常见几何体外接球半径算法

雒福东

类型一：墙角模型（三条棱分别垂直，不找球心的位置即可求出半径）

方法：找三条两两垂直的线段，直接利用公式a2+b2+c2=（2r）2，求出r

类型二：垂直模型（一条直线垂直于一个平面）

题设：如图6，7，8，P的射影是△ABC的外心三棱锥P-ABC三条侧棱相等三棱锥P-ABC的底面△ABC在圆锥的底上，顶点P也是圆锥的顶点

解题步骤：

第一步：确定球心O的位置，取△ABC的外心O1，则P，O，O1三点共线

第二步：先算出小圆O1的半径AO1=r，再算出棱锥的高PO1=h（也是圆锥的高）

第三步：勾股定理：解出R

类型三：切瓜模型（二个平面互相垂直）

方法：

1.题设：如图9-1，平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC（即AC为小圆直径）

第一步：易知球心O必是△PAC的外心，即△PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC=2r;

第二步：在△PAC中，可根据正弦定理，求出R

2.题设：如图9-2，平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC（即AC为小圆直径）

3.题设：如图9-3，平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC（即AC为小圆直径），且P的射影是△ABC的外心三棱锥P-ABC的三条侧棱相等三棱锥P-ABC的底面△ABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点

第一步：确定球心O的位置，取△ABC的外心O1，则P，O，O1三点共线

第二步：先算出小圆O1的半径AO1=r，再算出棱锥的高PO1=h（也是圆锥的高）

第三步：勾股定理：解出R

4.题设：如图9-3，平面PAC⊥平面ABC，且AB⊥BC（即AC为小圆直径），PA⊥AC，则利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：

①

②

类型四：汉堡模型（直棱柱的外接球，圆柱的外接球）

方法：

题设：如图10-1，10-2，10-3，直棱柱内接于球（同时直棱柱内接于圆柱，圆柱的上下底面可以是任意三角形）

第一步：确定球心O的位置，O1是△ABC的外心，则OO1⊥平面ABC

第二步：算出小圆O1的半径AO1=r，（AA1=h是圆柱的高）

第三步：勾股定理：，解出R

类型五：折叠模型（二个全等三角形或者等腰三角形拼在一起，或者菱形对折）

方法：

题设：两个全等三角形或者等腰三角形拼在一起，或菱形对折（如图11）

第一步：先画出如图所示的图形，将△BCD画在小圆上，找出△BCD和△A'BD的外心H1和H2;

第二步：过H1和H2分别做平面BCD和平面△A'BD的垂线，两垂线的交点即为球心O，连接OE，OC;

第三步：解△OEH1，算出OH1，在Rt△OCH1中，勾股定理：OH12+CH12=OC2

類型六：对棱相等模型（对棱相等模型，补全为长方体）

方法：

题设：三棱锥（及四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接圆半径（AB=CD，AD=BC，AC=BD）

第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱;

第二步：设长方体的长宽高分别是a，b，c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z

列方程组

补充：

第三步：根据墙角模型，，

，求出R

分析：取公共的斜边中点O，连接OP，OC，

则，O为三棱锥P-ABC外接球球心，然后在OCP中求出半径，当看作矩形沿对角线折起三棱锥时与折起的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定值。

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