如何确定机械做功时的总功和有用功

王博

机械效率是衡量机械性能的重要指标，也是学习其他效率的基础，具有十分重要的现实意义。有用功、额外功和总功是学习机械效率的关键概念，让学生分析一个物理情境中具体的做功情况，认识有用功、额外功和总功是教学中的一个难点。在实际教学中，我们往往以教材中利用滑轮组提升重物的实验为基础，通过数据分析，引导学生从做功的目的出发，使学生对这几个功的含义有了比较明确的认识。但在解决实际问题时，学生却往往不能正确书写有用功和总功的表达式，或者不明确是哪个力做了有用功，哪个力做了总功。因此，在概念认识完毕之后，为帮助学生快速明确有用功和总功，笔者对几种常见情形中如何求解有用功和总功做了以下归纳：

总功：借助机械时，完成全部任务的那个力所做的功。

有用功：不借助任何机械，用手直接完成任务，手对物体的作用力所做的功。

在书写总功和有用功的表达式时，务必注意“功等于力乘以物体在这个力的方向上移动的距离”，故该距离应该是受力物体在这个力的方向上移动的距离。以下是利用该方法对几个典型模型的具体分析：

类型一：利用滑轮组在空气中沿竖直方向提升重物

（1）总功：如图1甲所示，绳子自由端的拉力F完成了全部任務（提起了重物、动滑轮，克服了绳重和摩擦），则拉力F做的是总功。由于拉力F作用在绳子上，绳子在拉力F的方向上移动的距离为s，故总功书写为W总=Fs。

（2）有用功：如图1乙所示，不借助滑轮组，直接用手将物体提升高度h，手对物体的作用力F手的大小等于物体所受重力G的大小，物体在F手的方向上移动的距离为h，故有用功书写为W有=F手h=Gh。

例题分析：如图2所示，用滑轮组把质量为80 kg的物体匀速提升3 m，若拉力F=500 N，该滑轮组的有用功和总功是多少？

解析：人对绳子的拉力F完成了所有任务，做的是总功，W总=Fs。不借助滑轮组，直接用手将物体提升高度h，手对物体的作用力等于物体的重力，故有用功的大小等于克服物体重力所做的功。

解：

类型二：利用滑轮组在水中沿竖直方向提升重物

（1）总功：如图3甲所示，绳子自由端的拉力F完成了全部任务，则拉力F做的是总功。该力作用在绳子上，绳子在拉力F的方向上移动的距离为s，故总功书写为W总=Fs。

（2）有用功：如图3乙所示，不借助滑轮组，直接用手将物体提升高度h，对物体进行受力分析，可知手对物体的作用力大小为F手=G-F浮，物体在F手的方向上移动的距离为h，故有用功书写为W有=F手h=（G-F浮）h。

例题分析：如图4是工人在岸边打捞水中金属块的示意图，每个滑轮重100 N，金属块的体积为0.01m3，重为800N。不计绳重和摩擦，忽略水对金属块的阻力，金属块一直匀速上升。求金属块在水中上升2 m，且未露出水面的过程中人所做的有用功和总功。（ρ水=1.0×103 kg/m3，g取10 N/kg）

解析：不借助滑轮组，用手将物体提升，手对物体作用力的大小为G-F浮，有用功为W有=（G-F浮）h。对整个装置进行受力分析，有2F+F浮= G物+G动，则拉力F=（G物+G动-F浮）。拉力F完成了全部任务，做的是总功，W总=Fs=Fnh。

解：因为金属块浸没在水中，所以V排=V金=0.01 m3

F浮=ρ水gV排=1.0×103 kg/m3×10 N/kg×0.01 m3=100 N

W有=（G物-F浮）h=（800 N-100 N）×2 m=1400 J

绳子自由端的拉力：F=（G物+G动-F浮）=×（800 N+100 N-100 N）=400 N

W总=Fs=Fnh=400 N×2×2 m=1600 J

类型三：利用滑轮组沿水平方向拉着物体做匀速直线运动

（1）总功：如图5甲所示，绳子自由端的拉力F完成了全部任务，则拉力F做的是总功。该力作用在绳子上，绳子在拉力F的方向上移动的距离为s绳，故总功为W总=Fs绳。

（2）有用功：如图5乙所示，不借助滑轮组，直接用手拉着物体沿水平方向移动距离s物，根据二力平衡知识，手对物体的作用力大小等于物体受到水平面摩擦力f的大小，物体在F手的方向上移动的距离为s物，故有用功书写为W有=F手s物=fs物。

例题分析：如图6所示，用F=50 N的拉力通过滑轮组拉重为300 N的物体，使其向左匀速运动，在这个过程中拉力F做功为40 J，已知物体受到水平地面的摩擦力为60 N，则（1）物体运动的距离为多少m？（2）该滑轮组的机械效率为多少？（忽略绳子和动滑轮的重力）

解析：拉力F完成了全部任务，做的是总功，由W总=Fs绳可求出绳子移动的距离，进而求出物体移动的距离。不借助滑轮组，直接用手拉着物体沿水平方向移动距离s物，手对物体的作用力大小等于物体受到水平面摩擦力f，有用功书写为W有=fs物，利用η=W有/W总可求出机械效率。

类型四：利用斜面提升重物

（1）总功：如图7甲所示，沿斜面向上的拉力F完成了全部任务，则拉力F做的是总功。该力作用在物体上，物体在F的方向上移动的距离为s，故总功书写为W总=Fs。

（2）有用功：如图7乙所示，不借助斜面，直接用手将物体提升高度h，无论物体的运动路径如何，手对物体的作用力大小等于物体的重力，方向始终竖直向上，物体在F手的方向上移动的距离为h，故有用功书写为W有=F手h=Gh。

例题分析：利用如图8所示的装置将重为100N的物体匀速从斜面底端拉到顶端，已知斜面长5m，高2m，拉力为F=50N，则该装置的机械效率为多少？

解析：拉力F完成了所有任务，F做的功是总功。注意力F是作用在绳子上，故受力物体在力F的作用下移动的距离为绳子自由端移动的距离， S绳=2S物=2×5m=10m。直接用手将物体提升高度h=2m，手对物体的作用力等于物体的重力，故有用功的大小等于克服物体重力所做的功。