数学运算能力培养应注意的若干问题研究

马文杰，姜 涛

数学运算能力培养应注意的若干问题研究

马文杰，姜 涛

（台州学院 电子与信息工程学院，浙江 台州 317000）

基于《义务教育数学课程标准（2011年版）》和《普通高中数学课程标准（2017年版）》，综合已有相关研究，结合研究者数学运算教学经验，对中小学数学运算教学以及数学运算能力培养应注意的若干问题进行分析：在培养学生数学运算能力的过程中，对数学运算速度的要求应适度；对数学运算正确率的要求应适度；应充分利用学生已有数学经验；数学运算材料的设计应注重变式；应注重对数学运算规则的理解；应适当揭示数学运算背后的算理；应注重算法多样化与必要优化；应适当注重口算；应适当注重估算；应引导学生在数学运算中合理利用现代信息技术；应注重数学运算过程及其运算结果的合理呈现与恰当表达；应引导学生对数学运算过程与运算结果进行适当验算等．

数学运算；数学运算能力；算理；算法多样化

数学运算是中小学数学最主要的教学内容之一，数学运算与数学运算能力的培养对学生数学学科核心素养的提升具有重要价值．但另一方面，有一部分中小学数学教师对数学运算及其数学运算能力培养持有一些错误或片面的认识，在实际数学教学过程中，产生了一些不适当的做法，暴露出了一些较为突出的问题．比如有些数学教师过度强调运算速度与运算准确率，把对运算速度与运算准确率的要求提高到不适当的程度；有些数学教师通过过度练习训练学生的数学运算技能，加重学生课业负担，影响学生身心健康；有些数学教师过度关注具体的运算操作过程，而对其中所蕴含的算理重视不够；有些数学教师一味强调“标准算法”与“常规算法”，而对数学运算方法的多样性与灵活性关注不够等．鉴于此，研究在《义务教育数学课程标准（2011年版）》和《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称两个《标准》）主要数学教育思想的指导下，在综合已有相关研究的基础上，结合研究者数学运算教学的经验，对中小学数学运算能力培养方面应注意的若干问题进行分析．

1 数学运算与数学运算能力的基本内涵

中国历来比较重视中小学生数学运算能力的培养，较早地形成了数学“双基”，以及数学“三大能力”等数学教育理念．在两个《标准》中，则进一步明确提出了“四基”和“四能”，对数学运算的基本内涵进行了明确界定，并对数学运算能力培养提出了一系列具体要求．比如，在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中提出的10个核心词汇之一是“数学运算”，基本内涵与主要意义是“能够根据法则和运算律正确进行运算的能力．培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题”[1]．在课程总目标中明确提出“四基”，其中数学的“基本技能”主要指向之一是数学运算技能．在学段目标中，结合具体的数学学习内容，进一步对知识技能，乃至数学运算技能提出了更加明确而具体的要求，在基本技能的教学中，不仅要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理[1]．基本技能的形成，需要一定的训练，但要适度，不能依赖机械的重复操作，要注重训练的实效性．教师应把握技能形成的阶段性，根据内容的要求和学生的实际，分层次地落实[1]．在第一学段计算技能评价要求中，针对每一个具体的数学学习内容（主要指向计算技能），提出了“速度要求”，指出这是“对第一学段有关计算技能的基本要求，这些要求是在学段结束时应达到的，评价时应注意把握尺度，对计算速度不作过高要求”[1]．

《普通高中数学课程标准（2017年版）》中提出了6个数学学科核心素养，“数学运算”是其中之一，其基本内涵是“数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算规则解决数学问题的素养．主要包括理解运算对象，掌握运算规则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等”[2]．并指出“数学运算是解决数学问题的基本手段．数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础”[2]．另外，在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中多次提到的“四基”“知识与技能”“数学运算素养”等词汇，也都部分（或全部）地指向数学运算与数学运算能力（素养）的培养等．

由此可见，数学运算以及数学运算能力（素养）培养，是两个《标准》重点关注的主要内容之一，也是中小学数学教学内容的主要载体与主要表现形式之一．

2 数学运算与数学运算能力的本质特征与教育价值

数学运算是中小学数学教学的重要内容．尽管数学知识不仅仅是数学运算，但对中小学数学教学而言，数学运算是其主要教学内容之一．另外，数学知识的理解与巩固，离不开数学解题，主要表现之一是进行一定形式的数学运算．数学运算是数学活动的基本形式[3]，对于中小学数学教学而言更是如此．数学运算过程中所运用的数学知识主要是程序性知识[4]．主要表现为特定的数学运算方法和运算步骤，其背后有相应的数学知识作为支撑．数学运算的过程是进行数学推理的过程[2，5]．数学运算以外显的运算过程与运算结果具体地表现数学推理过程及其推理结果．一般而言，数学运算是构成抽象数学结构的基本要素，是进行数学逻辑推理的重要形式，是数学建模的重要手段[6]．数学运算能力具有一定综合性[5，7]，是一种综合性的能力．它不可能独立存在和发展，而是与记忆能力、理解能力、推理能力、表达能力、以及空间想象等其它认识能力相互渗透、相互支撑着的[8]．数学运算能力具有一定的层次性．运算能力的发展总是从简单到复杂、从低级到高级、从具体到抽象，有层次地发展起来的[8]．在中小学数学教学过程中，对学生数学运算能力的培养应该根据其年龄特点与数学认知水平循序渐进，逐步深入，逐步拓展．数学运算是数学应用于日常生产和生活的一项基本技能[6]，是计算机解决问题的重要基础[2]．

3 培养学生数学运算能力应注意的问题

针对中小学数学教学中，常常存在对数学运算速度和数学运算正确率提出过高要求的不当做法，提出在数学运算能力的培养与评价中应遵循的两个基本原则：对数学运算速度的要求应适度，对数学运算正确率的要求应适度；针对中小学在数学运算教学中存在忽视学生的数学经验，数学运算训练中存在机械重复、过度练习的错误做法，提出在数学运算教学中应充分利用学生已有数学经验、数学运算材料的设计应注重“变式”；为了促进学生对数学运算规则及其数学本质特征的深入理解、牢固掌握与灵活运用，提出在数学运算教学中应注重对数学运算规则的理解，应适当揭示数学运算背后的“算理”，应注重算法多样化与必要优化；为了进一步丰富学生的数学运算方式与数学运算手段，提升学生数学运算的便捷性与灵活性，增强学生的数感，拓展学生的数学运算经验，以及利用现代信息技术促进数学运算的教与学，提出在数学运算中应适当注重“口算”与“估算”，应引导学生在数学运算中合理利用现代信息技术；针对有些学生不重视对数学运算过程与数学运算结果的“合理表达”，不重视对数学运算过程与数学运算结果的检验、回顾与反思等，提出在数学运算教学中应注重数学运算过程及其运算结果的合理呈现与恰当表达，应引导学生对数学运算过程与运算结果进行适当“验算”．另外，从大的方面来说，分析与讨论的中小学数学运算教学中应注意的问题，基本上是围绕数学运算教学的一般过程展开的，与数学运算教学的主要环节具有一定的对应关系．具体分析如下．

3.1 对数学运算速度的要求应适度

在中小学数学教学中，有一种不良倾向．不少数学教师总是对数学运算速度提出过高的要求．为了提高学生的运算速度，增加学生对运算的熟练程度，而一味地提升运算训练量，进一步加重了学生的课业负担，使学生的身心发展受到一定影响．另外，在数学试题中也常常存在运算量过大的现象[9]，严重地挤压了学生进行数学思考的时间，不利于考查学生的数学思维能力与思维水平．数学考试的不良“示范效应”又进一步“刺激”中小学数学教师，在日常教学中对数学运算速度提出过高要求，进行过度训练．在中小学数学教学中，应根据数学教学需要，以及学生数学学习需要、数学认知水平等，对其数学运算速度提出适度要求．尤其在现代信息技术迅猛发展的今天，单纯地强调数学运算速度已经没有多大现实意义．

3.2 对数学运算正确率的要求应适度

为了较熟练、较牢固地掌握某一数学运算，要求学生在其运算过程中具有较高的正确率，这是必要的，也是重要的，但过度追求数学运算正确率的做法并不可取．在数学教学过程中，引导学生较牢固地掌握数学运算技能是重要的，但更为重要的是引导其逐步理解数学运算技能背后所蕴含的数学知识（方法）．只要学生较熟练地掌握某一数学运算技能（可以根据不同的数学教学要求，以及不同学生的“数学学习现实”，在不同阶段对学生数学运算速度与正确率提出不同要求），以及相应的数学知识，就可以认为达到了训练某一数学运算技能的主要目的，而不能以单纯地追求数学运算的高正确率为目的，无谓地增加重复性机械训练，加重学生课业负担．机械重复的训练，会使学生丧失训练的兴趣，同时延误运算能力的培养[10]．死记硬背、机械训练所形成的数学技能往往是片面、畸形的，相应的数学能力其实很难形成，而未能获得理解、尚未内化的数学学习过程对于学生健全人格的塑造，其实是负面的[11]．

3.3 数学运算教学应充分利用学生已有数学经验

已有数学经验，主要指其从日常生活与数学学习中获得的数学学习经验和数学运算经验．学生在日常生活中或多或少要进行一些数学运算，必然会积累一定的数学运算经验．另外，数学学科的一个显著特点是不同的数学知识之间具有广泛的联系性与相通性．学生在前面所学的数学知识，及所获得的数学学习经验，往往成为理解新知识的重要基础．在新的数学运算教学过程中，应该充分利用学生已有的数学经验，乃至数学运算经验，并以此为重要基础引导学生逐步理解与同化新的数学运算．比如，在初中数学教学过程中，为了帮助学生理解有理数的加法法则及其乘法法则的合理性，教学中应善于从学生的生活经历和经验出发，创设生活情境，从分析情境中的事理入手，提炼其中的数学道理，验证相关运算法则规定的合理性[12]．

3.4 数学运算材料的设计应注重变式

在数学教学中设计数学运算材料时，应适当体现变式，以促进学生对数学运算的深度理解、牢固掌握与灵活运用．所设计的运算材料应该具有以下全部或部分特征．① 典型性．揭示或体现某一数学运算的实质内容与本质特征．② 针对性．根据数学教学目的，学生的数学学习需要，以及某一数学运算的重点、难点和关键，有针对性地设计相应运算材料．③ 引导性．为学生学习某一数学运算提供典型“样例”，引导学习者逐步理解、掌握与运用隐含其中的数学运算规则．④ 变式性．通过对数学运算材料的适当变化，突出与强调其中的不变因素与关键特征，促进学生对相应数学运算的深入理解、牢固掌握与灵活运用．⑤ 适切性．所设计的数学运算材料，从其难度和数量上来说，对学生的数学学习是适宜的．既可以满足学生数学学习需要，又不至于加重其课业负担．尤其在当下学生数学作业普遍较多的情形下，强调布置适量数学作业更具有特别的意义．可以通过科学、严格、规范的研究，进一步明确普通的中小学生学习某一特定的数学运算内容，其适宜的训练量与训练频率，等等．⑥ 多样性．题目类型丰富，形式多样．以激发学生数学学习兴趣，调动其数学学习的积极性与主动性．

3.5 应注重对数学运算规则的理解

任何一种数学运算都对应着具有一定普适性的运算规则．数学运算规则所体现的是数学知识，或数学上的某种规定．掌握必须的运算法则，是学习者能够进行数学运算的前提，面对具体的问题时要能够选择方法或者设计运算程序，运算过程中还要求有熟练的运算技能[4]．学生进行数学运算的过程，既是其合理选择与运用相应运算规则的过程，也是进一步理解与巩固相应运算规则的过程．在数学运算教学过程中，不能仅仅关注于操作性运算技能的训练，更不应该热衷于机械的重复性训练，而应该在运算操作过程中引导学生逐步加深对数学运算规则，及其数学意义的理解，并以适当方式使运算规则外显化、具体化和程序化[13]．在数学运算的教学中，要让学生理解规则，理解的意思不是只掌握算法，会使用规则作具体的运算，更重要的还在于让学生理解算理，理解算理方能举一反三[4]．

3.6 应适当揭示数学运算背后的算理

算理是运算的基础、算法是运算的建构，算理是隐性的、算法是显性的[5，14]．一种数学运算必然体现为一定的数学运算规则和运算程序，蕴含着相应的数学知识（算理）．学习某一数学运算，不仅仅要学习相应的运算技能，更重要的是要逐步理解与掌握其背后所蕴含的数学知识．结合具体的运算过程，对其算理进行适当揭示，逐步加强学生对其运算意义的深入理解，既是数学运算学习的必要环节，也是进一步提升学生对某一数学运算理解水平的基本手段．应在具体的数学运算，以及数学运算规则运用过程中，逐步促进学生对相应“算理”的深入理解，发展灵活的解题策略[15]，进一步加强学生对相应运算规则的掌握与运用能力．对于数学运算的教学，应“突出条件化知识的教学”[13]，应适当引导学生逐步明确以下3个基本问题：①运算条件，即每一种数学运算的适用条件与使用范围；②运算方法，即具体的运算方法和操作程序；③运算原理，即数学运算方法所蕴含的数学知识．引导学生逐步“明晰算理，掌握算法”，并实现两者之间的内在统一[3]．对算理的理解是一个由具体到抽象，再到更广泛的具体[8]，以及更高级抽象的循环反复、逐步深入、不断发展的认识过程．

3.7 应注重算法多样化与必要优化

在进行数学运算教学时，应充分利用图形、图示，或直观模型，促进学生对题目信息深入理解与适当转化，促进其对运算思路的有效探求，实现运算过程的具体化与直观化，或者寻找运算过程的直观理解与几何解释等．应引导学生尽可能发掘多样化算法，而不是仅仅局限于某一个（类）算法，以培养其数学运算与数学思维的发散性与灵活性．计算的灵活性表现为计算的角度灵活、方法灵活、过程灵活、知识运用灵活[10]．另外，在学生得到多种算法的基础上，还应引导其进一步分析不同算法的区别与联系，并进行适当的算法优化．比较优化的算法应该具有以下方面的某些或全部特征：① 普适性，即通性通法，可以解决某一类问题，在一定程度上揭示了该类问题的本质特征与结构；② 重要性，在解题过程中运用了中小学数学中的重要内容与重要方法，或对学生当下或后续数学知识的学习具有重要价值等；③ 自然性，算法是自然的，容易想到，易于理解，教师易教，学生易学；④ 简洁性，解题思路与解题过程简洁流畅；⑤ 奇异性，所得算法既在意料之外，又在情理之中．具有奇异性的算法往往利用了某一数学问题的特别信息，揭示了其特殊结构等．

3.8 应适当注重口算

口算也称心算，是一种不借助计算工具，仅依靠记忆与思维，直接算出结果的计算方式[16]．在数学运算教学中，培养学生具有一定的口算能力是必要的．口算可以锻炼学生的数学思维能力与记忆能力，提升其运算速度与运算便捷性等．简单的数学运算可以直接通过口算进行，而没有必要进行笔算，或借助计算机（器）进行运算．在缺乏纸笔，或无法直接运用计算机（器）的情况下，如果需要进行一定的简单数学运算，可以通过口算方式进行．在日常生活中，口算是一种较为常用的运算方式．人们在日常生活中进行简单的数学运算时，一般直接通过口算（心算）完成，并不会借助纸笔，或其它计算工具．因此，在数学教学中，应通过适当方式，培养学生基本的口算能力．在数学运算教学中，针对简单的数学运算，教师可以提出一定的口算要求，鼓励学生运用包括口算在内的多元化计算方式，并适当进行一定的口算示范等．

3.9 应适当注重估算

估算主要是指在计算或者测量中，无法或无须精确计算时所采用的一种数学方法．广义的估算包括对计算的估算、对数量的估算以及对测量的估算，分别简称估算（狭义）、估数、估测[17]．估算有利于培养学生的数感，数学运算的灵活性，也可以通过估算检验运算过程是否合理，运算结果是否正确等．另外，在日常生活中，估算也有一定用途．比如，在超市查看购物小票时，常常通过凑整的方式进行对账，进行家庭旅行预算时，根据行程安排大体预计所需费用等．进行数学运算教学时，应根据运算需要，引导学生适当学习与运用一些常用的估算方法，以初步培养其估算意识与估算能力．比如，在面对一个问题情境时，可以引导学生先估算大致结果，再进行精算验证，或者在学生提出多种解决问题的方式之后，引导其通过估算排除明显不合理的解决方式，再进行精确计算得出确切结果[18]，也可以通过适当估算对已完成的数学运算进行验算，以判断其运算过程与运算结果的正确性与合理性等．

3.10 应引导学生在数学运算中合理利用现代信息技术

在中小学数学教学中，应引导学生适当运用现代信息技术进行数学运算与数学学习，以提高其数学运算与数学学习效率，逐步培养其运用现代信息技术进行数学运算与数学学习的意识、能力与习惯．同时，现代信息技术的合理运用，可以在一定程度上把学生从繁重机械的数学运算中解放出来，这对减轻学生过重的课业负担具有重要意义．另外，现代信息技术可以在一定程度上激发学生的数学学习兴趣，并为其进行数学探索、数学发现与数学创造提供工具与技术支持等．但要注意的是，在数学教学中，对现代信息技术的使用要合理与适度，不能对其造成过度依赖，以免削弱中小学生基本数学运算能力等．在中小学生对数学运算具有基本的理解，较牢固地掌握了基本运算技能的基础上，可以引导其适当运用计算机（器）等解决一些繁重机械的数学运算，或者运用现代信息技术进行一定的数学探究与数学发现．如通过计算机编程、引导学生探究算法[4]．现代信息技术的作用不能完全替代原有的教学手段，其真正的价值在于实现原有的教学手段难以达到甚至达不到的效果[1]．在数学教学过程中，中小学数学教师应更多地关注如何利用信息技术所提供的动态跟踪功能、计算功能、通信功能和情境模拟功能等更高层次的技术特点优化数学认知与理解过程[12]．

3.11 应注重运算过程及其运算结果的合理呈现与恰当表达

学习数学运算，不仅要会算，而且要会合理呈现与恰当表达相应的运算过程与运算结果等．引导学生通过适当方式呈现、表达与解释其运算过程与运算结果，可以培养其逻辑思维能力、数学交流与表达能力，加深其对相应运算程序，及其所蕴含数学知识的理解．另一方面，也可以有效检验学生对某一数学运算的理解程度、掌握情况与运用能力等．因此，在数学运算教学过程中，不能仅仅关注运算结果是否正确，更重要的是分析运算方法是否适当，运算过程是否合理，要引导学生以适当方式合理简洁地呈现、表达与解释其运算过程与运算结果．在呈现、表达与解释运算思路与运算步骤时，应要求学生做到“有理有序、不重不漏”．有理，即每一步运算都要有依据；有序，即解题要有顺序；不重，即步骤不要重复；不漏，即步骤不要跳跃[19]．在数学运算教学过程中，可以通过“错例矫正”“样例展评”，以及“范例摹写”等多样化课堂活动，适当展示学生运算过程的“双向”示例．正确的范例，告知学生书写运算过程必须守住的“底线”，起到了榜样示范作用；错误的示例，展示学生的典型错误，起到了警示提醒作用[20]．另外，在学生通过书面或口头的形式合理呈现与恰当表达其数学运算过程与运算结果的基础上，还应适当引导与鼓励其对整个运算过程进行一定回顾与反思，以不断积累、逐步完善相应运算经验等．要提高数学运算能力，就应该竭力将运算经验显性化、算法化，从而形成类型，促进图式的建立[21]．

3.12 应引导学生对数学运算过程与运算结果进行适当验算

验算，主要指以一定的数学方法检查与验证解决数学问题的方法，以及已完成的数学运算过程与运算结果是否正确，是否合理的过程[5，22]．验算是运算教学（乃至整个数学教学）的必要组成部分[8]．通常情况，在学生经过具体的运算过程，得到一定运算结果之后，还应引导其进行适当验证与验算，以判断其运算方法、运算过程与运算结果正确与否，如果是具有一定实际背景的问题，还要引导其适当分析解答结果是否满足实际问题的要求（具有实际意义）．通过验算可以培养学生在数学学习中的检验意识与检验能力，培养学生认真与细心的学习习惯，提高学生对运算过程的思维监控能力等[23-42]．可以引导学生用原来的算法重新演算一遍进行验算，或者运用有别于原来算法的新的计算方法进行验算，运用估算进行验算，还可以引导学生运用计算机（器）进行验算，或者通过逆运算进行验算等．验算的过程，既是检验原来运算过程与运算结果是否合理、正确与有效的过程，也是从不同角度，运用不同方法进一步深入理解原问题及其解答的过程．

4 结语

对于中小学数学教学而言，数学运算是最核心、最关键的教学内容之一，培养学生的数学运算能力是最基本、最重要的教学任务之一．在进行数学运算教学时，既要遵循两个《标准》对相应数学内容的基本要求，也要结合数学教学的实际需要，对相应数学运算教学进行科学分析、合理定位与精准施教．

[1] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012：5-6，46，53．

[2] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：7．

[3] 杭毅，侯正永．基于质量监测的初中学生数学运算发展状况的调查研究[J]．数学教育学报，2017，26（1）：25-27．

[4] 喻平．数学核心素养的培养：知识分类视角[J]．教育理论与实践，2018，38（17）：3-6．

[5] 董林伟．倾听学生的思考：例谈运算能力及其培养途径[J]．数学通报，2009，48（9）：13-16，20．

[6] 吴立宝，王光明．数学特征视角下的核心素养层次分析[J]．现代基础教育研究，2017，27（3）：11-16．

[7] 刘明．高中学生数学运算能力培养的实验报告[J]．数学教育学报，2000，9（2）：58-61．

[8] 马明．运算能力及其培养途径[J]．数学通报，1984，23（6）：6-10．

[9] 崔志荣．关于高考数学运算考查要求的几点建议——以2017年全国高考江苏卷为例[J]．数学通报，2018，57（2）：37-40．

[10] 潘小福．学科关键能力的厘定、评价及培养——以小学数学为例[J]．上海教育科研，2015（11）：57-59．

[11] 孔凡哲，史宁中．中国学生发展的数学核心素养概念界定及养成途径[J]．教育科学研究，2017（6）：7-13．

[12] 潘小明．试论数学理解的内涵及教学要求[J]．教育实践与研究（中学版），2008（1）：43-45．

[13] 刘电芝，黄希庭．简算策略教学提高小学四年级儿童的计算水平及延迟效应[J]．心理学报，2008，40（1）：47-53．

[14] 曾桂治．“运算教学”的内涵探寻及策略建构[J]．数学教学通讯，2017（22）：46-47．

[15] 张文宇，宋军．加拿大小学数学课程标准中的数感与运算能力评析——以安大略省为例[J]．数学教育学报，2016，25（3）：38-43．

[16] 朱红伟．运算能力的基本内涵和培养策略[J]．小学教学研究，2011（1）：31-33．

[17] 王海峰．小学估算教学的内涵、脉络与实施[J]．教学与管理（小学版），2016（1）：42-44．

[18] 史亚娟，华国栋．中小学生数学能力的结构及其培养[J]．教育学报，2008，4（3）：36-40．

[19] 石建华．运算能力培养的“五要素”——以《有理数》单元的教学为例[J]．教育研究与评论：中学教育教学，2016（11）：55-59．

[20] 印冬建．串珠成线：在认知节点上发展学生的运算能力——以人教版七年级上册第一章“有理数”教学为例[J]．数学通报，2016，55（5）：46-50，53．

[21] 朱潇，李鸿昌．从数学运算素养的内涵，谈运算能力的培养[J]．中学数学（高中版）上半月，2018（1）：57-59．

[22] 何小亚．学生“数学素养”指标的理论分析[J]．数学教育学报，2015，24（1）：13-20．

[23] 梁宇伟．初中学生数学运算能力培养策略新探[J]．广西师范学院学报（自然科学版），2010，27（S1）：79-80．

[24] 何勇刚，张立昌．基于结构方程模型的学习策略影响因素探究——以初中生学习“统计与概率”为例[J]．数学教育学报，2020，29（1）：40-47．

[25] 柯跃海，陈清华．高考数学命题质量评价的基础与方法[J]．数学教育学报，2020，29（1）：48-51．

[26] 傅海伦，张丽，王彩芬．基于Fuzzy-AHP质疑式数学核心素养评价指标体系的研究[J]．数学教育学报，2020，29（1）：52-57．

[27] 朱清波，曹广福．例谈探究式解题课教学[J]．数学教育学报，2020，29（2）：49-52．

[28] 吴增生．数学学科核心素养导向下的有理数教学实证研究[J]．数学教育学报，2020，29（2）：53-57．

[29] 宋乃庆，胡睿，蔡金法．用问题提出和问题解决测试小学生对平均数的理解[J]．数学教育学报，2020，29（3）：1-8．

[30] 杜宵丰，周达，原露，等．数学自我概念和自我效能对初中生数学成就的影响——数学焦虑的中介作用[J]．数学教育学报，2020，29（3）：9-13．

[31] 康丹，张利，蔡术，等．儿童近似数量系统精确性与数学能力的关系研究[J]．数学教育学报，2020，29（3）：19-24．

[32] 吕世虎，于丽芳，王尚志．数学试卷综合难度的内涵及其指标体系建构[J]．数学教育学报，2020，29（4）：1-6．

[33] 郑雪静，陈清华，王长平，等．高中生直观想象素养的测量与评价研究[J]．数学教育学报，2020，29（4）：7-12．

[34] 史宁中，吕世虎，李淑文．改革开放四十年来中国中学数学课程发展的历程及特点分析[J]．数学教育学报，2021，30（1）：1-11．

[35] 宋乃庆，张莎莎，陈婷，等．基于“问题提出”的小学数学教师主题式专业发展：理论建构与实践探索[J]．数学教育学报，2021，30（1）：12-18．

[36] 陈婷，李兰，蔡金法．中国小学数学“问题提出”教学的研究与实践——基于《小学数学教师》和《小学教学》（数学版）中“问题提出”文章的分析[J]．数学教育学报，2021，30（1）：19-24．

[37] 王光明，李爽．初中生数学学习非智力因素调查问卷的编制[J]．数学教育学报，2020，29（1）：29-39．

[38] 徐冉冉，裘晓丽，姚一玲，等．基于教师—研究者伙伴关系的初中数学教学改进——以“一次函数”“问题提出教学”为例[J]．数学教育学报，2021，30（1）：25-31．

[39] 张丹，姚一玲，蔡金法．问题提出教学对学生数学成绩和数学情感影响的实验研究[J]．数学教育学报，2021，30（1）：32-36．

[40] 马淑杰，张景斌．高中学生数学原有知识水平和学习认知负荷对数学课堂学习效率的影响研究[J]．数学教育学报，2021，30（2）：26-31．

[41] 伍春兰．PDSA视域下基于教师学习的中学数学课例研修研究[J]．数学教育学报，2021，30（3）：78-82．

[42] 栗小妮，汪晓勤．HPM课例研究对教师MKT的影响[J]．数学教育学报，2021，30（3）：83-89．

On Issues in Developing Students’ Abilities about Mathematical Operations

MA Wen-jie, JIANG Tao

(School of Electronics and Information Engineering, Taizhou University, Zhejiang Taizhou 317000, China)

Based on the Compulsory Education Mathematics Curriculum Standard (2011 edition) and General Senior High School Mathematics Curriculum Standard (2017 edition), this paper pursues additional analysis related to some outstanding issues in the teaching of mathematics operations and the cultivation of mathematics operational ability in primary and high schools by synthesizing relevant research and teaching experiences of researchers. Highlights are as follows: In the process of cultivating students’ mathematical operational ability, requirements for speed and accuracy of mathematical operations should be moderate; students’ existing mathematical experience should be fully utilized; variants should be properly reflected in the design of operational materials; understanding and mastery of mathematical operation rules and their “algorithms” should be emphasized; the diversity and necessary optimization of algorithms should be emphasized; and “oral calculation” and “estimation” should be moderately emphasized. Mathematics teachers in elementary and high schools should pay attention to rational use of modern information technology, rational presentation and proper expression of mathematical operation processes and results, and guiding students to carry out appropriate “checking” of mathematical operation processes and results.

mathematical operation; mathematical operational ability; algorithm; algorithm diversity

G633.6

A

1004–9894（2021）06–0008–05

马文杰，姜涛．数学运算能力培养应注意的若干问题研究[J]．数学教育学报，2021，30（6）：8-12．

2021–08–02

浙江省2019年度教育科学规划研究重点课题——基于教师教育共同体的卓越教师培养模式研究（2019SB086）；2019年度台州市教育规划课题——基于“学习共同体”促进中小学数学教师专业成长的“研学模式”研究（gg19006）

马文杰（1978—），男，甘肃天水人，副教授，博士，主要从事数学课程与教学论、课程与教学论研究．

[责任编校：陈隽、陈汉君]