经历探索过程 发展合情推理

杨吟

【摘   要】推理是数学的基本思维方式，小学阶段是学生合情推理能力发展的重要时期。以浙教版三年级下册《长方形的周长和面积关系》为例，教学中可引导学生经历先破后立的过程，体会反例的价值;经历多元思考的过程，让“合情”同样“合理”;经历完整表达的过程，让思维的条理显现，从而发展学生的合情推理能力。

【关键词】合情推理;不完全归纳;观察猜想;验证归纳

推理一般包括合情推理和演绎推理。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成。合情推理往往用于探索思路，发现结论;演绎推理经常用于证明结论。

一般来说，受限于学生的知识水平和年龄特征，小学阶段的教学会更多地偏重合情推理的内容，小学阶段是学生合情推理能力发展的重要时期。观察、实验、猜想、验证是学生进行合情推理的几个重要环节，本文以浙教版三年级下册《长方形的周长和面积关系》为例，介绍教学中如何引导学生经历探索过程，培养学生的合情推理能力。

【课前思考】

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中对第二学段学生推理能力的目标定为：“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力，能进行有条理的思考，能比较清楚地表达自己的思考过程与结果。”“长方形周长与面积的关系”是在学生已经学习了长方形和正方形周长与面积的基础上开展的一节探究课。本课旨在研究周长固定不变时，面积随着长、宽改变的规律。这是培养学生合情推理能力的好内容，在以学生为主体的探究活动中，学生能够很好地经历观察、猜想、验证、类比、归纳等一系列活动，提升分析与解决问题能力、表达能力、推理能力等。

【课堂再现】

（一）第一次活动（验证猜想1：周长长的面积就大）

师：有两根铁丝，一根长20厘米，一根长24厘米，用这两根铁丝分别围成一个长方形，猜一猜，哪根铁丝围成的长方形面积大？你是怎么想的？

生：用24厘米围出来的长方形面积大。（其他同学表示同意）

生：因为24厘米比20厘米长。

師：你的意思是周长长的面积就大？

生：不一定。（更多的学生陷入了沉思）

师：有什么办法能验证这个猜想是否正确呢？

生：算一算，看看围起来的长方形都有哪些情况。

（学生独立思考、尝试后，全班交流）

生：周长长的面积不一定大。比如周长是24厘米的长方形，有可能长是11厘米，宽是1厘米，面积就是11平方厘米。

师：他举了一个周长长，面积却小的例子！只要能够举出一个不符合猜想的例子，就说明这个猜想是错误的。这样的方式我们可以叫“举反例”。通过举反例咱们发现，周长长，面积不一定大！

生：我罗列了所有周长是20厘米和24厘米的长方形面积的情况。

这里面也有反例，周长是20厘米的长方形面积，有可能比周长是24厘米的长方形面积大！

师：周长长的长方形面积不一定更大。那么长方形的周长与面积之间有关系吗？有什么关系？咱们进一步探索。

（二）第二次活动（验证猜想2：长方形的周长一定，长与宽越接近，面积越大）

1.观察猜想

师：在周长一样的情况下，长方形面积的大小又有什么规律？观察上面两张表，你有什么发现吗？

生：第1个表格中周长都是20厘米，我发现长越来越短，宽越来越长，面积越来越大。

生：第2个表格也是这样，长和宽越接近，面积就越大。

师：我们把前提和猜想的结论连起来，完整地来说一说。

生：当周长一样时，长方形的长和宽越接近，面积就越大。

师：这是咱们的猜想，还是结论？为什么？

生：这只是我们的猜想，因为从这两张表看确实有这样的规律，但两个例子太少了，不能说明所有周长相等的长方形都有这个规律。

生：我们可以再举几个例子试试看。

师：你觉得举出几个例子就可以说这是结论？

生：我觉得举几个例子都不能说。

生：我不同意，我们总不能举完所有的例子啊！要是举几个例子都不能说，那不是永远得不到结论了？

生：可以试着举不一样的例子，看看有没有反例，要是举不出反例，就可以把它当作结论。

师：好想法！这就是科学研究的过程。在找不到反例的情况下可以把猜想当作结论来用，但如果有人举出了反例，我们就要对结论进行调整。你们打算怎么做？

生：我们可以相互分工，比如有的研究周长短一点的长方形，有的研究周长长一点的长方形……还可以试着研究周长是奇数的长方形，数据尽量丰富，如果大家研究出来的数据都符合“长、宽越接近，面积就越大”，那么这个规律就应该是正确的。

2.验证归纳

（教师提供材料包：格子图、几何钉板、学习单）

（1）出示学习单，明确任务要求。

（2）独立研究，小组内交流（要求尽量完整地说说自己的发现）。

（3）整合小组意见，全班交流，归纳结论。

生：举了这么多例子，都没有反例，我觉得可以了。

师：这些例子中，你觉得哪个例子特别有价值？

生：我验证了周长是9厘米的情况，我觉得特别有价值。周长是9厘米，长和宽最接近的时候都是2.25厘米，是一个正方形，这时面积是5.0625平方厘米。和这个正方形最接近的长方形的长是2.26厘米，宽是2.24厘米，面积是5.0624平方厘米，面积还是没有正方形大。

生：我还验证了周长是小数10.8的情况……

师：为什么你们觉得这样的例子特别有价值？

生：因为要找反例，就要尽量找不一样的。如果无论什么时候结论都成立，那么这个猜想就是成立的。（其他小组表示赞同）

师：那么现在我们可以暂时得到一个结论。你能完整地描述这个结论吗？

生：长方形的周长一样的时候，长与宽越接近，面积就越大。

生：长方形的周长一定时，长与宽的差越小，它的面积就越大，成正方形时面积最大。

【课后所思】

（一）经历先破后立的过程，体会反例的价值

学生在学习某个知识前，往往具有先备经验，这些经验有的对学习会有正迁移作用，帮助学生更好地学习新知;有的则会有负迁移作用，成为学生理解的障碍。本课教学中的第一个问题“20厘米与24厘米的铁丝分别围成长方形，谁的面积大”，让学生直觉中的“周长长面积大，周长的长度与面积的大小之间正相关”这一错误经验充分暴露，然后通过举例说明将这一经验打破，再重新树立“长宽越接近的长方形面积越大”的观念，符合学生的认知过程。

同时，通过举例说明一个结论是否正确是合情推理的方式之一，但这样得到的结论带有或然性。如果在举例的过程中出现反例，就可以说明结论是错误的，这是重要的推理经验。本节课中，教师着力关注学生经历“举反例”的过程，引导他们在体会反例价值的同时对合情推理有更深入的理解。

（二）经历多元思考的过程，让“合情”同样“合理”

在不完全归纳推理中，通过举例子来说明结论的正确性不一定准确，为了让结果更有可能是正确的，学生往往会认为需要“多举几个例子”。但为什么多举几个例子就可能是正确的，举例的目的是什么，学生往往不太会深入思考。本课例中，教师引导学生通过讨论“哪个例子你认为特别有价值”，逐步体会：举例子是为了尽量说明在任何情况下结论都正确，在不同情况下都没有反例，因此要尽量举“不一样的”例子。這是学生合情推理能力形成过程的重要基础。

（三）经历完整表达的过程，让思维的条理显现

语言是思维的外壳，鼓励学生清楚地表达推理过程，有意识地培养学生思必有源、推必有理、言必有据的思维品质，对锻炼推理能力同样重要。本课教学中，教师从第一次猜想后进行观察开始，引导、鼓励学生将观察结果外化为自己的语言表述，从猜想的适用范围、表述的准确性等方面作出优化。不断完善描述的过程，就是学生不断修正思维的过程。学生在表达和思辨中发展思维，促进合情推理能力的提升。

当然，合情推理能力的培养不是一蹴而就的。教师在教学中要结合具体的内容，引导学生经历推理的过程，让学生的合情推理能力在实践中得以提升。

参考文献：

[1]张秋爽.谈儿童数学教育视角下的“推理能力”培养[J].教学月刊·小学版（数学），2016（7/8）.

[2]管小冬.“规律”教学，让“合情推理”更丰实[J].小学教学设计，2020（5）.

（浙江省杭州市娃哈哈双语学校   310008）