两种工作模式下2K-H型行星齿轮传动系统固有特性分析

林 何，屈 琨，胥光申

(西安工程大学机电工程学院，陕西 西安 710048)

行星齿轮传动系统结构紧凑，承载力强，传动比大，可满足高速大载荷工况要求，作为一种可靠的齿轮传动机构，其在直升机主减速器、大型舰船动力传动系统、风力发电装置中得到广泛应用[1-4]。由于其结构复杂，转速较高，工作环境恶劣，导致行星齿轮传动系统振动问题突出。固有特性分析是研究振动问题的基础，基于此，国内外学者围绕齿轮固有特性做了深入、广泛的研究。Kahraman等[5]建立了行星齿轮弯扭耦合模型，获得了模型固有特性的解析表达式并将模态振型归纳为3种典型的振动模式。宋轶民等[6]基于集中参数法建立了考虑行星轮轴承支承刚度的行星齿轮系统修正扭转模型,研究了系统的固有频率与振动模式。段福海[7]建立了行星齿轮纯扭转动力学模型，研究了啮合相位对固有特性的影响，并给出了3种啮合相位差求解公式。王世宇等[8]研究了行星齿轮基本参数对固有特性的影响，发现了振动模式不清晰现象，研究表明固有频率密集时不再有3种典型的振动模式划分。李军等[9]综合考虑了时变啮合刚度、侧隙、齿轮综合传动误差、啮合阻尼以及行星轮轴承支承刚度等因素, 建立了改进的汇流行星传动系统纯扭转动力学模型，对模型的振型进行归纳分类。李国彦等[10]研究了裂纹对系统固有频率的影响，结果表明裂纹对低阶固有频率影响较小，对某些高阶固有频率影响较大，随着裂纹增大，固有频率呈下降趋势但系统的二重根数没有发生变化。其他学者还从动力学建模、模拟仿真、灵敏度分析等方面对齿轮传动系统固有特性做了相关研究[11-12]，取得了丰硕的研究成果。但前期研究成果主要是在某种特定工作模式下总结的，缺少在不同工作模式下对系统固有特性进行分析，而在某些应用场合行星齿轮机构需要不断切换工作模式且在不同工作模式下行星齿轮系统会表现出不同的动力学特性。

本文针对行星齿轮系统传动中存在的上述问题建立了2K-H型直齿行星齿轮纯扭动力学模型，分别对无中心构件固定和内齿圈固定两种工作模式下的模态进行了分析，归纳了振动模式，指出了各构件的振动特征。

1 纯扭转动力学模型

2K-H型直齿行星齿轮纯扭转动力学模型如图1所示，整个传动系统由系杆、内齿圈、太阳轮以及N个行星轮组成，N=3。根据实际工作需求，可以将系杆、内齿圈或太阳轮调整为固定构件，使系统具备多种工作模式。常见工作模式为内齿圈固定于变速器箱体上保持不动，功率由太阳轮输入，通过行星轮将功率分流经系杆输出。图1中各符号的含义分别为:下标c代表系杆，r代表内齿圈，s代表太阳轮，n代表系统中行星轮个数，n=1,2,3，…；θi(i=c,r,s)为中心构件扭转角位移，θn(n=1,2,3)为行星轮n的扭转角位移，krn,ksn分别表示行星轮n与内齿圈及太阳轮的啮合刚度，kct,krt,kst分别表示系杆、内齿圈、太阳轮支撑刚度。

图1 2K-H型直齿行星齿轮纯扭转动力学模型

行星齿轮传动系统的零部件较多，运动副关系复杂，为更符合物理实际，在建立动力学模型时对系统做如下假设和简化：1)将行星齿轮传动系统简化为集中参数系统，且3个行星轮的质量和转动惯量均相等；2)在系统的支撑、各啮合副等处引入弹簧符号，将齿轮轮体、系杆看作刚体；3)仅考虑各构件的扭转振动；4)将时变啮合刚度进行线性处理等效为平均刚度，忽略输入转矩、侧隙及阻尼的影响。

1.1 构件间相对位移关系

啮合状态下各构件之间的相对位置如图2所示，将构件在各坐标方向的位移向啮合线方向投影，规定压缩弹簧的方向为正方向，分析各构件之间的相对位移关系，推导位移协调方程。

行星轮与系杆的相对角位移θnc：

θnc=θn-θc

(1)

太阳轮与行星轮n之间啮合线上的相对位移δsn：

δsn=(θs-θc)rs+(θn-θc)rn

(2)

内齿圈与行星轮n之间沿啮合线上的相对位移δrn：

δrn=(θr-θc)rr-(θn-θc)rn

(3)

式中：ri(i=r,s,n)为内齿圈、太阳轮、行星轮n的基圆半径。

图2 啮合副相对位移分析

1.2 系统动力学方程

根据牛顿第二定律建立系统的运动微分方程。

系杆运动微分方程：

(4)

内齿圈运动微分方程：

(5)

太阳轮运动微分方程：

(6)

行星轮1运动微分方程：

(7)

行星轮2运动微分方程：

(8)

行星轮3运动微分方程：

(9)

式中：Ji(i=c,r,s,1,2,3)为构件i的转动惯量；mn为行星轮n的质量。

将6个运动微方程统一表述为矩阵形式有：

(10)

式中：M为质量矩阵；q为位移向量；Kb为支撑刚度矩阵；Km为啮合刚度矩阵。

系统中啮合刚度为3×108N/m，其他的基本物理参数见表1。

表1 系统基本参数表

2 固有特性分析

2.1 振型方程

通过求解特征值和特征向量问题可以得到行星齿轮传动系统的固有频率和相对应的振型，依据动力学方程式推导出系统的特征方程：

(11)

式中：ωj为系统第j阶固有频率；Aj为系统相对应的第j阶振型。

特征方程存在非零解的条件：

(12)

2.2 模态振型归一化

某些状况下行星齿轮传动系统中6个构件的振动位移差别很大，如果使用原始位移数据进行振型描述，振动量较大的构件在振型图中表现得比较明显，导致振动量微小的构件容易被忽略，难以全面反映系统的振动特性。为提高数据的精准性，更直观地反映系统中各构件的振动状态，通过方程(13)将构件的振动量归一化处理，使各构件的相对振动位移量取值范围为[-1,1]。

Yj=Aj/max|Aj|j=1,…,6

(13)

式中:Yj为归一化处理后系统的第j阶振型矢量。

2.3 模态振型

规定行星轮传动系统中所有中心构件均不固定的情况为工作模式一；内齿圈固定、太阳轮为动力输入构件、系杆为输出构件为工作模式二。当系统处在工作模式一时，有6个自由度；当系统处在工作模式二时，有5个自由度。

综合式(11)、(12)、(13)，可得到归一化处理后系统各阶振型，如图3，4所示。图3中横坐标编号1～6分别对应系杆、内齿圈、太阳轮、行星轮1～3，纵坐标为系统量纲归一化后的各构件对应的相对位移，图4中横坐标编号1～5分别对应系杆、太阳轮、行星轮1～3，纵坐标与图3相同。

2.3.1工作模式一下模态

分析图3可知，系统对应的第1，2，3，6阶振型图中3个中心构件及行星轮均产生振动，且3个行星轮的相对位移量相同，此振动模式称之为扭转振动模式，设yi(i=c,r,s,1,2,3)为系统量纲归一化后的各构件振动量，振动特征可归纳为：

Yj=[yc,yr,ys,y1,y2,y3]j=1,2,3,6

(14)

y1=y2=y3

(15)

在第4，5阶振型图中3个中心构件未发生振动，仅有3个行星轮产生振动，且位移量之和为0。此振动模式为行星轮振动模式。

Yj=[yc,yr,ys,y1,y2,y3]j=4,5

(16)

yc=yr=ys=0

(17)

(18)

因此可得系统中心固件均未固定的状况下系统存在两种典型的振动模式，即扭转振动模式和行星轮振动模式。

图3 工作模式一下振型图

2.3.2工作模式二下模态

当内齿圈固定时，系统的自由度减少至5个。分析图4可知，系统仍然存在两种振动模式，其中第1，2，5阶为扭转振动模式，第3，4阶为行星轮振动模式，各构件振动量之间的数值关系与系统在工作模式一时的数值关系相同，此处不再赘述。

图4 工作模式二下振型图

3 结束语

本文对2K-H型直齿行星齿轮传动系统建立其纯扭转动力学模型，研究了中心构件均不固定和单一中心构件固定两种工作模式下系统中存在的振动模式和各阶次振型变化规律。研究结果表明：两种工作模式下，系统中均存在两种典型的振动模式，即纯扭转振动模式和行星轮振动模式，且系统中振动模式的数量不会因系统中心构件固定状况的改变而增减。