体观是指要整体思考和把握每一部分在整个章节中的地位和要求，切忌盲目拓展和拔高. 例如，棱柱的概念和性质的学习，在师生共同描述棱柱的结构特征后，教师往往会追问：有两个平面平行、其余各个面都是平行四边形的多面体一定是棱柱吗？学生一般会回答“是”，因为基于对棱柱结构的认识，脑海里想不出反例，教师可以借助信息技术呈现两个面对接的凹多面体形态，但是切记不要补充太多，让学生了解即可. 核心观是指要重点分析讲解本章的核心知识点，阐述核心知识的脉络结构，特别是研究学习的一般思路与方法. 例如，直线与平面平行或垂直、平面与平面平行或垂直，通过类比联想、空间问题平面化处理等方法，让学生知晓研究对象是什么，以及如何开展类似研究等，用数学眼光看世界、用数学思维思考问题远比掌握结论更重要. 发展观是指用动态联系的观点思考问题，用发展的眼光看问题，掌握一类问题的解决方法，为后续的数学学习打好基础. 例如，对球体体积公式的推导，新教材采用分割、求近似值、求极限的思想方法;对台体体积公式的推导，不是放在求表面积和体积这一节点，而是放在线面距离和面面距离的概念之后，用大棱锥的体积减去小棱锥的体积的方法推理论证. 这种思想方法的重要性大于自身結果的重要性，教学中也不宜过分强调推导过程，过分渲染复杂计算，方法的体验有助于学生对数学的奇妙产生好奇，今后章节内容的多次尝试会使方法的掌握水到渠成.

4. 适当渗透数学文化元素，培养科学探索精神

数学承载着思想和文化，是人类文明的重要组成部分，几何学发展的历程，不仅昭示着历代数学家伟大的科学智慧，更是他们不畏艰辛、勇于探索、求真务实的科学精神的伟大体现. 教学中，教师可以引导学生阅读新教材上的拓展性材料，鼓励学生利用课余时间，上网查找相关人物资料，了解几何学发展史上的重要事件和时间节点. 例如，蒙日和画法几何，欧几里得和《几何原本》，祖暅和体积计算原理，等等. 通过查找资料，学生能够了解立体几何产生的知识背景和数学人物事迹，感悟对几何学发展做出重大贡献的数学家们的科学探索精神. 同时，通过对已有数学成果的学习，学生能够体验到数学对人类文明做出的重大贡献，感受数学文化的魅力，从而激发学习兴趣，更好地理解数学概念的本质，培养科学探索精神，增强学好数学的信心. 这也是数学育人功能的良好体现.

参考文献：

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