探寻数学思想的实际应用与价值

王明建

[摘  要] 数学思想是数学学习的灵魂. 它具有协助学生感受知识的本质、构建知识、启发思维、提高解题能力等重要作用. 当前，部分教育者仍未完全认识到数学思想的应用价值. 因此，文章从以下三方面具体谈谈数学思想的实际应用与价值：数形结合思想，形成直观理解;函数与方程思想，简化问题难度;分类讨论思想，优化解题思路.

[关键词] 数学思想;数形结合;分类讨论思想

思想是指客观事物经思维活动后反映在人类意识中的一种产物. 数学思想作为科学思想的一类，能优化学生的认知与思维结构，协助学生形成新的知识体系. 教学中，利用数学思想能将互不相干的知识点联系到一起，在知识的互相转化中，深化学生对知识的理解程度.

复习是对知识的整理、归纳与提炼的阶段，怎样灵活运用所学知识，提高解题能力，发展思维水平是教师所关注的问题. 实践证明，数学思想的运用是实现这一切的手段之一. 因此，笔者就常见的几种数学思想的实际应用与价值谈一些认识.

数形结合思想，形成直观理解

数形结合思想是学生较早接触到的一类思想，学生在接受数学启蒙时就会涉及这类数学思想. 它能将抽象的文字知识用直观的图形来表达，让学生能一目了然地理解题意，找出问题的症结. 在高中阶段，随着教学难度的加大，抽象性也越来越强. 有些试题光理解文字就需要费一番功夫，而图形结合的使用则能将很多逻辑性很强的东西直观地表达出来，让一些非常抽象的问题变得直观、易懂.

数形结合思想不仅能将抽象的知识用图形表示，同时也具有将图形转化为文字的重要作用. 不论是“以形助数”还是“以数解形”，都具有帮助学生化繁为简、优化解题方法的重要作用. 因此，数学思想是学好数学的根本，它对学生各种能力的培养有着无可替代的重要价值.

本题涉及用数形结合思想解决取值范围的问题，此类问题的解题关键点在于用一定的方法在直角坐标系中作出方程的曲线，在此基础上将待求的最值转化为学生熟知的直线在y轴的截距，观察绘制而成的图形，基本就能解出本题.

根據数与形之间存在的联系，将它们进行相对应的转化来激活学生的思维，使得难以理解的抽象问题变得直观、具体、通俗化. 因此，数形结合的方式能有效地帮助学生理解问题的内涵，它充分体现了数学的灵活性与规律性等特征.

函数方程思想，优化解题思路

函数思想是从变化和运动的角度去思考与解析数学对象之间存在的数量关系，构建函数后，利用函数的性质或图像对问题进行转化、分析与解决. 函数思想在数学中的运用较广泛，它具有加强学生对函数本质的理解，从函数的角度去分析、思考并解决问题等作用. 因此，它不仅能激活学生的思维，还能让学生在问题的分析与解决中培养思维品质.

方程思想指根据问题中存在的等量关系，构建方程或方程组. 它与函数思想的共性是构建新的模型转换原问题，以简化问题难度，从而顺利解决问题. 方程思想更全面地诠释了变量中的等量关系，将抽象的问题变得简洁化.

通常情况下，这两种数学思想有着密切的联系. 高中数学中不少涉及函数的问题都是用方程来解决的，同时又有不少方程类的问题，是运用函数来解决的. 因此，它们之间存在着一定的辩证关系. 这两种数学思想的使用能进一步优化学生的思维与解题方法.

使用函数处理各种数学问题是常态，尤其是关系到数列的问题，基本都可以用函数思想来解决. 数列前n项的和或通项都是正整数的函数，解题中从变量与函数的角度去观察与分析问题，会简化问题的难度，使得解题水到渠成. 学生的思维也在函数思想的刺激下得以有效发展，这也为学生解题能力的发展与数学素养的提升奠定基础.

分类讨论思想，简化问题难度

分类讨论思想是将一个完整的问题，通过分割或分解的方式，转化为若干个子问题，再逐个突破子问题，以达成解决整个问题的目的. 此数学思想在整个数学学习中，占有相当重要的位置，它最大的优势在于分解复杂的问题，简化问题难度. 分类时，必然涉及一个分类的条件或标准，此标准即相当于为原题增设了一个已知条件，作用为将一个难度系数偏大的问题分解为一系列难度系数较小的基础性问题.

一般分类讨论的解题，我们可遵循以下几个步骤：①首先应确定本题待分类的对象（参数或变量）;②进行合理分类，明确可以分为哪几类;③根据分类情况将分好类的问题一个一个突破;④汇总分类讨论的结论，作解题的最终总结.

此题中，a的取值范围对函数的性质产生了直接的影响，因而需要分两种情况进行讨论. 本题分为a>1与0

高中数学学习的短期目标是面对高考，从高考命题者的角度出发，数学考核绝对不是考查孤立的知识点，而是考查学生对数学本质的认识，即完整的知识体系与数学思想的应用. 而从高中数学学习的长远目标来看，为的是发展学生的思维，培养学生的可持续性发展能力与核心素养. 因此，教师应从思想上重视数学思想的渗透与应用，鼓励学生积极开动脑筋，拓展解题思路，将更多、更好的数学思想应用于日常学习中，以促进学生学习能力的提升.

其实，常用的数学思想除了以上几种之外，还有其他很多类，如特殊与一般、转化与化归等. 想让学生达到知识的灵活运用与能力的提升，就应从课堂教学的方方面面关注数学思想的归纳、提炼与整理，以简化问题的难度，优化学生的思维，提升题解能力.

总之，对数学规律理性的认识体现在数学思想的灵活运用，学习数学的目的除了理解与掌握相应的知识与技能外，更重要的是思维习惯与核心素养的培养. 教师将各种数学思想渗透于教学的每一个环节，能促进学生认识数学的本质，针对不同的问题选择相应的数学思想来解决. 如此，可避免学习的随意性与盲目性，达到学习效益最大化的教学目的.

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