两种求复合函数单调性的方法

卢建彬

摘 要：对求复合函数单调性的问题，是高中数学教学中的难点，也是历届高考的热点，学生普遍感到困难，而且解题容易出错，为了便于学生掌握，下面总结了两种求复合函数单调性的方法。

关键词：数学;复合函数;单调性

一、利用学生所熟悉的初等函数（如幂、对数、指数函数）的性质判断复合函数的单调性

例1：求函数的单调区间。

解：此函数的定义域，令，由二次函数的性质知在上单调递增，在上单调递减。

∵函数在上是增函数。

∴得单调增区间是，单调减区间是。

例2：求函数的单调区间。

解：此函数的定义域，令，则在上单调递减，在上单调递增。

∵对数函数在上是减函数。

∴的单调递增区间是，单调递减区间是。

上述方法求复合函数单调性的关键点是：

⑴先求复合函数的定义域M，所求的复合函数的单调区间必定是M的子区间。

⑵若函数其中为自变量时在定义域内是增函数，则复合函数（x为自变量） 的单调性与函数的单调性相同; 若函数

其中为自变量时在定义域内是减函数，则复合函数（x为自变量）的单调性与函数的单调性恰好相反。如此类推，最后可以确定复合函数的单调性。

二、可用定理求复合函数的单调性

从上述求复合函数单调性的关键点（2）中，我们不难得到一个复合函数的单调性判定方法：

若数值函数，令。且在上具有单调性，那么复合函数在M0上是增函数（减函数）的充分条件是：在上减函数的个数为偶数（奇数）。

证明如下：充分性

若函数在上减函数的个数为偶数，不论在M0上是增函数还是减函数，根据上述求复合函数单调性的要点（2）知，复合函数在M0上是增函数。

同理可证，若函数在上减函数的个数为奇数时，复合函数在M0上是减函数。

从而条件的充分性得证。

必要性（用反证法）

若函数在M0上是增函数，假设在上减函数的个数为奇数，则由条件的充分性知，在M0上是减函数，这与在M0上是增函数矛盾，因此在上减函数的个数为偶数。

同理可证在M0上是减函数时，在上减函数的个数为奇数。

从而条件的必要性得证。

下面我们运用这个定理求复合函数的单调性。

例3：证明函数在其定义域内是增函数。

证明：此函数的定义域为，令，，。

以为在上是减函数，在上是减函数，在上是增函数。

所以由定理知，函数在其定义域上是增函数。

例4：求函数的单调区间。

解：此函数的定义域可求得：

，令，，

∵v=cosx，在上是增函数，在上是减函数。

在上是增函数，在上是增函数。

∴由定理知，复合函数在上是增函数，在上是减函数。

运用此定理解题，就是将求复合函数单调性的问题转化为n个基本函数，由它们中的减函数的个数来确定复合函数的单调性，达到了化繁为简的目的，学生容易掌握。

结束语：

比较上述两种方法，我们容易看到，对于求简单的复合函数的单调性，运用方法一或方法二都容易得到解答，而对求较复杂的复合函数的单调性，运用方法二较为合适。

参考文献：

[1]毋绪道.复合函数单调性结论的推广及应用[J]. 数学教学. 2006，（07）：12-13.

[2] 鄒少伟.复合函数的单调性[J]. 数学学习与研究. 2016，（03）：106.

[3] 彭秋苑.解读复合函数的单调性[J].课程教育研究. 2013，（03）：163-164.

[4] 王富英.序轴法——复合函数单调区间的一种简捷求法[J]. 中学数学. 2002，（09）：25.

本文系福建省教育科学“十三五”规划2020年度课题：大数据驱动的高中生数学学习监控与精准干预行动研究（课题编号：FJJKXB20-790）系列论文之一。

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