一种从拓扑优化结果到拉压杆模型的自动提取方法研究

乔文正 陈国荣

(1.吕梁学院建筑系 山西吕梁 033000；2.河海大学力学与材料学院 江苏南京 211100)

1 研究背景

拉压杆模型(strut-and-tie models，简称STM)是由类桁架模型发展而来。它的理论基础可追溯到塑性理论中连续体介质的极限分析。STM将混凝土梁的力学行为简化为一个理想化的铰接桁架，提供了一个静力允许的荷载传递路径。众所周知，拉压杆模型特别适用于混凝土结构中D区域的设计。经过众多学者的努力，拉压杆模型已经成为一种既适用于B区域也适用于D区域的统一的混凝土结构设计方法[1]。此处B区域指构件中符合伯努力假定的区域，D区域指构件中截面应变呈现非线性变化的区域，通常是由几何或静力不连续引起的。作为一种混凝土结构的塑性设计方法，拉压杆模型被越来越多人所接受并广泛使用。

混凝土结构中单侧牛腿就是一个典型的D区域。由于复杂的应力分布，传统的弹性应力迹线法或荷载路径法很难产生合适的拉压杆模型。因此，拓扑优化逐渐成为一种产生拉压杆模型的可靠方法。拓扑优化是在给定约束条件下，在给定的区域内对材料分布进行优化的数学方法。随着拓扑优化技术的不断发展，基于性能的渐近结构优化方法(ESO)[2]、经典的固体各向同性惩罚方法(SIMP)[3]和基于可移动变形组件(moving morphable components，简称MMC)拓扑优化方法[4]先后被用来产生拉压杆模型。

拓扑优化在拉压杆模型中的进一步应用，首先要解决如何合理地描述拓扑优化结果，即实现拓扑优化结果和拉压杆模型的有效衔接。B样条是贝塞尔曲线的一种一般化，是CAD系统常用的几何表示方法，可以用来给一般的几何体精确地建模。基于此，文献[5]采用B样条把拓扑优化结果描述成一个参数化的几何形状；文献[6]在拓扑优化的基础上再进行一次形状优化来自动获得对拓扑优化结果的图像描述；文献[7]提出了一个产生拓扑优化结果骨架的自动化方法；文献[8]采用一种提取方法将拓扑优化结果描述为类桁架结构，并通过3个性能指标来评估拓扑优化结果的优劣。文献[9]将基于优化的STM的生成分为拓扑优化、拓扑提取和形状优化3个阶段。

受文献[8]的启发，以基于MMC的拓扑优化[10]为基础，将一种自动提取的方法应用于混凝土单侧牛腿算例。通过算例，阐述了该方法的思路和过程，并证实了其正确性和有效性。

2 自动提取方法

2.1 概述

从拓扑优化结果到拉压杆模型的提取过程，最重要的是保留它们之间的拓扑一致性。采用一种自动的提取过程，实现从拓扑优化结果到拉压杆模型的自然过渡。该方法的本质是一种基于像素的图像处理技术，该过程主要分细化和提取两个阶段。拉压杆模型的自动提取方法的流程如图1所示。该方法的数值实现是在MATLAB中进行。

图1 自动提取方法流程

2.2 细化阶段

细化阶段又细分为图像二值化和图像骨架化两个步骤。

2.2.1图像二值化

传统隐式的SIMP和ESO方法产生的优化结果是基于有限单元的材料0-1分布，虽然采用惩罚的技术，但仍然存在过渡的单元，导致存在锯齿的边界和灰度单元。在进行图像骨架化之前，需要通过设定合理的阙值将优化结果黑白二值化，即用1和0分别表示材料的实体和孔洞。

对于基于MMC的拓扑优化，由于显式的特性，优化结果是纯黑白的，即非黑即白。因此，理论上黑白二值图像和优化结果在本质上是一样的。

2.2.2图像骨架化

运用图像处理的细化算法[11]，可以从黑白二值图像中生成具有单像素宽度的骨架曲线。该细化算法的基本思想即迭代地删除位于边缘的像素，直到在不改变拓扑的前提下没有多余的像素可以被删除，从而生成具有单像素宽度的骨架曲线。

2.3 提取阶段

提取阶段可细分为形成候选结点图、最终结点图和拉压杆模型3个步骤。

2.3.1形成候选结点图

在单像素宽度的骨架线中，通过自身和周围的8个相邻像素的取值来确定这个像素点是否为候选节点。大体来说，从某一像素出发，至少要形成3条不同的线路情况，该像素点被确定为候选结点，所有的候选结点形成候选结点图。

2.3.2形成最终结点图

由于形成的候选结点可能在局部相距较近，所以，应该采用适当的规则对其进行简化。一般来说，如果某两个结点相互距离小于一个容许值(取构件较大边长的5%)，这两个结点则简化为一个结点，即它们的中点所在的结点，如此重复进行，直到所有的点之间的距离大于这个容许值，并根据简化后的结点形成最终结点图。

2.3.3形成拉压杆模型

要形成最终的STM，需要确定这些结点的连接关系。首先，通过骨架线来识别不同的洞口，具体的识别过程(详见文献[6])。然后，将洞口和结点信息结合起来，以洞口中心点为中心，按顺时针方向将与该洞口有关的结点依次连接，使其在添加荷载和支座结点后形成最终的拉压杆模型。

3 单侧牛腿算例

由于篇幅所限，本文直接采用文献[4]中的单侧牛腿算例，并在此基础上采用自动提取方法形成合适的STM。混凝土单侧牛腿的几何尺寸和荷载信息如图2所示。

图2 混凝土单侧牛腿

在拓扑优化过程，采用48个可移动变形组件，通过求解体积约束下最小柔度目标的优化问题，得到单侧牛腿的最优拓扑。最优化求解器采用著名的移动渐近线方法，通过197次迭代，得到最终的拓扑优化结果。该结果的图像像素为333×825，拓扑优化结果和黑白二值图如图3所示。

图3 拓扑优化结果和黑白二值图

由于采用基于MMC的拓扑优化方法，优化结果具有清晰的边界，而且相比于SIMP和ESO方法，优化求解效率较高。

形成的骨架图和候选结点图如图4所示。通过算法自动得到11个候选结点(用蓝色方形点表示)。此处结点简化容许值为135 mm，意味着红色圆圈内相互靠近的结点需要进行简化。将11个候选结点简化为8个结点，并添加荷载和支座结点后形成最终结点。最后，利用洞口和洞口周边结点信息，按逆时针方向依次连接各洞口周边结点。最终结点图和拉压杆模型见图5。经过简化后的最终结点用圆点表示，方形框内的结点为荷载和支座结点。各最终结点平面坐标见表1。

表1 最终结点的平面坐标

图4 骨架图和候选结点图

图5 最终结点图和拉压杆模型

需要指出的是，通过自动提取方法产生的拉压杆模型往往并不能直接使用，需要进行人为的变动。其因在于这些模型并不满足静力平衡条件，有时甚至是几何可变体系，需要添加必要的杆件来形成几何不变体系。这种变动可能因人而异，此处并没有给出经过人为修改的拉压杆模型图。

4 结语

基于图像处理技术，提出了一种由细化和提取两个阶段构成的自动提取方法，实现了拓扑优化结果与拉压杆模型有效衔接，并且能够最大限度地减少人为干预。在基于可移动变形组件的拓扑优化结果的基础上，通过单侧牛腿算例阐述了该方法的思路和过程，并证实了其正确性和有效性。