基于符号意识的数学符号阅读能力培养

侯海全 陈春雨

摘   要：数学符号本身并没有意识，数学符号意识特指学习者在感知、认识、运用数学符号时的一种主动性反应，是对符号本身以及符号蕴含的数学原理的一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程。每一个数学符号都有特定的含义，数学符号阅读，也是一个完整的心理活动过程，是对数学符号的感知和认识、对符号表达的抽象了的数学内容和推理过程的记忆和理解的心理活动。同时，也是一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程，具有逻辑严谨、表达抽象等特点。

关键词：符号意识 数学符号 阅读能力

数学符号是特殊的文字，是一种含义高度概括，形态高度抽象的科学语言。我国数学史研究者梁宗巨先生曾经说过：“一个较复杂的公式，如果不用符号而用日常语言来叙述，往往十分冗长而且含混不清”[1]。符号语言的使用，使数学思维过程表达更加准确、简明，更加易于揭示数学研究对象的本质属性。例如，爱因斯坦仅仅在几页布满数学符号的纸张上就可以把相对论表达得清清楚楚，这足以表明数学符号表达严密逻辑的效力。不论是数理逻辑还是计算逻辑，符号的使用在其中都起到了至关重要的作用。

在数学学习过程中，无论是概念、命题学习还是问题解决，都涉及用符号表征数学对象，并用符号进行运算和推理，得到一般性的结论。在这个过程中，对于学习者来说数学符号意识主要的不是潜意识、直觉和感觉，而是一种主动使用符号的心理倾向。符号本身并没有意识，符号意识特指学习者在感知、认识、运用数学符号时的一种主动性反应，是对符号本身以及符号蕴含的数学原理的一个不断假设、证明、想象、推理的积极能动的认知过程。[2]

每一个数学符号都有特定的含义，数学符号阅读，也是一个完整的心理活动过程，是对数学符号的感知和认识、对符号表达的抽象了的数学内容和推理过程的记忆和理解的心理活动。渗透符号意识，培养数学符号阅读能力，可以从以下几个方面入手。

一、借助发展历史理解数学符号

数学符号不是凭空产生的，每一种数学符号几乎都经历了曲折的发展史。数学符号的简洁、和谐、艺术美对于学习数学的人是不言而喻的，但是任何一个数学符号“看似寻常最奇崛，成如容易却艰辛”。

即使是直观感觉最简单的数学符号“0”，也经历了漫长的发展，0的使用起源于位值制，也因为有0的使用，位值制才得以完善。但是在“上帝创造万物”的西方世界，传说第一个使用0的学者竟被钉在十字架上，罪名是否定了上帝的神力。在历史上，0的哲学意义甚至超过了它的数学意义，如有“消失了量的灵魂”“无形的有，有形的无”种种说法[3]。恩格斯在《自然辩证法》一书中认为，0比任何一个数的内容都丰富，并且给出了0的精辟定义，人民教育出版社中学数学教科书也引用了该定义：0既不是正数又不是负数。[4]

在我国，数学符号的发展源远流长，约公元前11世纪成书的《周易系辞下》中有“上古结绳而治，后世圣人，易之以书契”，绳和书契相当于今天记数或者记事的符号。《史通》称“伏羲始画八卦，造书契，以代结绳之政”，八卦中爻辞的符号表示方法可能是最早的二进制模型[5]。后来历经3000年的算筹及珠算记数与运算，我国在算术领域和代数领域也长期居于世界领先地位。中国古代数学在发展过程中的一个遗憾是没有创用先进完整的数学符号。直到清末时期，被誉为近代科技翻译第一人的的李善兰翻译《代微积拾级》仍然严守“祖宗家法”，更多的用汉字代替了西算符号。

在数学符号发展的历史长河中，符号是伴随着数学发展本身的需要产生的。从第一个自觉使用符号的希腊数学家丢番图，到16世纪出现真正的代数符号，现代符号的产生历经了几千年的探索。一个小小的符号，凝聚了人类智慧的结晶，在中学数学教育中，如果学习者能够看到符号，联想到历史，对符号的理解和认识必然有更为深刻的感受。这种感受可能是对符号发展艰辛历程的感慨，也可能是对数学家追求真理的肃然起敬，更可能是对未来无限发展的憧憬，人的必备品格、科学精神可能就在这一次次读史的过程中得以锤炼。

二、借助特例理解数学符号

“举个例子”不仅是数学中特有的语言，也是生活中常见的表达方式。符合存在一个元素，使得该元素在某个集合中的逻辑表述，也就是？埚x∈M，P（x），这里就需要我们举出恰当的例子使得这个存在量词命题成立，這种表达方式使抽象的内容变得具体生动。

史宁中教授在《数学基本思想18讲》一书中写道：“由亚里士多德开创的借助语言的逻辑学是对人类思维活动的第一次抽象，由布尔开创的借助符号的逻辑学是在第一次抽象基础上的第二次抽象”[6]。我们要完全理解这两次抽象过程，就需要不断地回到抽象前的具体实例来理解被抽象的对象，进而得到一般性结论。

例如，学龄前儿童要掌握1+1=2的抽象含义，往往从一个苹果加上一个苹果等于两个苹果开始学习，我们把苹果去掉就得到了抽象的一般性符号结论：1+1=2，苹果只是个特例，当然也可以是芒果、梨子，这些都是举例子，就是回到抽象前的具体实例来理解符号语言。再如，初中生关于“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”的学习，结合图形，这个定理也是一种符号表达形式。它是学习相似三角形最基本、最重要的基础知识之一。教材中并没有证明，只是举例说明了它的正确性。当然这是因为它的证明对于初中生来说是一个难度很大的问题，初中生的基础知识还不够，在处理这部分知识时，通过度量和计算，作为一个基本事实呈现出来，不乏“举例子”的功劳。

三、借助图形语言理解数学符号

我们知道，明确研究对象、确定研究范围是研究数学问题的基础。欧几里得的《原理》开篇就给出了23个定义，这些定义描述了平面几何的基本对象，其中包括：点、线、面、角、多边形、三角形等。而《原理》中又明确规定点是没有部分的，即数学的点是无大小的，线只有长度没有宽度，可见这些定义已经是高度抽象的了，我们需要用铅笔、直尺、三角板等画出可见的定义示意形象，也就是图形，从而理解这些概念。[7]

希尔伯特认为，欧几里得关于点、线、面的定义在数学上是不重要的，它们之所以成为讨论的中心，是因为公理述说了它们之间的关系。换句话说，无论把它们称为点、线、面，还是把它们称为桌子、椅子、啤酒瓶，最终推理得到的结论都一样。希尔伯特想表达的就是研究对象的形式化，也就是可以用符号来表达。在他的《几何基础》中对点、线、面的定义开宗明义：设想有三组不同的对象：第一组的对象叫作点，用A，B，C…表示;第二组的对象叫作直线，用a，b，c…表示;第三组的对象叫作面，用？琢，？茁，？酌…表示。[8]

摆脱研究对象的物理属性，固然可能更容易得到一般性结论，但是在研究形式化表达，也就是数学符号所表示的含义的时候，学习初期仍然离不开对经验直觉的依赖，这就需要我们借助图形语言来对符号语言进行有效翻译。比如对于非常重要的绝对值概念，初中生在学习时，如何来理解形式化的a的表达，并且能够有效地把a翻译成文字语言？我们把数轴上表示数a的点到原点的距离叫作数a的绝对值。这里就需要借助数轴这个具体图形的桥梁功能，在符号语言和文字语言间建立必要联系。也就是说，需要学习者在数轴上标出具体的数字所表示的点，如-3、0、5、7等，最终理解表示数a的点到原点的距离的一种形式化表示方法，即为a。在阅读一些符号时，借助图形语言的这种把符号语言转化为文字语言的功能是显而易见的，如集合论。集合论公理体系已经成为现代数学的基础，其中大量使用了数学符号，如∈、∪、∩、？哿、？奂、？勐、？劢等，我们要理解这些符号以及这些符号所组成的运算的含义，可以充分借助Venn图。

四、小结

康德认为，人类的一切知识都是直观开始，进而到概念，以理念结束。数学的抽象是形成概念的必要手段，在数学的发展过程中，经历了数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象，并且最终得以形式化地表示，也就是所谓的“数学符号语言”。“数学是上帝用来书写宇宙的文字”[9]，数学符号则是数学中特殊的语言，可以更加完善、准确、明了地表达计算逻辑和数理逻辑。

参考文献：

[1]梁宗巨.世界数学通史[M].沈阳：辽宁教育出版社，2005：419.

[2]史宁中.义务教育数学课程标准（2011年版）解读[M].北京：北京师范大学出版社，2012：2.

[3]徐品方，张红.数学符号史[M].北京：科学出版社，2010：8.

[4]恩格斯，列宁，斯大林.马克思恩格斯选集（第四卷）[M].中共中央编译局，译.北京：人民出版社，1995：365.

[5]史宁中.由八卦到六十卦：试论《周易》的逻辑思维[J].哲学研究，2011（8）：64.

[6]史宁中.数学思想18讲[M].北京：北京师范大学出版社，2016：167.

[7]欧几里得.几何原本[M].兰纪正，朱恩寬，译.西安：陕西科学技术出版社，2003：21.

[8]希尔伯特.几何基础[M].江泽涵，朱鼎勋，译.北京：科学出版社，1995：88.

[9]康德.纯粹理性批判[M].邓晓芒，译.北京：人民出版社，2004：544.

编辑 朱婷婷   校对 王亭亭

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