小学数学算理教学探析

李娟 韦宏

【摘要】本文以“多位数乘一位数”教学为例，基于数学思想方法对算理进行分析，即以数形结合思想方法分析算理，帮助学生发展“数式”表征，用“形”理解“数”；以转化的数学思想方法理解算理，帮助学生化难为易，理解算理；以变中有不变的思想方法分析算理，帮助学生把握数学算法的本质。

【关键词】小学数学教学 数学思想方法算理多位数乘一位数

【中图分类号】G【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2021）41-0133-02

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《新课标》）指出：学生需获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。基本思想作为“四基”之一，渗透数学的思想方法，有利于促进学生知识的迁移，培养学生的数学核心素养。学生理解算理的过程是从具体到抽象的探究过程，数学课程要关注过程性目标和结果性目标。在计算教学中，学生不仅需要掌握计算方法，还要理解为什么这样计算。算理教学有助于学生理解数本身的意义，促进思维能力的提高。“多位数乘一位数”是基于乘法口诀表，是进行笔算乘法的开端，这部分内容在小学运算中起到重要的作用。为此，教师需要基于数学思想方法，以“多位数乘一位数”教学为例，加强对算理的分析，提高学生的运算兴趣和学习能力。

一、算理教学及数学思想方法

算法是计算的步骤和程序。算理即计算的道理，它解释了为什么这样计算，是理解算法的前提，是对每一个计算步骤的解释。在“多位数乘一位数”的教学中，其算理主要运用了位值概念和乘法分配律的运算率。在位值概念中，一个数字的位置代表了它所呈现的值。“多位数乘一位数”可以利用“几个十，几个一乘几”的方式来理解算理；而乘法算式是将几个计算步骤合起来的简便运算。“多位数乘一位数”的计算，可以依赖乘法分配律将多位数拆分，再分别与一位数相乘，最后合起来计算，是以“分割”的方式来理解算理。教师运用概念和运算率两种形式分析算理，在教学中通过直观的演示和操作，让学生经历知识的形成过程，加深对算法的理解。

数学思想是数学学科的核心，具有层次性。《新课标》要求学生获得数学基本思想，主要包括抽象思想、模型思想、推理思想，它是教师教学的主线，是数学学科内容逻辑框架的内在体现。数学基本思想和数学思想二者之间有着紧密的联系，在解决问题时更多的是一种操作性的应用。本文在分析算理时，主要运用数形结合、转化、变中有不变的思想方法，对算理教学展开分析。

二、基于数学思想方法的算理分析

（一）基于数形结合思想方法的算理教学分析

数形结合是一种常见的思想方法。“数”和“形”是数学学习的两大主体。数形结合的思想方法，是利用了“数”和“形”的对应关系来解决问题。“数”和“形”是认知表征理论中外部表征的具体应用。这两种表征传递给学生的信息是不一样的。“数”属于数式表征，传达给学生较为准确具体的信息；“形”属于图形表征，传达给学生直观的信息。在小学阶段，“形”多指图表和实物。教师通过图形表征帮助学生理解数式表征，两种表征相互补充，符合学生的认知发展规律，有利于促进学生的多元表征发展。算理属于数式表征，相对抽象和晦涩，学生要真正理解算理是比较困难的。教师借助直观的图形，有利于引导学生理解数的计算方法。教师在教学时要依据学生的已有认知经验，用数形结合的方法，借助图形表征帮助学生理解数量关系，解决复杂的问题。

如在“多位数乘一位数”第一课的口算乘法教学时，教师需重视算理教学，让学生知道运算背后的原理。在探究“20×3=   ”时，教师通过小棒理解“几个十”的位值概念，以数形结合帮助学生理解算理。动手操作可以调动学生的多种感官经验，在实践中将内隐的算理以直观的图形展现出来，以“形”助“数”。教师呈现6捆小棒，10根为一捆，2捆为一组，一共有3组。2捆表示2个十，即20，“20×3”根据乘法的意义表示3个20相加（如图1）。“20×3”用小棒表示为6捆小棒，即60根小棒。学生小组合作摆小棒，呈现了算理过程，2个十乘3等于6个十，因此口算结果为60。

数学中的动手操作是将抽象的数直观化，用图形表征理解数式表征。基于数形结合的方法，有利于培养学生的数学活动经验、厘清算理，发展多种表征，促进多元智力发展。

（二）基于转化思想方法的算理教学分析

转化的思想方法是将复杂的问题化繁为简，是“一种学习对另一种学习的影响”。迁移理论是转化思想的理论基础。当已有的认知结构不能解决新问题时，学生会转变认知结构，运用旧知和原有认知结构解决新问题。这个转变和调整的过程就是转化。转化的思想方法在理解算理中要把握两个原则，一个是化复杂为简单，一个是化整体为若干。教师需要遵守原则，选择合适的算理教学策略。对学生来说，多位数乘一位数口算乘法和笔算乘法是新的知识，教师在教学笔算“12×3”时，引导学生独立思考解决的方法，会根据已有的知识想到以下几种计算方法。

生1：笔算竖式12+12+12=36。

生2：用笔算乘法的方式列竖式计算如下：

学生1将笔算乘法转化为笔算加法，利用乘法的意义来理解乘法的算理，化繁為简，有助于学生理解乘法的本质。笔算乘法的计算法则是基于口算乘法的算理，教师需充分利用学生的已有经验进行算理教学。在教学时，教师需引导学生回忆口算乘法的算理，利用乘法分配律将“12”分成“10”和“2”，再将“10”和“2”分别与“3”相乘，最后将结果合起来，即“2×3=6，10×3=30，30+6=36”。

笔算转化成口算，让学生感受到笔算中有口算，在口算中理解笔算竖式算理。教师需对比图2两种笔算竖式的区别，让学生感受数学的简洁美，从而掌握笔算的算理和算法。

（三）基于“变中有不变”的思想方法算理教学分析

在运算时，在不断变化的数中找到数学的本质，掌握不变的规律，这就是变中有不变的思想。从宏观上看，数学本质是指思想、精神等；从微观上看，数学本质是数学知识的本真。基于学生的认知特点，教材的编排是分散的，并遵从由易到难的顺序编排。乘法的运算分布在不同的学年段，学生对乘法运算的理解有可能是片面的、割裂的，这就要求教师在教学时渗透变中有不变的思想方法，让学生在变中把握不变，更好地认识运算的本质。口算的算理是建立在位值制概念与运算意义的基础上；笔算的算理以口算为基础，而“多位数乘多位数”就是“多位数乘一位数”的延伸。计算的“算理”是有结构的整体，教师在教学之前，要充分研究本次授课中的“算理”与以往学习过的算理的联系，将知识放入横向与纵向的知识系统，让学生在知识联系和变化中探寻数学本质。

在“多位数乘一位数”的计算中，学生在表内乘法和笔算加减法的基础上学习笔算乘法。在运算的步骤和顺序上，笔算加减法和笔算乘法有很多不同，学生在初学时容易出现错误。教师需引导学生注意区分笔算乘法和笔算加减法的同与不同、变与不变，减少负向的思维定势。十进制是学生认识数、数的运算的重要知识。笔算乘法利用位值概念和乘法分配律，帮助学生理解算法。比如“18×3”，先算“3×8”得“24”，学生容易把进位中的“2”忽略掉。学生出现错误的原因是不理解“2”的具体意义，缺乏对位值概念的认识。“18×3”的列竖式计算，是利用乘法分配律理解算法，先计算“3×8”得“24”，再算“3×1”。“24”表示2个十，4个1，在列竖式时，根据位值概念将“4”放在个位上、“2”放在十位上。“18”中的“1”在十位上，表示1个十，3×1得3，3表示3个十，加上进位的2个十，得5个十，因此计算结果为54。知识是学生把握数学本源的载体，教师在教学时需从微观角度分析算理内容，厘清相关知识的逻辑关系，帮助学生把握知识的本质。

总之，“算理”在计算教学中占据举足轻重的地位。学生在探究算理的过程中，在学习迁移理论、认知表征理论的基础上，通过对数形结合思想方法、转化思想方法、变中有不变的思想方法进行分析，学生思维能够经历直观思维向抽象思维发展的过程，进一步提升计算技能。

【参考文献】

［1］张银静.数形结合思想在小学数学教学中的问题研究［D］.太原：山西大学，2020.

［2］陈琦.当代教育心理学［M］.北京：北京师范大学出版社，2007.

［3］王永春.小学数学与数学思想方法［M］.上海：华东师范大学出版社，2014.

【作者简介】李娟（1998—），女，廣西桂林人，南宁师范大学2020级初等教育学院硕士研究生，研究方向为小学教育；韦宏（1968—），男，汉族，广西上林人，理学硕士，南宁师范大学数学与统计学院副教授，硕士研究生导师，研究方向为学科教学（数学）。

（责编杨春）